Методы расчета надежности судовых электрических систем

Общие положения. Выше были рассмотрены вопросы, свя­занные с определением количественных характеристик надежно­сти отдельных объектов, которые могут входить в качестве эле­ментов в состав СЭС, например, в состав системы автоматиче­ского регулирования напряжения, системы автоматического уп­равления электроприводом и т. п. и, наконец, в состав СЭЭС.

При этом следует иметь в виду, что в качестве элементов (объектов) электрической системы при рассмотрении вопросов ее надежности могут выступать сложные технические устрой­ства, которые сами являются сложными системами. Так; при анализе СЭЭС в качестве ее элементов рассматриваются такие сложные технические системы, как электрогенераторы, преобра­зователи, различные средства автоматизации и др.

Таким образом, элементом электрической системы считается ее часть, выполняющая определенные функции и не подлежа­щая дальнейшему расчленению на части (элементы) на данном Уровне деления системы.

Аналогично различают восстанавливаемые электрические си­стемы (работоспособность которых в случае отказа системы подлежит восстановлению в рассматриваемой ситуации) и невосстанавливаемые электрические системы (работоспособность которых в случае возникновения отказа не подлежит восстановлению в рассматриваемой ситуации, например, в условиях экс­плуатации).

При расчете надежности под невосстанавливаемой электри­ческой системой понимают систему, работа которой рассматри­вается до первого отказа. Восстанавливаемая система рассматривается как система многократного действия.

Расчет надежности электрических систем может выполнять­ся на стадии проектирования и в процессе эксплуатации си­стемы.

При проектировании системы расчеты надежности выполня­ют с целью выбора рационального варианта структуры электри­ческой системы и для обеспечения заданных показателей на­дежности. В период проектирования сведений о характеристи­ках надежности элементов и условиях их работы, как правило, бывает недостаточно, и поэтому расчет надежности является довольно приближенным.

В процессе эксплуатации расчет надежности выполняют обычно на основе эксплуатационных показателей надежности элементов с целью определения аналогичных показателей на­дежности системы, выявления элементов, снижающих надеж­ность системы, и разработки рекомендаций по повышению на­дежности системы путем применения более надежных элемен­тов, совершенствования ее структуры за счет дополнения ее пе­ремычками и линиями питания, резервирования отдельных эле­ментов, изменения номенклатуры и количества запасных частей и др.

Исходными данными для расчета надежности электрической системы являются принципиальная схема системы, характери­стики надежности входящих в нее элементов и перечень и ха­рактеристика режимов работы системы.

Для выполнения расчетов надежности принципиальная схе­ма электрической системы должна быть преобразована в рас­четную структурную схему, отражающую функционально-логи­ческие связи элементов. С этой целью проводят анализ прин­ципиальной схемы системы и режимов работы, оценивают влия­ние отказа каждого элемента на работоспособность системы. Обычно предполагают, что элементы и система могут находить­ся в двух состояниях - работоспособном и неработоспособном, а отказы элементов - события независимые.

В расчетной схеме элементы системы с заданными показа­телями надежности обозначают прямоугольниками или круж­ками и нумеруют, а функциональные соединения (например, ка­бельные линии), вероятностями отказов которых можно прене­бречь, и логические связи обозначают линиями.

В результате определяют один или несколько количествен­ных показателей надежности: вероятность безотказной работы, средняя наработка до отказа или средняя наработка на отказ, коэффициент готовности системы и др.

Невосстанавливаемые электрические системы. Элементы электрической системы с точки зрения их взаимодействия в рас­четной структурной схеме (рис. 3.17) могут соединяться между собой последовательно (конъюнктивная связь И - логическое-умножение, знак конъюнкции & ил» знак умножения), парал­лельно (дизъюнктивная связь ИЛИ - логическое сложение, знак дизъюнкции V) - последовательно-параллельно (смешан­ная связь) и с использованием перемычек (мостиковая струк­тура).

