Законы распределения случайных величин в теории надежности

Отказы и восстановления СЭО и ЭСА происходят под влия­нием достаточно большого числа различных факторов, поэтому они рассматриваются как случайные события, которые характе­ризуются случайными величинами, используемыми в теории на­дежности для количественной характеристики надежности.

Случайное событие - событие, которое в результате опыта может произойти или не произойти при определенных условиях.

Случайная величина - переменная величина, значе­ние которой может случайным образом меняться от опыта к опыту. Случайные величины могут быть непрерывными и дис­кретными.

Непрерывная случайная величина в некотором промежутке может принять несчетное множество значений. Такими величи­нами являются время безотказной работы устройства, время восстановления, уровень какого-либо параметра и т. п. Для характеристики случайной непрерывной величины нужно опреде­лять диапазон ее возможных значений: максимальное и мини­мальное значения.

Дискретная (прерывная) случайная величина в определен­ном промежутке времени может принимать ограниченное конеч­ное или счетное множество значений. Такими величинами явля­ются число отказов, возникающих в течение заданного времена работы устройства, число неисправных устройств, число дефект­ных элементов в некоторой партии изделий и т. п. Для харак­теристики дискретной величины нужно указывать все значения, которые она может принять.

Указать заранее, какое конкретное значение случайная вели­чина примет в данном эксперименте, невозможно, поэтому для ее характеристики применяются вероятности того, что случай­ная величина будет равна заданному значению или окажется в указанных пределах возможного ее значения. Случайные вели­чины, встречающиеся в задачах надежности (число отказов, на­работка, время восстановления), могут иметь различные рас­пределения вероятностей. В практических расчетах наиболее часто встречаются следующие: для дискретных случайных вели­чин - Пуассона и биноминальное; для непрерывных - экспо­ненциальное, нормальное и Вейбулла.

Законы распределения дискретных случайных величин. Биноминальное распределение. Если в результате от­дельного испытания изучаемое событие А (отказ) может осуще­ствляться с вероятностью р, а вероятность его непоявления рав­на q=1-р, то число появлений события А в N независимых испытаниях (на N объектах) будет случайной величиной, под­чиненной биноминальному закону распределения.

Согласно этому закону вероятность появления события А равно n раз при N испытаниях

(3.1.)

где - число различных сочетаний из N по п.

Математическое ожидание М(п), дисперсия и среднеквадратическое отклонение числа п появлений события А находятся по формулам

В практических задачах часто требуется определить вероят­ность хотя бы одного появления события А при N испытаниях:

Распределение Пуассона. Поток случайных собы­тий (поток отказов или восстановлений) есть последовательность случайных событий, происходящих одно за другим. Поток событий называется пуассоновским, если он удовлетворяет тре­бованиям стационарности, ординарности и отсутствия последст­вия. Такой простейший поток событий наиболее часто использу­ется в теории надежности.

Стационарность означает, что вероятность появления опре­деленного числа событий (отказов) за данный промежуток вре­мени не зависит от положения промежутка на оси времени, а зависит только от его длины. Для такого потока плотность по­явления постоянна во времени.

Ординарность означает невозможность появления в один и тот же момент времени более одного события.

Отсутствие последействия показывает, что вероятность появ­ления определенного числа событий в течение некоторого про­межутка времени не зависит от числа и характера возникнове­ния событий до начала этого промежутка.

Распределение Пуассона определяет вероятность появления числа п событий (отказов) в заданном интервале времени t

(3.2)

где а— среднее число событий за время t (математическое ожи­дание событий в интервале времени t).

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение числа появления события А определяется выра­жениями

Если в среднем в единицу времени поступает событий, то ( и можно записать

(3.3)

Согласно теореме сложения вероятностей выражение рассматривается как сумма вероятностей полной группы несовместных событий.

С учетом (3.3) можно, задаваясь значениями n =0, 1, 2 и т. д., записать

(3.4)

Выражение (3.4) имеет важное практическое значение, так как каждый член ряда определяет вероятность появления

соот­ветствующего числа отказов за время t первый член определяет вероятность отсутствия отказов, второй - вероятность появле­ния одного отказа, третий — двух отказов и т. д.

