Вычисление разности потенциалов плоскости, двух плоскостей, сферы, шара, цилиндра
Используя связь между φ и определим разность потенциалов между двумя произвольными точками
1.
σ
Разность потенциалов поля равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ.
2. Разность потенциалов поля двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей с поверхностной плотностью заряда σ.
Если х1 = 0; х2 = d , то или
3. Разность потенциалов поля равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R.
Если r1 = r, r2 → ¥, то потенциал вне сферы
Внутри сферической поверхности потенциал всюду одинаков и равен
4. Разность потенциалов поля объемно заряженного шара радиуса R с общим зарядом Q.
Вне шара r1, r2 > R,
Внутри шара
5. Разность потенциалов поля равномерно заряженного цилиндра (или бесконечно длинной нити).
r > R:
Работа по переносу заряда в электростатическом поле. Потенциал поля
Лекция 3
Рассмотрим поле, создаваемое точечным зарядом . В любой точке этого поля на пробный точечный заряд действует сила. Если заряд перемещать в поле, то сила, приложенная к заряду, будет совершать над ним работу (см. рис.).
При перемещении заряда из точки поля 1 в точку поля 2, сила, действующая на пробный заряд, будет меняться. Рассмотрим перемещение заряда на бесконечно малом участке , где силу можно считать постоянной. Тогда работа , | |
Рис.1. |
или
.
Работа при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 равна
= = = (1)
Из формулы (1) видно, что работа по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 не зависит от формы траектории, а зависит только от начального и конечного положений заряда в поле. Следовательно, электростатическое поле является потенциальным, как поле силы тяжести.
Работу в потенциальном поле можно представить как разность потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках поля.
(2)
Сопоставление формул (1) и (2) приводит к следующему выражению для потенциальной энергии заряда .
. (3)
Как видно из формулы (3) потенциальная энергия зависит от величины пробного заряда . Разные пробные заряды в одной и той же точке поля будут обладать различными потенциальными энергиями. Однако отношение будет одинаковым для всех пробных зарядов и может служить характеристикой самого поля. Величина
(4)
Называется потенциалом поля в данной точке.
Физическая величина, являющаяся энергетической характеристикой поля и численно равная отношению потенциальной энергии пробного заряда, помещенного в рассматриваемую точку поля, к этому заряду называется потенциалом поля.
Потенциал величина скалярная.
Из формулы (4) видно, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный положительный заряд.
Потенциал, создаваемый точечным зарядом равен
,
где - расстояние от заряда до точки поля, где определяется потенциал.
Рассмотрим поле, создаваемое системой точечных зарядов . Работа, совершаемая силами этого поля над пробным зарядом , будет равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности в силу принципа суперпозиции.
, (5)
где
, (6)
- расстояние от заряда до начального положения заряда , - расстояние от заряда до конечного положения заряда .
Подставим (6) в (5). Тогда
- (7)
и потенциальная энергия заряда в поле системы зарядов будет равна
, (8)
а потенциал поля, создаваемый системой точечных зарядов
. (9)
Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
Напряженности складываются при наложении полей векторно, а потенциалы – алгебраически. Поэтому вычисление потенциалов намного проще, чем вычисление напряженностей поля.
Из определения потенциала следует, что
.
Следовательно, работа сил поля над зарядом может быть выражена как
. (10)
Работа, совершаемая над зарядом силами поля равна произведению этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.
Если заряд, находящийся в точке с потенциалом , удаляется на бесконечность (где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля равна
, а . (11)
Потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки поля на бесконечность.
Из формулы (11) можно установить единицу измерения потенциала [ ] = Дж/Кл = В.
1В – потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией в 1Дж.