Рис.3.17. Схемы соединения элементов при расчете надежности: а - последовательное;

б - параллельное; в - смешанное; г - с ис­пользованием перемычки (мостиковая структура)

Последовательным соединением элементов в структурной схеме обозначается такая их совокупность, для которой необхо­димым и достаточным условием работоспособности является работоспособность всех элементов.

Параллельным соединением элементов в структурной схеме обозначается такая их совокупность, для которой необходимым условием работоспособности является работоспособность како­го-либо одного из элементов. Иногда предусматривается необ­ходимость работоспособности любых m из k параллельных эле­ментов, тогда условием отказа системы будет отказ более чем (k-m) элементов.

Мостиковая структура, которая обычным образом не сводит­ся к последовательно-параллельным соединениям, достаточно часто встречается при рассмотрении судовых электрических си­стем. Например, структурная схема на рис.3.17, г - соответствует схеме питания РЩ приемников от двух генераторов (х₁ и х₂) через ГРЩ, секции которого соединены АВ (х₅), и через два АВ (х₃ и х₄).

Следует иметь в виду, что приведенные определения не всег­да совпадают с определениями параллельного или последова­тельного электрических соединений. Например, последователь­ное электрическое соединение двух размыкающих контактов представляется двумя параллельно соединенными элементами в структурной схеме надежности; последовательное электриче­ское соединение диодов, когда рассматривается отказ типа ко­роткого замыкания, также представляется параллельным соеди­нением в структурной схеме.

Для расчета надежности ЭС необходимо описать условия ра­ботоспособности системы. Наиболее рационально это может быть сделано на основе структурной схемы, формализованной с помощью функций алгебры логики.

В понятиях алгебры логики, оперирующей с двоичными пе­ременными, состояние системы является функцией у(х₁, х₂, ..., х_k), принимающей два значения 0 (неработоспособное состоя­ние) или 1 (работоспособное состояние), аргументами которой являются элементы системы х₁, х₂, ..., х_k,которые также могут находиться в двух состояниях: 0 или 1. Такие функции у, прини­мающие два значения (0 или 1) и определяемые различными наборами двоичных аргументов называются функциями ал­гебры логики (ФАЛ).

С помощью ФАЛ условия работоспособности соединений эле­ментов, изображенных на рис.3.17, запишутся в следующем виде:

для последовательного соединения

у(х₁, х₂, х₃)=х₁х₂х₃; (3.63)

для параллельного соединения

у(х₁, х₂, х₃) =х₁ \/ х₂ \/ х₃ (3.64)

для смешанного соединения

y(х₁, х₂, х₃) =x₁ \/ (x₂x₃); (3.65)

для мостиковой структуры

у(х₁, ..., х₅) = (х₁х₃) \/ (х_хх₅х₄) \/ (х₂х₄) \/ (х₂х₅х₃). (3.66)

Приведенные записи ФАЛ (3.63) ... (3.66) означают, что рас­смотренные структуры элементов будут находиться в работо­способном состоянии у(х₁, ..., х_k) = 1, если например, для мос­тиковой структуры (3.66) х₁ = l и х₃ = 1 или х₁ = l и х₅ = 1, и х₄ = l, или х₂ = 1 и х₄ = 1, или х₂ = 1 и х₅ = 1 и х₃ = 1.

Условия работоспособности в виде (3.66) записаны посред­ством перечисления кратчайших путей функционирования. Кратчайший путь функционирования ЭС представляет собой такой набор (конъюнкцию) работоспособных элементов си­стемы, из которого нельзя изъять ни одного из них без наруше­ния работоспособности системы. Например, в схеме на рис» 3.17, г - четыре кратчайших пути функционирования: х₁х₃.

х₁х₄х₅; х₂х₄; х₂х₃х₅.

Вместо условий работоспособности ЭС могут рассматривать­ся противоположные ей условия отказа системы в виде дизъюнкции минимальных сечений отказов. Минимальное сечение отказов ЭС - это, такой набор (конъюнкция) отказавших эле­ментов, который гарантирует неработоспособность системы, при­чём удаление из минимального сечения любого из элементов восстанавливает работоспособность всей системы.

