Расчет потенциала электрического поля

созданного распределенным зарядом.

Электрическое поле часто создается не дискретными зарядами, а распределенными в пространстве с плотностью . Тогда необходимо разбить заряженную область на малые элементы с объемом и зарядом (см. рис.3). При расчете потенциала в некоторой точке пространства О принцип суперпозиции (4.2) для бесконечного числа таких элементов будет выглядеть следующим образом:

(5.1)

– где – расстояние от малого элемента с зарядом до точки О.

Часто заряд распределяется вдоль тонкой линии, тогда заряд малого элемента длины лучше выражать через линейную плотность заряда , и уравнение (5.1) преобразуется в

(5.2)

Задача 6.

Положительный заряд распределен по тонкому полукольцу радиуса R = 1 м с линейной плотностью , где 0<a < p,

r₀ = 1 мкКл/м. Определить потенциал, создаваемый этим зарядом в центре полукольца.

Решение:

Выделим элемент dl = Rda на полуокружности и, учитывая, что расстояние от элемента до точки О равно , по формуле (5.2) рассчитаем потенциал в точке О:

= 9,42 кВ

Ответ: 9,42 кВ

Задача 7

Тонкий стержень заряжен неравномерно. Электрический заряд распределен по нему с линейной плотностью , где х – координата точки на стержне, b = 1 м – длина стержня, r₀ = 1 мкКл/м. Чему равна величина потенциала, создаваемого этим зарядом в начале координат О, совпадающем с концом стержня?

Решение:

Выделим элементарный заряд dq на стержне длиной dx на расстоянии х от начала координат О (см. рис.5). Учитывая, что r = x, а

dq = rdx, найдем по формуле (5.2) потенциал в точке О:

= 4,5 кВ

Ответ: 4,5 кВ

Расчет напряженности электрического поля,

Созданного распределенным зарядом.

Применение принципа суперпозиции (3.2) для нахождения напряженности электрического поля в векторной форме вызывает большие трудности из-за бесконечного числа элементарных зарядов dq, распределенных в пространстве. В этом случае необходимо воспользоваться не векторным сложением вкладов полей , а сложением их проекций:

, (6.1)

Задача 8

Заряд распределен по тонкому полукольцу радиуса = 1 м с линейной плотностью

.

Определить проекцию на ось напряженности электрического поля, создаваемого этим зарядом в центре полукольца, если мкКл/м.

Решение:

Как видно из рис.6, проекция на ось х напряженности электрического поля, созданного элементарным зарядом в точке О равна:

(6.3)

Учитывая, что , а , получим

Ответ: 4,5 кВ/м

Закон Джоуля – Ленца

При перемещении электрического заряда q из точки 1 в точку 2 электрическое поле совершает работу

, (7.1)

где – разность потенциалов или напряжение .

Как известно, сила тока определяется, как заряд, протекающий через поперечное сечение провода за единицу времени, т.е.

. (7.2)

Если известна зависимость силы тока , то из (7.2) можно выразить заряд, протекающий за малый промежуток времени:

, (7.3)

и преобразовать формулу (7.1) следующим образом:

, (7.4)

где – электрическая мощность.

Используя закон Ома для однородного участка цепи , и подставляя его в (7.4), получим закон Джоуля-Ленца:

(7.5)

В формуле (7.5) учтено то обстоятельство, что работа электрического поля, совершенная над электрическими зарядами, не приводит к увеличению их кинетической энергии, а выделяется в виде тепла .

Таким образом, из (7.5) можно рассчитать тепло, выделившееся в сопротивлении за любой промежуток времени:

(7.6)

Задача 9.

По проводу сопротивлением = 20 Ом течет переменный электрический ток. Сила тока изменяется по закону ,

где А = 3 А, t = 1 с. Чему равно количество теплоты, выделившейся в проводе за промежуток времени от до = 2 с?

Решение:

Подставим функцию силы тока от времени в формулу (7.6):

Дж

Ответ: Q = 18 МДж

Задача 10.

По проводу сопротивлением = 20 Ом течет переменный электрический ток. Сила тока изменяется по закону ,

где А = 3 А/с, рад/с. Чему равно количество теплоты, выделившейся в проводе за промежуток времени от до = 2 с?

Решение:

Подставим функцию силы тока от времени в формулу (7.6):

Ответ: Q = 180 Дж