Законы распределения непрерывных случайных величин. Экспоненциальное распределение определяется одним параметром , который называется интенсивностью или плотностью потока событий. При экспоненциальном распределении плотность вероятности события (отказа)

(3.5)

Соответственно функция распределения, представляющая собой вероятность того, что очередное событие наступит в промежутке времени (0, t), например, вероятность отказа, имеет вид

(3.6)

Выражение (3.7)

означает вероятность отсутствия события, например вероят­ность безотказной работы, в промежутке (0, t).

Среднее время между моментами наступления двух смежных событий, являющееся математическим ожиданием случайной величины, может быть найдено в виде

(3.8)

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Зависимости (3.5)…(3.7) показаны на рис. 3.3.

Для и экспоненциальные зависимости с до­статочной для практических расчетов точностью можно заме­нить приближенными, основанными па разложении функции в ряд до линейных членов

(3.9)

При такой замене наибольшая ошибка для Р (t) при составит 0,01 °/о, а при t = 0,2 составит 0,15 %.

Опыт эксплуатации показывает, что экспоненциальный за­кол распределения характерен при внезапных отказах СЭО и ЭСА в период нормальной эксплуатации, когда явления износа и старения выражены слабо.

Нормальный закон распределения. При нор­мальном распределении плотность вероятности события (отка­за) и вероятность события (отказа) определяются следующим образом:

;

(3.10)

Рис. 3.3. Зависимости ве­роятности P отсутствии события, вероятности Q появления события, плот­ности вероятности f со­бытия и интенсивности потока событий от вре­мени t для экспоненци­ального закона распреде­ления

Рис.3.4.Зависимости вероятности Р отсутствия события вероятности Q появления со­бытия, плотности вероятности f события и интенсивности потока событий от времени t для нормального закона рас­пределения

Нормальное распределение двухпараметрическое, оно пол­ностью определяется двумя независимыми параметрами: мате­матическим ожиданием (средней наработкой до отказа) Tcр и среднеквадратическим отклонением .

Зависимость f(t) симмет­рична относительно Т_сp, определяющего положение кривойf(t) вдоль оси t; с ростом кривая f(t) становится ниже и более по­логой. Вид зависимостей f(t), Q(t) и (t) для нормального закона распределения показан на рис. 3.4. При нормальном рас­пределении интенсивность {t) возрастает с течением времени.

Введя центрированную и нормированную случайную величи­ну , можно функцию распределения представить в виде:

(3.11)

где - интеграл вероятностей, значения которого даются в табличной форме.

При нормальном распределении случайная величина может принимать любые значения от - ∞ до + ∞. Если (прак­тически, если ), что, как правило, соблюдается при оценке надежности СЭО и ЭСА с нормальным распределением наработки, то вероятностью отрицательных значений случайной величины в практических расчетах можно пренебречь и пользо­ваться соотношениями (3.10) и (3.11). В противном случае ис­пользуется усеченное нормальное распределение.

Нормальный закон распределения наблюдается при посте­пенных износовых отказах, наиболее сильно проявляющихся в период интенсивного износа (старения) объекта, например, при износе щеток в электрических машинах; оно характерно для простых электронных и механических деталей с однородны­ми характеристиками разрушения, в том числе для электро­ламп накаливания.

Закон распределения Вейбулла. В этом случае; плотность вероятности и другие характеристики выражаются следующим образом;

;

(3.12)

;

где - гамма-функция, значения которой даются в табличной форме

Распределение Вейбулла определяется двумя параметрами: о - параметром масштаба (при его изменении кривая распре­деления „сжимается" или „растягивается") и k—параметром асимметрии распределения. При k=1 распределение Вейбулла (3.12) переходит в экспоненциальное распределение (3.5). Зави­симости f(t), P(t), Q(t) и (t) показаны на рис.3.5. Вид ука­занных зависимостей существенно определяется величиной па­раметра распределения .

Закон распределения Вейбулла достаточно широко исполь­зуется при описании характеристик надежности в период прира­ботки объектов, для описания систем с большим количеством однотипных элементов, некоторых полупроводниковых прибо­ров, шарикоподшипников и др.

Рис. 3.5. Зависимости плотности вероятности f со­бытия (а), интенсивности потока событий (б), вероятности Р отсутствии событий л вероятности Q появления события (в) от времени для закона распределения Вейбулла при разных значениях параметра k асимметрии

Рис. 3.6. Зависимость ве­роятности Р безотказной работы и вероятности Q отказа от времени t