Например, условия отказа системы на рис.3.17, г в виде дизъюнкции минимальных сечении отказов запишутся так:

\/ \/ \/ \/ \/ .

Для того чтобы определить вероятность безотказной работы или вероятность отказа системы соответствующим образом со­единенных элементов, необходимо перейти от ФАЛ, описываю­щей условия работоспособности системы, к вероятностной функ­ции.

Вероятность безотказной работы системы P_c(t) = Вер[у(х_1, ..., х_k) = 1] или вероятность отказа системы Q_с(t) = Вер[у(х₁, ..., х_k) = 0] зависят от вероятности безотказ­ной работы P_i(t) = Вер(x_i = 1) или вероятности отказа Q_i(t) = Bep(x_i = 0) каждого элемента x_i, входящего в систему.

Для ЭС из k последовательно соединенных элементов, веро­ятность безотказной работы каждого из которых не зависит от вероятности безотказной работы других элементов системы, функция работоспособности описывается конъюнкцией ранга k

y_c(x₁, ..., x_i, ..., x_k) = (3.67)

Известно, что вероятность произведения нескольких незави­симых событий равна произведению вероятностей этих событий, тогда для системы последовательно соединенных элементов (3:67) можно записать

Р_с(t) = Bep(x₁ = 1) Вер(х₂ = 1) ... Вер(x_k = 1) = (3.68)

Соответственно вероятность отказа системы k последователь­но соединенных элементов будет

Q_c(t) = 1 - P_c(t) = 1- = 1 - [1-Qi]

При известных интенсивностях отказов элементов i(t) на. основе (3.15) и (3.68) можно записать

P_c(t) = exp [- ] = exp [ ], (3.69)

где λ_c(t) = - интенсивность отказов системы.

Из (3.69) следует важный вывод о том, что интенсивность отказов системы последовательно соединенных элементов равна сумме интенсивностей отказов всех элементов.

Если вероятность безотказной работы каждого из k последо­вательно соединенных элементов изменяется по экспоненциаль­ному закону P_i(t) = ехр(—λ_it), то согласно (3.69) для системы

λ_с = P_с(t) = ехр(- λ_ct), (3.70)

т. е. вероятность безотказной работы системы в этом случае так­же изменяется во времени по экспоненциальному закону.

С учетом (3.70) средняя наработка до отказа системы соста­вит

T_ср = (—λ_ct)dt = 1/λ_c.(3.71)

Из формул (3.68), (3.69) и (3.71) следует, что система из последовательно соединенных элементов имеет вероятность без­отказной работы и наработку до отказа ниже, чем у входящих в нее элементов.

Для системы одинаковых последовательно соединенных эле­ментов (рис.3.18)

P_c(t)=P_a^k(t).

Таким образом, увеличение числа элементов системы резко снижает вероятность ее безотказной работы.

Для ЭС из k параллельно соединенных элементов функция работоспособности описывается дизъюнкцией ранга k

y_с(x₁ ..., x_i, ..., x_k)=

и, если условием отказа системы является отказ всех элементов, вероятность отказа системы безотказной работы системы k параллельно ра­ботающих элементов

Q_c(t)=Q_l(t)Q₂(t)...Q_k(t)= Q_i(t).

Рис.3.18. Зависимости вероятности безотказной работы Рис. 3.19. Зависимости вероятности безотказной

системы из k оди­наковых последовательно соединен- работы системы из k оди­наковых параллельно

ных элементов от вероятности безот­казной работы соединенных элементов от их количества при

одного элемента раз­личных значениях вероятности безот­казной

работы одного элемента

P_c(t) = 1 - Q_c(t) = 1 - Q_i(t) = 1 - [1 - P_i(t)]. (3.72)

При экспоненциальном законе изменения вероятности безот­казной работы всех параллельно соединенных элементов с уче­том приближения (3.9) можно выражение (3.72) представить в виде

P_c(t) =1 - [1 - exp(—λ_it) ≈ 1 - (λ_it) = 1 - t^k λ_i ≈ ехр(—λ_ct^k), (3.73)

где λ_с = λ_i — интенсивность отказов системы.

