Концентрации носителей заряда в полупроводниках

Собственная концентрация носителей заряда (электронов и дырок)

где ΔW₀ - ширина запрещенной зоны, Дж;

k = 1,38*10^-23 Дж/К - постоянная Больцмана;

T - абсолютная температура, К;

N_C - эффективная плотность состояний в зоне проводимости, м^-3;

N_V - эффективная плотность состояний в валентной зоне, м^-3.

где m_n, m_p - эффективные массы электрона и дырки соответственно, кг;

h = 6,63*10^-34 Дж*с - постоянная Планка;

m = 9,1*10^-31 кг - масса электрона.

Концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках

где W_C - энергия дна зоны проводимости, Дж;

W_V - энергия потолка валент­ной зоны, Дж;

W_F - энергия уровня Ферми, Дж.

Концентрации носителей заряда связаны с собственной концентра­цией носителей соотношением «действующих масс»

n*p = n_i² = p_i².

Уровень Ферми в собственном полупроводнике

,

где W_i – уровень, соответствующий середине запрещенной зоны.

Вероятность заполнения энергетического уровня W электроном и дыркой при температуре T:

- для собственного полупроводника (статистика Максвелла-Больцмана)

- для примесного полупроводника (статистика Ферми-Дирака)

Уровень Ферми в примесных полупроводниках:

; .

Концентрации основных носителей n и p в электронном и дырочном полупроводниках соответственно при температурах частичной иониза­ции примесных атомов

где N_D, N_A - концентрации донорных и акцепторных примесей, м^-3;

W_D, W_A - энергии активации донорных и акцепторных примесей соответст­венно, Дж.

Концентрации основных носителей в примесных полупроводниках при температурах полной ионизации атомов примеси и пренебрежимо низ­кой концентрации собственных носителей

n ≈ N_D , p ≈ N_A.

Условие электронейтральности

,

где N_D , N_A - концентрации ионизированных донорных и акцепторных примесей.

Подвижность носителей

где v - дрейфовая скорость носителей, м/с;

Е - напряженность электриче­ского поля, В/м.

В слабых электрических полях дрейфовая скорость намного меньше тепловой, и подвижность определяется формулой

где е = 1,6*10^-19 Кл - заряд электрона;

m^* - эффективная масса частицы, кг;

1_ср - средняя длина свободного пробега частицы, м;

v_тепл = (3kT/m^*)^1/2 - сред­няя тепловая скорость частицы, м/с.

Подвижность определяется рассеянием на фононах, нейтральных и ионизированных примесях, дефектах структуры и сложным образом зави­сит от температуры.

С подвижностью связаны коэффициенты диффузии носителей

ЭДС Холла в полупроводниках с носителями заряда одного знака

где I - протекающий ток, А;

B - магнитная индукция, Тл;

δ – толщина пластины, м;

R_H, м³/Кл – коэффициент Холла.

Он положителен для полупроводников р-типа и отрицателен для полупроводников n-типа. Он связан с концентрацией носителе заряда соотношением

Фотопроводимость. При освещении полупроводника он приобретает добавочную проводимость γ_Ф

,

где γ₀ и γ – электрическая проводимость до и после освещения;

Δn, Δp - концентрации фотовозбужденных электронов и дырок.

Дифференциальная термо-э.д.с. (отнесенная к единичной разности температур)

первое слагаемое характеризует вклад, вносимый электронами, а второе – дырками.

Для примесных полупроводников одним из слагаемых, в зависимости от типа проводимости, можно пренебречь; например, для полупроводника n-типа дифференциальная термо-э.д.с.

Высота потенциального барьера p-n перехода, или контактная разность потенциалов в равновесном состоянии

где k = 1,38*10^-23 Дж/К - постоянная Больцмана;

Т - температура, К;

p_p0, p_n0 - концентрации дырок в p и n слоях, м^-3;

n_n0, n_p0 - концентрации элек­тронов в n и p слоях, м^-3;

ρ_i, ρ_n, ρ_p - удельные сопротивления соответствен­но собственного полупроводника, n- и p- слоев;

b = μ_n/μ_p - отношение подвижностей электронов и дырок.

