Тема: Расчет трехфазных цепей синусоидального тока
Цель: Получить навыки расчета трехфазных цепей синусоидального тока при симметричной и несимметричной нагрузке.
В результате выполнения практического занятия у студента формируются компетенции ПК-10 (умение проводить инженерные изыскания), ПК-17 (умение применять знание научно-технической информации, отечественного и зарубежного опыта по профилю деятельности).
Актуальность темы практического занятиязаключается в необходимости проводить расчеты трехфазных цепей используемых при электроснабжении зданий.
Теоретическая часть
Трехфазные цепи синусоидального тока.
Электрическая цепь,состоящая из системы трех синусоидальных ЭДС, имеющих одну и ту же частоту и сдвинутых по фазе одна относительно другой на угол 2π/3 (120°), к которым с помощью соединительных проводов подключена нагрузка, называется трехфазной. Графики мгновенных значений трехфазной симметричной системы ЭДС с действующим значением каждой фазы 
изображены на рисунке 6.1, соответствующая векторная диаграмма – на рисунке 6.2.
| Рисунок 6.1 – Графики мгновенных значенийтрехфазной симметричной системы ЭДС | Рисунок 6.2 – Векторная диаграмма трехфазной симметричной системы ЭДС |
Трехфазная цепь состоит из трех основных элементов: трехфазного генератора, в котором механическая энергия преобразуется в электрическую, с трехфазной системой ЭДС; линий передачи со всем необходимым оборудованием; приемников (потребителей), которые могут быть как трехфазными, так и однофазными.
На электрической схеме трехфазный генератор принято изображать в виде трех обмоток, расположенных под углом 120°. При соединении звездой одноименные зажимы трех обмоток объединяют в одну точку (рисунок 6.3), которую называют нулевой точкой генератора N.
а) б)
Рисунок 6.3 – Схема соединения трехфазных обмоток генератора звездой (а) и соответствующая векторная диаграмма напряжений (б)
Обмотки генератора обозначают буквами А, В, С; буквы ставят: А – у начала первой, В – у начала второй и С – у начала третьей фазы.
Таким образом, при соединении обмоток трехфазного генератора звездой (рисунок 6.3 а) линейные напряжения определяются через разности фазных:
; 
; 
. (6.1)
Для симметричного генератора (источника) фазные напряжения
; 
; 
, (6.2)
линейные напряжения (рисунок 6.3 б)
; 
; 
. (6.3)
Для симметричного источника справедливо равенство:
. (6.4)
При соединении обмоток генератора треугольником (рисунок 6.4) конец первой обмотки генератора соединяют с началом второй, конец второй – с началом третьей, конец третьей – с началом первой. Геометрическая сумма ЭДС в замкнутом треугольнике равна нулю. Поэтому если к зажимам А, В, С не присоединена нагрузка, то по обмоткам генератора не будет протекать ток.
а) б)
Рисунок 6.4 – Схема соединения трехфазных обмоток генератора треугольником (а) и соответствующая векторная диаграмма напряжений (б)
При соединении обмоток трехфазного источника треугольником (рисунок 6.4 а) линейные напряжения равны фазным (рисунок 6.4 б)
. (6.5)
Выделяют следующие схемы соединения трехфазного генератора с нагрузкой. В случаи соединения обмоток генератора звездой: звезда – звезда с нулевым проводом, звезда – звезда без нулевого провода, звезда – треугольник.
В случаи соединения обмоток генератора треугольником, выделяют следующие схемы соединения трехфазного генератора с нагрузкой: треугольник – звезда, треугольник – треугольник.
Расчет трехфазных цепей синусоидального тока с симметричной несимметричной нагрузкой.
Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, и потому расчет и исследование процессов в них производят теми же методами и приемами. Для цепей трехфазного тока применим также символический метод расчета, построение векторных и топографических диаграмм. Векторные диаграммы облегчают нахождение углов между токами и напряжениями, делают все соотношения более наглядными и помогают находить возникающие ошибки при аналитическом расчете.
Симметричный режим. Для симметричного приемника, соединенного звездой (рисунок 6.5 а), справедливо соотношение 
, напряжение смещения нейтрали 
равно нулю, а токи в фазах
; 
; 
, (6.6)
где 
– сопротивление симметричной линии на фазу. По модулю токи равны и имеют сдвиг по фазе относительно друг друга, равный 
(рисунок 6.5 б):
. (6.7)
а) б)
Рисунок 6.5 – Схема (а) и векторная диаграмма (б) трехфазной цепи при соединении нагрузки звездой
Для симметричного приемника, соединенного треугольником (рисунок 6.6 а), справедливо соотношение 
. Если 
, то фазные токи приемника равны:
; 
; 
. (6.8)
а) б)
Рисунок 6.6 – Схема (а) и векторная диаграмма (б) трехфазной цепи при соединении нагрузки треугольником
По модулю токи равны и имеют сдвиг по фазе относительно друг друга, равный (рисунок 6.6 б):
. (6.9)
Линейные токи приемника определяются разностью фазных токов:
; 
; 
. (6.10)
Как видно из векторной диаграммы (рисунок 6.6 б),
; 
; 
. (6.11)
Если 
, то (после преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду) линейные токи
; 
; 
. (6.12)
Фазные токи определяются через линейные:
; 
; 
. (6.13)
Несимметричный режим. При соединении приемника звездой с нейтральным проводом (рисунок 6.7)
Рисунок 6.7 – Схема трехфазной цепи при соединении нагрузки звездой с нейтральным проводом
Напряжение смещения нейтрали на основании метода двух узлов
, (6.14)
где 
; 
; 
; 
.