Из сравнения (3.10) и (3.73) следует, что при параллельном соединении элементов с экспоненциальным распределением от­казов вероятность безотказной работы системы изменяется во времени приблизительно по закону Вейбулла.

Если в системе параллельно работающие элементы имеют одинаковые вероятности P_i(t) = P_э(t), то из (3.72) следует

P_c(t) = 1 - [1 - P_э (t)]^k. (3.74)

Из формулы (3.74) видно, что параллельное включение эле­ментов - эффективный способ повышения надежности системы; при увеличении числа k параллельно включенных элементов на­дежность системы повышается (рис. 3.19).

Интенсивность отказов для системы k параллельных одина­ковых элементов с учетом (3.74)

λ_c(t) = f_c (t)/P_c(t) = {kP_э(t)[1 - P_э)]^k-1} / {1 - [1 - P_э(t)]^k}λ_э(t), (3.75)

где λ_э(t) —интенсивность отказов элемента.

При экспоненциальном законе Р_э = ехр(—λ_эt) на основе (3.74) определяют среднюю наработку до отказа системы

T_cp = P_c(t)dt = {1 - [1 - exp(- λ_эt)]^k}dt = =A_k/λ_э, (3.76);

где A_k = k^-1 + (k - 1)^-1 + (k - 2)^-1 + … + 1; А_k в зависимости от k изменяются следующим образом:

k . . . . . . . 1 2 3 4 5 6

A_{k .} . . . . . . . . 1,00 1,50 1,83 2,08 2,28 2,45

Из (3.76) следует, что коэффициент А_k показывает, во сколь­ко раз увеличивается средняя наработка до отказа системы по сравнению с ее значением для одного элемента.

На основе приведенных формул для последовательного и па­раллельного соединения элементов нетрудно получать соответ­ствующие формулы для расчета последовательно-параллельно­го соединения элементов (рис.3.17,б).

Для мостиковых структур (рис.3.17,г), не являю­щихся последовательно-параллельными, во многих случаях по­казатели безотказности можно определить с помощью метода декомпозиции. Метод заключается в том, что в структурной схе­ме выбирают некий элемент с вероятностью безотказной работы P_э(е), который сначала закорачивают (т.е. заменяется элемен­том, который никогда не отказывает), затем удаляют (рассмат­риваем случай, когда этот элемент отказал). Если схемы, полу­чающиеся после такого преобразования, становятся последова­тельно-параллельными, то вероятность их безотказной работы можно вычислить описанными выше методами.

Когда элемент закорачивают, две точки схемы, к которым он подключался, соединяют постоянной связью, и вероятность полу­ченной структуры будет максимальна P_max(t), а когда удаляют: между этими двумя точками связь разрывается и вероят­ность полученной структуры будет минимальна P_min(t). Общую вероятность безотказной работы схемы можно вычислить по формуле

P_c(t) = P_max(t) P_э(t) + P_min(t) [1 - P_э(t)], (3.77)

являющейся следствием теоремы полной вероятности

Рис.3.20. Расчетные схемы для мостиковой структуры, изображенной на рис. 3.17, г:

а — элемент х₅ замкнут накоротко, б - элемент х₅ удален

Так, для мостиковой структуры (рис.3.17, г) в качестве ис­ключаемого элемента целесообразно выбрать элемент х₅. Схемы для случаев короткозамкнутого и удаленного элемента х₅ пока­заны на рис.3.20.

Вероятность безотказной работы схемы на рис. 3.20, а равна вероятности того, что исходная схема на рис. 3.17,г, будет ра­ботоспособна при работоспособном элементе х₅:

P_max(t) = {l - [l - P_l(t)] [1 - P₂(t)]} {1 - [1 - P₃(t)] [1 - Р₄(t)]}, (3.78)

где P₁(t), P₂(t), Р₃(t), P₄(t) - вероятность безотказной работы соответственно элементов х₁, x₂, x₃, x₄.