Вольтамперная характеристика идеального p-n-перехода имеет вид

,

где I_S – обратный ток (ток насыщения);

U – высота потенциального барьера.

где D_p, D_n - коэффициенты диффузии дырок и электронов, м²/с;

p_n0, n_p0 -равновесные концентрации дырок и электронов в n и p слоях;

S - площадь перехода, м²;

L_p, L_n - диффузионные длины дырок и электронов, м,

где τ_p, τ_n - время жизни дырок и электронов соответственно, с.

Барьерная емкость p-n перехода

где ε₀ = 8,85*10^-12 Ф/м - диэлектрическая проницаемость вакуума;

ε - от­носительная диэлектрическая проницаемость материала;

U - приложенное обратное напряжение, В;

L₀ - равновесная ширина перехода

где N_D, N_A – концентрации донорных и акцепторных примесей в n и p слоях, м^-3 .

Диэлектрики

Поляризованность Р характеризует интенсивность поляризации диэлектрика, т.е. такого состояния вещества, при котором его элементарный объ­ем приобретает электрический момент

P = n*q*l, Кл/м^-2,

где q - величина заряда одного диполя, Кл;

l - расстояние между центрами положительного и отрицательного заряда, м;

n - число диполей в 1 м³.

Поляризованность совпадает по значению с поверхностной плотностью заря­дов, возникающих на поверхности диэлектрика.

Индуцирование электрического момента в единице объема диэлек­трического материала может происходить под действием электрического поля, механических напряжений или самопроизвольно (спонтанно).

Поляризация в электрическом поле - это процесс смещения свя­занных зарядов на ограниченное расстояние или поворот диполей под дей­ствием внешнего электрического поля.

Если диэлектрик находится между обкладками конденсатора, то вследствие поляризации заряд конденсатора увеличивается в ε раз при том же значении электрического напряжения U. Величина ε называется отно­сительной диэлектрической проницаемостью и представляет собой отно­шение суммарного заряда Q конденсатора с диэлектриком к заряду Q₀ того же конденсатора, между электродами которого находится вакуум:

где Q_Д - заряд конденсатора, обусловленный поляризацией диэлектрика.

Емкость конденсатора с диэлектриком

где ε₀ – электрическая постоянная;

S – площадь электродов;

d - расстояние между ними.

Удельный заряд конденсатора

где Е = U/d – напряженность электрического поля;

D – диэлектрическая индукция (смещение);

χ = ε – 1 – диэлектрическая восприимчивость диэлектрика;

Р = ε₀*χ*Е – поляризованность диэлектрика.

Диэлектрическая проницаемость неоднородных диэлектриков. Плоский конденсатор с неоднородным диэлектриком можно рассмат­ривать как m параллельно или последовательно соединенных конденсаторов с однородными ди­электриками, соответственно относительная диэлектрическая проницаемость неодно­родного диэлектрика

,

где C_i - объемная концентрация i - го компонента, m - количество параллельно (последовательно) расположенных компонентов неоднородного диэлектрика.

Диэлектрическую проницаемость сложных твердых диэлектриков, представляющих собой смесь химически не взаимодействующих друг с другом компонентов, при не очень большом различии значений их диэлек­трических проницаемостей, можно определить на основании уравнения Лихтенеккера. В случае хаотического распределения обоих компонентов (например, в керамике) уравнение Лихтенеккера имеет вид

где ε_c, ε₁, ε₂ - относительные диэлектрические проницаемости смеси и от­дельных компонентов соответственно;

C₁ и C₂ - объемные концентрации компонентов, C₁ + C₂ = 1.