Линейные токи и ток в нейтральном проводе
; 
; 
; 
. (6.15)
По первому закону Кирхгофа
. (6.16)
Для приемника, соединенного звездой без нейтрального провода и заданных линейных напряжений источника, токи можно определить без предварительного расчета напряжения смещения нейтрали:
; 
;
. (6.17)
; 
; 
. (6.18)
При соединении приемника треугольником (рисунок 6.6 а) и 
фазные токи определяются согласно (6.8), линейные – (6.10).
Если 
, то треугольник сопротивлений можно преобразовать в эквивалентную звезду и для этого соединения рассчитать линейные токи, как показано выше.
Фазные токи определяются по предварительно найденным фазным напряжениям приемника:
; 
;
; (6.19)
; 
; 
, (6.20)
где 
, 
, 
– сопротивления лучей звезды, эквивалентной треугольнику.
Мощность трехфазной цепи и способы ее измерения.
Симметричный режим. Активная, реактивная и полная мощности симметричного приемника независимо от вида соединения :
, (6.21)
, (6.22)
, (6.23)
где 
– сдвиг по фазе между фазными напряжением и током.
Несимметричный режим. Активная, реактивная и полная мощности несимметричного приемника независимо от вида соединения равны сумме соответствующих мощностей трех фаз.
Измерение мощности. Для измерения активной мощности, передаваемой от источника к приемнику, в трехфазной цепи с нейтральным проводом при несимметричном режиме включают ваттметры в каждую фазу (рисунок 6.8).
Рисунок 6.8 – Схема для измерения мощности трехфазной цепи
с нейтральным проводом
Активная мощность равна сумме показаний ваттметров:
. (6.24)
В случае симметричного режима достаточно одного ваттметра, при этом мощность
. (6.25)
При отсутствии нейтрального провода активную мощность измеряют двумя ваттметрами, включенными по схеме, показанной на рисунке 6.9 а (и при симметричном, и при несимметричном режимах). Активная мощность равна алгебраической сумме показаний ваттметров:
. (6.26)
Для измерения реактивной мощности той же трехфазной системы применяют схему включения ваттметров, показанную на рисунке 6.9 б. Реактивная мощность
. (6.27)
При симметричном режиме реактивную мощность можно измерить одним ваттметром, включенным по схеме рисунок 6.9 в. В этом случае
. (6.28)
Полная мощность для каждой фазы определяется из треугольника мощностей, также как и для цепей однофазного тока.
 |  |  |
| а) | б) | в) |
| Рисунок 6.9 – Схемы для измерения трехфазной активной мощности в цепи без нейтрального провода (а) и реактивной мощности при несимметричной (б) и симметричной нагрузке (в) |
Задания
1. На рисунке 6.10 представлена симметричная трёхфазная система с параметрами 
= 90 Ом, 
= 40 Ом. Определить показания приборов и ток 
при 
=120<00 В. (207,5 В; 4 А; 2,3 А; 625 Вт; 950 Вт; = 
А).
Рисунок 6.10
2. К симметричному трехфазному генератору с фазной ЭДС 
= 230 В и с внутренним сопротивлением 
= (0,3+j0,9) Ом подключена несимметричная нагрузка, соединенная в звезду с нулевым проводом (рисунок 6.11). Сопротивления фаз нагрузки: 
= (2+j4) Ом, 
= (4–j8) Ом, 
=5 Ом. Сопротивление каждого провода линии 
= (0,4+j0,3) Ом, а сопротивление нулевого провода 
= 0,5 Ом. Определить токи и напряжения на каждой фазе нагрузки и генераторе при наличии нейтрального провода и при его обрыве. Для каждого случая построить векторную диаграмму. ( 
A,
A, 
A, 
A,
B, 
B, 
B,
B, 
B, 
B).
Рисунок 6.11
3. В цепи рисунок 6.12 определить токи в линии и в фазах приёмника при коротком замыкании между точками b и с, если 
= 380 В; 
= 2 Ом; 
= 10 Ом; 
= j10 Ом; 
= –j10 Ом. (0; 95 А; 95 А; 0; 33 А; 33 А).
Рисунок 6.12
Контрольные вопросы
1. Что означает симметричный трехфазный источник электрической энергии?
2. Что означает несимметричный трехфазный источник?
3. Перечислите способы соединения обмоток трехфазного источника.
4. Что такое нейтральный провод?
5. Какое напряжение называется фазным, линейным?
6. Что означает симметричная и несимметричная нагрузка?
7. Что такое напряжение смещения нейтрали?
8. Как определить ток в нейтральном проводе при симметричной нагрузке?
9. Чему равна мощность трехфазной системы в симметричном режиме?
10. Что такое одно-, двух- и трехфазное короткое замыкание?
Список литературы, рекомендуемый к использованию по данной теме
Основная литература
1. Немцов М.В. Электротехника и электроника (6-е изд., стер.) учебник. –М: Академия, 2013. – 480 с. – ISBN: 9785446804320.
2. Электротехника и электроника: Учебное пособие для вузов / В.В. Кононенко [и др.]; под ред. В.В. Кононенко. – Изд. 6-е – Ростов н/Д: Феникс, 2010. – 784 с. (Высшее образование). – ISBN 978-5-222-17568-2.
Дополнительная литература
3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учебник. – 10-е изд. – М.: Гардарики, 2002. – 638 с.
4. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: учеб. пособие для студентов / под ред. П. А. Ионкина. – М.: Энергоиздат, 1982. – 768 с.
Практическое занятие 7