Вероятность безотказной работы схемы на рис.3.20, б равна вероятности того, что исходная схема будет работоспособной при отказавшем элементе х₅:

P_min(t) = 1 - [1 - P (t) P₃ (t)] [1 - P₂(t)P₄(t)].(3.79)

Вероятность безотказной работы мостиковой структуры бу­дет, согласно (3.77),

Р_с (t) = P_max (t)P₅ (t) + P_min (t) [1 - Р₅ (t)]. (3.80)

При одинаковых вероятностях безотказной работы элемен­тов, равной P_э (t), формулы (3.78) и (3.79) упрощаются и при­нимают вид

Р_mах (t) = {1 - [1 - Р_э(t)]²}²,

P_min(t) = 1 - [1 - P_э²(t)]².

Например, при P_э (t) = 0,8 получается: P_max(t) = 0,92; P_min(t) = 0,87; P_c (t) = 0,91.

Средняя наработка до отказа определяется в этом случае по общей формуле

Т_ср = P(t)dt.

Для сложных ЭС, которые не являются последовательно-па­раллельными, показатели надежности оценивают с использова­нием кратчайших путей функционирования и минимальных сече­ний отказов. С их помощью сложную структурную схему элек­трической системы преобразуют в эквивалентные последова­тельно-параллельные структуры.

Функцию работоспособности системы записы­вают в виде дизъюнкции всех кратчайших путей функциониро­вания

у(х₁ ..., х_k)= (3.81)

или в виде конъюнкции отрицания всех минимальных сечений отказов

у(х₁ ..., х_k)= (3.82)

где P_l - кратчайшие пути успешного функционирования систе­мы (l =1, 2, ..., d); s_j — отрицания минимальных сечений отка­зов системы (j = 1, 2, ..., s); i P; и i - означает, что i-й элемент принадлежит пути P_l или сечению S_j соответственно. Для схемы на рис.3.17, г функция работоспособности (3.81) будет иметь вид (3.66), а (3.82) можно записать как

y(x_1, ..., x_k) = (x_l V x₂) (x₃ V х₄) (x₁ V x₄ V x₅) (x₂ V x₃ V x₅).

Условия работоспособности системы (рис. 3.17, г) с помощью кратчайших путей функционирования (3.66) и отрицаний мини­мальных сечений отказов показано на рис.3.21.

По известной функции работоспособности оценка вероятно­сти безотказной работы системы P_c(t) сводится к вычислению вероятности Вер[у(х₂ , . . ., x_k) = 1].

Рис. 3.21. Эквивалентные логические схемы для мостиковой структуры, изо­браженной на рис. 3.17, г: а - при параллельном соединении кратчайших пу­тей функционирования,

б - при последовательном соединении минимальных сечений отказов

Если бы отдельные звенья схем, показанных на рис.3.21, были независимы, то вероятность для невосстанавливаемой системы можно было бы вычислить для схемы кратчайших путей функционирования

P_c.к(t) = (3.83)

я схемыминимальных сечений отказов

P_с.м(t) = (3.84)

В общем случае звенья эквивалентных логических схем рас­чета надежности являются зависимыми из-за наличия в них оди­наковых элементов. В связи с этим полученные выражения для функции работоспособности нужно преобразовывать к беспов­торной форме, в которой все аргументы x_i входят не более од­ного раза [21].

В ряде случаев для оценки вероятности безотказной работы системы Pc(t) может быть использовано неравенство

P_c.м(t) ≤ P_c(t) ≤ P_c.к(t). (3.85)

В (3.85) учтено, что расчет P_c.м(t) в предположении о неза­висимости сечений отказов дает заниженную оценку, так как при замене повторяющихся элементов в схеме минимальных се­чений отказов независимыми надежность системы уменьшается, а в схеме кратчайших путей, наоборот, увеличивается.

