Интерполяция, аппроксимация и экстраполяция

Хотя в отличие от теоретической физики, которая исследует математические модели природы, экспериментальная физика призвана исследовать саму природу, но конечной целью эксперимента, по большому счету, является поиск математических моделей, описывающих экспериментальные результаты. Мы ограничимся поиском функциональной зависимости при обработке экспериментальных данных.

При отсутствии предварительных сведений о характере функциональной зависимости решение о выборе обычно принимается исходя из наименьшего расхождения с экспериментом и требуемой точности совпадения. При наличии сведений о такой зависимости гораздо разумнее подбирать параметры именно для такой зависимости, даже если принципиально иная зависимость обеспечивает большую точность, поскольку коэффициенты иной зависимости могут заведомо не иметь физического смысла и не помогут в интерпретации данных.

Интерполяция

Интерполяция (от слова inter, т.е. «через») это замена данных функцией, проходящей через определенные точки.

При интерполяции для представления информации о функции ¦(x) используется таблица значений этой функции в точках:

Задачей является построение по таблице такой функции , которая бы не сильно отличалась от ¦, оставаясь равной ей в приведенных точках.

При интерполяции методом ближайшего соседа за значение функции берется значение функции ¦(x) в точке, ближайшей к рассматриваемой.

При кусочно-линейной интерполяции значение ¦(x) интерполируется линейной функцией по двум соседним с точкой x точкам:

Кусочно-линейная интерполяция обычно применяется только при необходимости пересчитать имеющиеся данные к массиву с другим шагом, чтобы иметь возможность, например, поделить одни данные на другие, если они получены при разных входных значениях, но в одном диапазоне величин.

Интерполяция полиномами – обобщенный случай линейной интерполяции, в котором линейная функция заменяется полиномом высшего порядка. В нашем случае через 7 точек можно провести полином 6го порядка. Вычисление полинома проводится по интерполяционным формулам Ньютона или через интерполяционный многочлен Лагранжа. Очевидно, что с ростом числа точек сложность растет экспоненциально.

Основная идея сплайн-интерполяции функций – построение кусочно-полиномиальной интерполяции, при которой остается непрерывной функция ¦(x) и несколько ее первых производных. Для этого в точках сшивки должны быть равны соседние полиномы и их производные. Обычно для этого достаточно уже полинома третьего порядка (т.н. кубическая сплайн-интерполяция).

Тригонометрическая интерполяция востребована в случае, когда данные носят периодический характер. Она же – интерполяция полиномом Фурье. Интерполирующая функция представляет собой сумму конечного числа гармоник ряда Фурье:

Во многих случаях, особенно в последнем, возможна неоднозначная интерполяция функцией.

При обработке двухмерных данных применяют билинейную и бикубическую интерполяции, при обработке трехмерных – трилинейную, а также многомерную сплайн-интерполяцию (рис. 29).

Рис. 29 Методы интерполяции. Слева направо – метод ближайшего соседа, линейная и кубическая. Верхний ряд – интерполяция одномерных данных, нижний – двумерных [24]

Аппроксимация

Аппроксимация (от слова approx – «примерно») это поиск функции, по возможности приближенной к имеющемуся набору данных. Аппроксимация удобна, когда имеется большой массив данных, или в случае, если приведенные выше натурные данные служат опорными точками для выявления функциональной зависимости (а также в случае, когда зависимость заведомо известна).

Аппроксимация возможна с помощью любых подходящих функций, например полиномов определенного порядка. Результатом аппроксимации нулевого порядка будет константа, первого порядка – прямая с наклоном, второго – парабола. При количестве точек на одну больше порядка результатом будет интерполяция.

Для оптимального подбора параметров уравнений обычно используют метод наименьших квадратов (МНК), в котором ищут такие параметры функции, при которых квадрат отклонения минимизируется:

При аппроксимации крайне важно верно выбрать аппроксимирующую функцию, т.к. если она не описывает модель, то интерпретация данных будет затруднена.

Экстраполяция

Экстраполяция – разновидность аппроксимации, при которой функция рассчитывается вне заданного интервала, а не между точками. В зависимости от аппроксимирующей или интерполирующей функции результаты экстраполяции будут различаться. Но заметнее всего изменения именно вне диапазона точек данных. Поэтому с данными экстраполяции надо обращаться аккуратно.

Вопросы для самопроверки:

· Какой вид обработки данных ведет к экспоненциальному росту расчетов при увеличении числа точек?

· Какие требования к интерполяционным функциям при кубической сплайн-интерполяции?

· Что является результатом аппроксимации второго порядка?