Электропроводность диэлектриков. В общем случае ток в диэлек­трике

I = I_см + I_абс + I_скв,

где I_см - ток смещения, I_абс - ток абсорбции, I_скв - ток сквозной проводимо­сти. Кратковременный ток смещения обусловлен быстрыми видами поля­ризации (электронной, ионной). Ток абсорбции обусловлен активными составляющими токов, связанных с замедленными (релаксационными) ме­ханизмами поляризации в полярных и неоднородных диэлектриках. Время протекания тока абсорбции зависит от типа диэлектрика и механизма по­ляризации. Во многих диэлектриках, используемых в качестве электриче­ской изоляции, ток абсорбции устанавливается за время меньше 1 минуты. При постоянном напряжении после установления тока абсорбции через диэлектрик будет протекать сквознойток.

Для твердых диэлектриков наиболее характерна ионная электропро­водность. Для многих ионных кристаллов удельная электропроводность экспоненциально зависит от температуры

,

где γ₀ – удельная электрическая проводимость при начальной температуре;

ΔW - энергия активации перемещения ионов, Дж;

k - постоянная Больцмана;

T - температура, К.

В низкотемпературной области проводимость в основном определя­ется примесными ионами, в высокотемпературной области - собственны­ми ионами.

Поверхностное сопротивление твердого диэлектрика зависит от при­роды диэлектрика, температуры, влажности, приложенного напряжения и характеризуется удельным поверхностным сопротивлением ρ_s, Ом.

Поверхностное сопротивление диэлектрика

где a - расстояние между электродами, м;

b - ширина электрода, м.

Полная электрическая проводимость твердого диэлектрика опреде­ляется суммированием объемной и поверхностной проводимостей.

Диэлектрические потери - часть энергии электрического поля, ко­торая рассеивается в диэлектрике в виде тепла. Потери энергии в диэлек­трике обусловлены протеканием сквозного (объемного и поверхностного) тока и процессами установления поляризации при изменении напряженно­сти электрического поля.

Потери мощности на нагрев диэлектрика в постоянном электриче­ском поле

где U - напряжение, В; R - сопротивление диэлектрика, Ом.

Потери мощ­ности в единице объема диэлектрика называются удельными электриче­скими потерями и определяются по формуле

где E - напряженность электрического поля, В/м; ρ - удельное электриче­ское сопротивление, Ом*м.

В переменном электрическом поле, кроме потерь на электропровод­ность, в диэлектриках возникают релаксационные, ионизационные, резо­нансные потери.

Для количественной оценки потерь энергии используется тангенс угла диэлектрических потерь tgδ. В конденсаторе с идеальным диэлектри­ком, то есть диэлектриком без потерь, вектор тока I_c опережает вектор на­пряжения U на 90°. В реальных диэлектриках угол сдвига фаз φ между то­ком и напряжением меньше 90° за счет потерь, обусловленных протекани­ем активного тока I_а (рисунок 14).

Рисунок 14

Угол δ, дополняющий угол сдвига фаз между током и напряжением до 90°, называется углом диэлектрических потерь.

Диэлектрические потери (мощность, рассеиваемая в диэлектрике) ,

где ω = 2πf - угловая частота, рад/с; f- частота, Гц.

Удельные диэлектрические потери определяются выражением

,

где γ_а = (ε*f*tgδ)/(1,8*10¹⁰) - активная составляющая удельной проводимости диэлектрика, 1/(Oм*м).

Частотная зависимость потерь мощности в диэлектрике определяется характером зависимостей тангенса угла диэлектрических потерь tgδ и от­носительной диэлектрической проницаемости ε от частоты.

Коэффициент диэлек­трических потерь ε' = ε*tgδ.

Пробой диэлектриков. Минимальное напряжение U_пр, приводящее к образованию в диэлек­трике электропроводящего канала, называется пробивным напряжением. Электрическая прочность, то есть способность диэлектрика сохранять высокое удельное сопротивление, характеризуется напряженностью элек­трического поля при пробое изоляции в однородном электрическом поле

В/м,

где U_пр - пробивное напряжение, В; d - толщина диэлектрика, м.