Разложение сигналов по гармоническим функциям. Ряды Фурье.

Разложению в ряды Фурье подвергаются периодические сигналы. Как уже было сказано выше, периодическую функцию любой формы, заданную на интервале одного периода Т = b-a и удовлетворяющую на этом интервале условиям Дирихле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным числом разрывов 1-го рода), можно представить в виде ряда Фурье:

s(t) = S_n exp(jnDwt), S_n = S(nDw), Dw = 2p/T, (1)

где весовые коэффициенты S_n ряда определяются по формуле:

S_n = (1/T) s(t) exp(-jnDwt) dt. (2)

Ряд Фурье представляет собой ансамбль комплексных экспонент exp(jnDwt) с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Функцию весовых коэффициентов S(nDw) принято называть комплексным спектром периодического сигнала или фурье-образом функции s(t). Спектр периодического сигнала является дискретной функцией, т.к. он определен только для целых значений n с шагом по частоте, обратным периоду: Dw = 2p/Т (или Df = 1/T). Первую частотную составляющую спектра при n = 1, равную w₁ = 1×Dw = 2p/T (или f₁ = 1/T), называют основной частотой сигнала (первой гармоникой), остальные частоты дискретного спектра nw₁ при n>1 называют гармониками сигнала. Значения S(nDw) по положительным и отрицательным значениям n являются комплексно сопряженными.

С чисто математических позиций множество функций exp(jnDwt), -¥ < n < ¥ образует бесконечномерный базис линейного пространства L²[a,b] ортогональных синус-косинусных функций, а коэффициенты S_n по (2) представляют собой проекции сигнала s(t) на эти базисные функции. Соответственно, сигнал s(t) в форме ряда Фурье (1) – это бесконечномерный вектор в пространстве L²[a,b], точка с координатами S_n по базисным осям пространства exp(jnDwt). Подынтегральную функцию экспоненты в выражении (2) с использованием тождества Эйлера

exp(±jwt) = cos(wt) ± j×sin(wt)

можно разложить на косинусную и синусную составляющие и выразить комплексный спектр в виде действительной и мнимой части:

S_n = (1/T) s(t) [cos(nDwt) - j sin(nDwt)] dt = А_n - jB_n. (3)

A_n ≡ A(nDw) = (1/T) s(t) cos(nDwt) dt, (4)

B_n ≡ B(nDw) = (1/T) s(t) sin(nDwt) dt. (5)

На рис. 4 приведен пример периодического сигнала (прямоугольный импульс на интервале (1-3.3), повторяющийся с периодом Т=40) и форма действительной и мнимой части его спектра. Обратим внимание, что действительная часть спектра является четной относительно нуля функцией A(nDw) = A(-nDw), так как при вычислении значений A(nDw) по формуле (4) используется четная косинусная функция cos(nDwt) = cos(-nDwt). Мнимая часть спектра является нечетной функцией B(nDw) = -B(-nDw), так как для ее вычисления по (5) используется нечетная синусная функция sin(nDwt) = - sin(-nDwt).

Рис. 4. Сигнал и его комплексный спектр.

Комплексные числа дискретной функции (3) могут быть представлены в виде модулей и аргументов комплекс. экспоненты, что дает следующую форму записи комплексного спектра:

S_n = R_n exp(jj_n), (3')

R_n² ≡ R²(nDw) = A²(nDw)+B²(nDw),j_n ≡ j(nDw) = arctg(-B(nDw)/A(nDw)).

Рис. 5. Модуль и аргумент спектра.

Модуль спектра R(nDw) называют двусторонним спектром амплитуд или АЧХ - сигнала, а аргумент спектра (последовательность фазовых углов j(nDw)) - двусторонним спектром фаз или ФЧХ. Спектр амплитуд всегда представляет собой четную функцию: R(nDw) = R(-nDw), а спектр фаз нечетную: j(nDw) = -j(-nDw). Пример спектра в амплитудном и фазовом представлении для сигнала, показанного на рис. 4, приведен на рис. 5. При рассмотрении спектра фаз следует учитывать периодичность 2p угловой частоты (при уменьшении фазового значения до величины менее -p происходит сброс значения -2p).

Если функция s(t) является четной, то все значения B(nDw) по (5) равны нулю, т.к. четные функции ортогональны синусным гармоникам и подынтегральное произведение s(t)·sin(nDwt) дает нулевой интеграл. Следовательно, спектр функции будет представлен только вещественными коэффициентами. Напротив, при нечетности функции s(t) обнуляются все значения коэффициентов А(nDw) (нечетные функции ортогональным косинусным гармоникам) и спектр является чисто мнимым. Этот фактор не зависит от выбора границ задания периода функции на числовой оси. На рис. 6(А) можно наглядно видеть ортогональность первой гармоники синуса и четной функции, а на рис. 6(В) соответственно косинуса и нечетной функции в пределах одного периода. Учитывая кратность частот последующих гармоник первой гармонике спектра, ортогональность сохраняется для всех гармоник ряда Фурье.