Применительно к схемам на рис.3.21 при одинаковой на­дежности элементов P_э(t) = 1 - Q_э(t) неравенство (3.85) рас­крывается следующим образом:

[1 - Q_э²(t)]²[1 - Q_э³(t)]² ≤ P_c(t) ≤ 1 - [1 - P_э²(t)]²[1 - P_э³(t)]². (3.86)

При Р_э(t) = 0,8 из (3.86) следует, что 0,902 ≤ Р_с(t) ≤ 0,969, это не противоречит расчету по формуле (3.80).

Для ЭС с небольшим количеством элементов (не более при­мерно 20 элементов) и кратчайших путей функционирования может быть применен метод, основанный на использовании тео­ремы сложения вероятностей совместных со­бытий. В качестве совместных событий используются элемен­тарные конъюнкции условий работоспособности системы, записанных с помощью кратчайших путей функционирования. В соответствии с этой теоремой Pc{t) можно вычислить по формуле

Р_с(t) = Вер [y(x1, …, xk) = 1] = =Вер (3,87)

где P_i -1-й путь успешного функционирования системы; l = 1, 2, ..., d - число кратчайших путей функционирования системы; Вер P_iP_j - вероятность одновременного функционирования путей P_i и P_j.

При использовании формулы (3.87) следует в выражениях для конъюнкций кратчайших путей функционирования произво­дить сокращения в виде x_i²=x_i, i = l, 2, ..., k.

Для схемы на рис.3.17, г, согласно (3.66), имеется четыре кратчайших пути функционирования: P₁ = x₁x₃; P₂ = x₂x₄; P₃ = = x₁x₅x₄; Р₄ = x₂x₅x₃. При одинаковой вероятности безотказной работы элементов P_э(t) = 0,8 на основе (3.87) можно получить

Р_с(t) = 2Р_э² (t) + 2Р_э³ (t) - 5Р_э⁴(t) + 2Р_э⁵(t) = 0,906.

что согласуется с расчетами по формулам (3.80) и (3.86).

Расчеты по формуле (3.87) проводятся достаточно просто с помощью специальной таблицы (табличный метод), в которой размещается k строк - по числу элементов в электриче­ской системе и с столбцов - по числу сочетаний кратчайших путей функционирования в (3.87).

В названиях строк указывается вероятность безотказной ра­боты элементов, а в названиях столбцов записываются все воз­можные сочетания кратчайших путей функционирования систе­мы (3.87) и указываются знаки (+) или (—), чередующиеся согласно (3.87).

Табличный метод расчета надежности электрических систем достаточно прост, однако с ростом количества кратчайших пу­тей функционирования системы и количества элементов в ней расчетная таблица становится довольно большой; так, при трех кратчайших путях функционирования таблица содержит семь столбцов, при четырех - пятнадцать, при пяти - тридцать один, при шести — шестьдесят три столбца.

Пример. Определить табличным методом вероятность безотказного элек­троснабжения приемников электроэнергией, подключенных к РЩ, получаю­щему питание от двух секций ГРЩ (1) и ГРЩ (2) в судовой электростан­ции согласно рис. 3.22. Для упрощения расчетов принимается вероятность безотказной работы за рассматриваемый промежуток времени всех изобра­женных на схеме элементов (генераторов G₁ и G₂, автоматических выключателей QF1.. .QF5, РЩ, кабелей W1 и W2, соединяющих ГРЩ (1) и ГРЩ (2) с РЩ) одинаковой и равной Р_хk = 0,95.

Рис.3.22. Функциональная схема электрической системы

Рис. 3.23. Структурная схема для расчета надежности электрической

системы, изображенной на рис.3.22

Сначала для электрической системы составляют расчетную структурную схему (рис. 3.23). Затем на основе этой схемы записывают функцию работо­способности системы

у(х₁ , ..., x₁₂) = (x₁x₃x₅x₇x₉x₁₁) V (x₂x₄x₆x₈x₁₀x_ll) V (x₁x₃x₅x₁₂x₆x₈x₁₀x₁₁) V (х₂x₄x₆x₁₂x₅x₇x₉x₁₁),

которая содержит четыре кратчайших пути функционирования

P₁ = x₁x₃x₅x₇x₉x₁₁; P₂ = x₂x₄x₆x₈x₁₀x₁₁; P₃ = x₁x₃x₅x₁₂x₆x₈x₁₀x₁₁; P₄ = x₂x₄x₆x₁₂x₅x₇x₉x₁₁.