· Какие методы вы бы рекомендовали для выявления неизвестной функциональной зависимости?

АТОМНО-СИЛОВая МИКРОСКОПИя

В последние десятилетия широкое применение для исследования геометрических параметров наноразмерных структур получили сканирующие зондовые микроскопы (СЗМ). Они позволяют получать трехмерные топографические изображения поверхности с высоким пространственным разрешением, вплоть до отображения атомных структур. Наиболее известными из зондовых приборов являются атомно-силовой микроскоп (АСМ) и сканирующий туннельный микроскоп (СТМ). СТМ предназначен для получения изображения поверхности проводящих образцов и основан на принципе зависимости величины туннельного тока от расстояния между зондом и образцом. Работа АСМ основана на силовом взаимодействии зонда и образца и позволяет получать изображения безотносительно к физико-химическим свойствам материала поверхности, что особенно важно при исследовании полупроводниковых структур, а также модифицировать поверхность. Кроме того, в отличие от всех других типов СЗМ, в АСМ изображение формируется путем измерения исключительно разности высот на поверхности в процессе сканирования её зондом. Это является существенным преимуществом по сравнению с традиционно используемыми оптическими и электронными микроскопами, в которых механизм формирования контраста может искажать топографию [25].

АСМ изобретен Гердом Биннингом и Кристофом Гербером в 1986 году. Физический принцип работы АСМ — силовое взаимодействие между поверхностью образца и специальным зондовым датчиком – острием, жестко закрепленным на конце упругой консоли, или кантилевере. В упрощенном виде данное взаимодействие можно представить в виде потенциала Леннарда-Джонса — модели взаимодействия двух неполярных молекул, описывающей зависимость энергии взаимодействия от расстояния между частицами:

,

где r — расстояние между центрами атомов, ε — глубина потенциальной ямы, σ — расстояние, на котором энергия взаимодействия становится равной нулю. На больших расстояниях из-за диполь-дипольного взаимодействия потенциал является притягивающим и меняется как 1/r⁶, на малых, из-за электростатического взаимодействия электронных облаков атомов, он отталкивающий (рис. 30). Реальное взаимодействие зонда АСМ с поверхностью описывается более сложной зависимостью ввиду большого числа взаимодействующих атомов, а также множества видов силового взаимодействия — это силы Ван-дер-Ваальса, электростатические, магнитные, капиллярные, химические, силы эффекта Казимира и сольватации и пр.

Рис. 30. Зависимость силы взаимодействия острия зонда и образца от расстояния и основные режимы работы

На больших расстояниях между острием и образцом доминируют силы притяжения, на малом — силы отталкивания. Эти силы уравновешиваются при расстоянии порядка двух ангстрем. В зависимости от используемого расстояния «зонд-образец» АСМ может работать в одном из следующих режимов: контактном, полуконтактном и бесконтактном. В контактном режиме кантилевер с зондом прижимается к образцу и его отклонение вызвано взаимным отталкиванием атомов острия иглы и поверхности в результате перекрывания их электронных оболочек и кулоновского отталкивания ядер. В этом режиме изгиб кантилевера с зондом на конце непосредственно отражает отталкивающую силу и используется для отображения рельефа поверхности.

В полуконтактном режиме зонд колеблется перпендикулярно поверхности на частоте собственного механического резонанса, попеременно находится в притягивающем/отталкивающем интервале и «ощущает» контактные отталкивающие силы только в течение короткой части периода колебаний (т.н. «телеграфный режим» — tapping mode). В бесконтактном режиме колеблющийся зонд находится на расстоянии преимущественного действия притягивающих сил. В полуконтактном и бесконтактном режимах измеряется не величина прогиба кантилевера, а изменения амплитуды, частоты и фазы колебаний кантилевера с острием, которые возникают из-за воздействия сил притяжения на гармонический осциллятор, которым является кантилевер, при приближении к поверхности.

В бесконтактном режиме острие может колебаться как в направлении нормали к поверхности, так и поперек нормали. Режим поперечных колебаний называют поперечно-силовой микроскопией или микроскопией бокового сдвига (shear force).

В зависимости от вида отслеживаемого взаимодействия АСМ-методики также делятся на несколько групп: визуализация топографических, отталкивающих, торсионных (приводящих к скручиванию кантилевера), электрических, магнитных, упругих, вибрационных свойств, трения и пр. С помощью АСМ возможно и проведение литография. Так, применение специальных прочных зондов позволяет царапать или изменять поверхность, а изменение прикладываемого к зонду напряжения позволяет перемещать по поверхности отдельные атомы.