Рис. 6. Ортогональность функций.

При n = 0 имеем В_о = 0, и получаем постоянную составляющую сигнала:

S₀ ≡ A_o ≡ R_o ≡ (1/T) s(t) dt.

2.5. Тригонометрическая форма рядов Фурье.

Объединяя комплексно сопряженные составляющие (члены ряда, симметричные относительно центрального члена ряда S₀), можно перейти к ряду Фурье в тригонометрической форме:

s(t) = А_о+2 (A_n cos(nDwt) + B_n sin(nDwt)), (6)
s(t) = А_о+2 R_n cos(nDwt + j_n). (6')

Значения A_n, B_n вычисляются по формулам (4-5), значения R_n и j_n - по формулам (3').

Ряд (6) представляют собой разложение периодического сигнала s(t) на сумму вещественных элементарных гармонических функций (косинусных и синусных) с весовыми коэффициентами, удвоенные значения которых (т.е. значения 2×A_n, 2×B_n) не что иное, как амплитуды соответствующих гармонических колебаний с частотами nDw. Совокупность амплитудных значений этих гармоник образует односторонний физически реальный (только для положительных частот nDw) спектр сигнала. Для сигнала на рис. 4, например, он полностью повторяет правую половину приведенных на рисунке спектров с удвоенными значениями амплитуд (за исключением значения А_о на нулевой частоте, которое, как это следует из (6), не удваивается). Но такое графическое отображение спектров используется довольно редко (за исключением чисто технических приложений). Более широкое применение для отображения физически реальных спектров находит формула (6'). Спектр амплитуд косинусных гармоник при таком отображении называется амплитудно-частотным составом сигнала, а спектр фазовых углов гармоник – фазовой характеристикой сигнала. Форма спектров повторяет правую половину соответствующих двусторонних спектров (см. рис. 5) также с удвоенными значениями амплитуд. Для четных сигналов отсчеты фазового спектра могут принимать только значения 0 или p, для нечетных соответственно ±p/2.

Ряды Фурье произвольных аналоговых периодических сигналов могут содержать бесконечно большое количество членов. Однако одним из важных достоинств преобразования Фурье является то, что при ограничении (усечении) ряда Фурье до любого конечного числа его членов обеспечивается наилучшее по средней квадратической погрешности приближение к исходной функции (для данного количества членов).

На верхнем графике рисунка 7 приведен реконструированный сигнал при N = 8 (гармоники первого пика спектра, центр которого соответствует главной гармонике сигнала и члену ряда n = w_s/Dw), N = 16 (гармоники двух первых пиков) и N=40 (пять первых пиков спектра). Естественно, что чем больше членов ряда включено в реконструкцию, тем ближе реконструированный сигнал к форме исходного сигнала. Принцип последовательного приближения к исходной форме наглядно виден на нижнем графике рисунка. На нем же можно видеть и причины появления пульсаций на реконструкции скачков функций, которые носят название эффекта Гиббса. При изменении количества суммируемых членов ряда эффект Гиббса не исчезает. Не изменяется также относительная амплитуда пульсаций (по отношению к амплитуде скачка) и относительное затухание (по коэффициенту последовательного уменьшения амплитуды пульсаций по отношению к максимальному выбросу), изменяется только частота пульсаций, которая определяется частотой последних суммируемых гармоник.

Эффект Гиббса имеет место всегда при резких нарушениях монотонности функций. На скачках эффект максимален, во всех других случаях амплитуда пульсаций зависит от характера нарушения монотонности функции.

В ряд Фурье может разлагаться и произвольная непериодическая функция, заданная (ограниченная, вырезанная из другого сигнала, и т.п.) на интервале (a,b), если нас не интересует ее поведение за пределами данного интервала. Однако следует помнить, что применение формул (1-6) автоматически означает периодическое продолжение данной функции за пределами заданного интервала (в обе стороны от него) с периодом Т = b-a. Однако при этом на краях интервала может возникнуть явление Гиббса, если уровень сигнала на краях не совпадает и образуются скачки сигнала при его периодическом повторении, как это видно на рис. 8. При разложении исходной функции в ограниченный ряд Фурье и его обработке в частотной области на самом деле при этом обрабатывается не исходная функция, а реконструированная из ограниченного ряда Фурье. При усечении рядов Фурье определенное искажение функций существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала (при быстром затухании спектров функций) этот эффект может быть и мало заметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее ярко.

Рис. 7. Реконструкция (восстановление) сигнала

Рис. 8. Проявление эффекта Гиббса