Вероятность безотказного электроснабжения, т.е. безотказной работы электрической системы Р_c, изображенной на рис. 3.22, определяется согласно (3.87) по формуле

P_с = Вер (P₁) + Вер (P₂) + Вер (P₃) + Вер (P₄) - Вер (P₁P₂) - Вер (P₁P₃)-

- Вер (P₁P₄) - Вер (P₂P₃) — Вер (P₂P₄) - Вер (P₃P₄) + Вер (P₁P₂P₃) +

+ Вер (P₁P₃P₄) + Вер (P₁P₂P₄) - Вер (P₁P₂P₃P₄).

Расчет по этой формуле выполняется в табличной форме следующим образом (табл.3.12): проставляются крестики в столбцах, соответствующих кратчайшим путям функционирования системы, против тех элементов, кото­рые имеются в данном пути P₁ ... P₄; если в данном пути нет этого элемен­та, то ставят прочерк. Затем проставляют крестики и прочерки в остальных столбцах таблицы. Например, в восьмом столбце ставят крестики против сле­дующих элементов:

Р₂Р₃ = (x₂x₄x₆x₈x₁₀x₁₁)&(x₁x₃x₅x₆x₈x₁₀x₁₁x₁₂) = x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₈x₁₀x₁₁x₁₂.

После заполнения всей таблицы вычеркивают одинаковые конъюнкции с разными знаками, в данном случае - столбцы 10 и 11, 14 и 15.

Вероятность безотказной работы системы определяют перемножением в оставшихся столбцах вероятностей тех элементов, которые обозначены крести­ками, и суммированием столбцов с учетом их знаков. При заданной одинако­вой надежности элементов

Р_с = 2Р⁶ + 2Р⁸ - 4Р¹⁰ - Р¹¹ + 2Р¹² = 2 · 0,95⁶ + 2 · 0,95⁸ - 4 · 0,95¹⁰ - 0,95¹¹ + 2 · 0,95¹² = 0,91.

Таблица 3.12.

Результаты расчета надежности ЭС, изображенной на рис. 3.22

Pхk

Р1

Р2

Р3

Р4

Р1Р2

Р1Р3

Р1Р4

Р2Р3

Р2Р4

Р3Р4

Р1Р2Р3

Р1Р2Р4

Р1Р3Р4

Р2Р3Р4

Р1Р2Р3Р4

+

-

+

-

Рх1=0,95

X

—

X

—

X

X

X

X

—

X

X

X

X

X

X

Рх2=0,95

—

X

—

X

X

—

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Рх3=0,95

X

—

X

—

X

X

X

X

—

X

X

X

X

X

X

Рх4=0,95

—

X

—

X

X

—

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Рх5=0,95

X

—

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Рх6=0,95

—

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Рх7=0,95

X

—

—

X

X

X

X

—

X

X

X

X

X

X

X

Рх8=0,95

—

X

X

—

X

X

—

X

X

X

X

X

X

X

X

Рх9=0,95

X

—

—

X

X

X

X

—

X

X

X

X

X

X

X

Рх10=0,95

—

X

X

—

X

X

—

X

X

X

X

X

X

X

X

Рх11=0,95

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Рх12=0,95

—

—

X

X

—

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Pс

0,956

0,956

0,958

0,958

0,9511

0,9510

0,9510

0,9510

0,9510

0,9512

0,9512

Восстанавливаемые электрические системы.Судовые ЭС, как правило, являются системами многократного действия: пос­ле возникновения отказа работоспособность системы восста­навливается, и система продолжает выполнять свое назна­чение.

Для большинства судовых ЭС среднее время восстановления T_в.cp значительно меньше средней наработки системы на отказ Т_o, а Т_о существенно меньше среднего ресурса до списания си­стемы.

Восстановление - одно из средств повышения надежности электрических систем длительного использования. Эффектив­ность восстановления зависит от ремонтопригодности и органи­зации мероприятий по ТО и ремонту, которые приводят отказавшую электрическую систему в работоспособное со­стояние.

Расчет количественных характеристик надежности восста­навливаемых электрических систем существенно усложняется по сравнению с расчетом невосстанавливаемых систем, так как в данном случае нужно учитывать большее число случайных ве­личин и их характеристик, и усложняются связи между элемен­тами системы.

Расчет надежности восстанавливаемых систем может быть выполнен точным методом, основанным на применении теории массового обслуживания; приближенным логико-вероятностным методом или приближенным методом статистического модели­рования процесса функционирования системы на ЭВМ (логико-статистический метод).

При точном методе, основанном на теории массового обслу­живания, составляют уравнения массового обслуживания, учи­тывающие возможные состояния восстанавливаемой системы, выбирают начальные условия для их решения и на основе полу­ченных данных определяют вероятности нахождения системы в рассмотренных состояниях, а при необходимости и другие коли­чественные характеристики надежности.

Уравнения массового обслуживания составляют при допуще­нии, что имеют место простейший, пуассоновский, поток отказов с интенсивностью ω = λ = const и экспоненциальное рас­пределение времени восстановления с интенсивностью восста­новления μ = const. В этом случае процессы, протекающие в си­стеме, называются марковскими, для них характерно отсутст­вие последствия - будущее развитие определяется только со­стоянием в настоящий момент, независимо от того, как проис­ходило развитие в прошлом. Марковский процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений относи­тельно вероятностей нахождения электрической системы в раз­личных состояниях. Для каждого k-го состояния системы, вероятность пребывания в котором P_k(t) в момент времени t, запи­сывается следующее дифференциальное уравнение:

(3.88)

где E(k) - множество состояний системы, из которых возможен непосредственный переход в некоторое состояние k; e(k) - мно­жество состояний системы, в которые возможен непосредствен­ный переход из данного состояния k; λ_ki - интенсивность пере­хода из состояния k в состояние i; λ_ik - интенсивность перехода из состояния i в состояние k. I e(k), i E(k) - суммирование ведется по всем состояниям i, которые относятся соответственно к множеству e(k) или E(k).

При составлении уравнений (3.88) удобно пользоваться гра­фом состояний и переходов электрической системы. Вершили графа соответствуют возможным состояниям, а дуги - возможным переходам из состояния в состояние с интенсивностями, определяемыми соответствующими характеристиками надежности.

Рассмотрим простейшую восстанавливаемую электрическую систему без резервирования, которая может находиться в двух состояниях (рис. 3.24): работоспособном 1 и неработоспособном (система восстанавливается) состоянии 2. Потоки отказов и восстановлений системы - простейшие, с параметрами Л = l/Т_o и = 1/T_в.ср, определяемыми величинами средней наработки на отказ T_о и средним временем восстановления T_в.ср.

Если обозначить через Р₁ (t) вероятность застать систему в. момент t в состоянии 1, а через P₂(t) - вероятность застать си­стему в момент t в состоянии 2, то очевидно, что для любого момента времени t сумма вероятностей состояний равна еди­нице:

P₁(t)+P₂(t) = 1,

так как события, состоящие в том, что в момент времени t система находится в состоянии 1 и 2несовместны, и образуют полную систему событий.

Таким образом, в какой-либо произвольный мо­мент времени систему можно застать в состоянии 1 с вероятностью перехода (вероятностью отказа) за последующее время t в состояние 2, равной

Q( t) = 1—ехр(— t).

Рис.3.24. Граф состоя­ний и пере­ходов систе­мы с двумя состояниями

или в состоянии 2 с вероятностью перехода (веро­ятностью восстановления) в состояние 1, равной

Р_a( t) = 1—ехр(— t).

На основе (3.88) и графа (рис.3.24) система дифференци­альных уравнений для рассматриваемой электрической системы запишется в виде

dP₁(t)/dt = -λP₁(t) + μP₂(t); (3.89)

Есл