Дифференциальные уравнения ЭДЗ, методы их решения

Передаточная функция.

1) Безинерционное звено. y y

y = k * x x

t

Например усилитель постоянного тока передает вх. сигнал на выход без задержки. Примером безинерционных звеньев является потенциометрический датчик, сельсин…

2) Апериодическое звено I порядка.

T=R*C

Выходная величина достигает установившегося значения с запаздыванием, которое определяется постоянной времени звена (фильтр низких частот или интегрирующее звено)

у T x

y

x

3) Дифференцирующее звено

T=R*C

Выходная величина пропорциональна производной от входной.

y

y x

y t

4) Интегрирующее звено

Выходная величина пропорциональна интегралу от вх. величины.

Т.к. при исследовании систем автоматического регулирования приходится исследовать несколько дифференциальных уравнений, то общее уравнение системы оказывается системой дифференциальных уравнений или описывается дифференциальным уравнением выше второго порядка.

Чтобы облегчить решение дифференциальных уравнений применяется прямое и обратное преобразование Лапласа. С помощью прямого преобразования Лапласа по заданному значению функции f(t) которое называется оригиналом находится изображение f(p).

Находится с помощью прямого преобразования Лапласа

p – называют оператором Лапласа

С помощью преобразований Лапласа дифференциальные уравнения решаются следующим образом:

- оригиналы заменяются их изображениями по Лапласу

- дифференциальное уравнение превращается в алгебраическое уравнение, из которого находится изображение выходной величины.

- с помощью обратного преобразования Лапласа находится оригинал y(p)=y(t)

Существуют таблицы прямого и обратного преобразования Лапласа для наиболее распространенных функций. Из уравнения звена в операторной форме можно найти передаточную функцию звена.

Передаточной функцией звена называют: Отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых условиях.

Например для апериодического звена II порядка:

;

;

Характеристики звеньев.

Переходная функция h(t) является динамической характеристикой. h(t)- это закон изменения выходной величины, при изменении входной величины по закону единичного скачка.

h(t)- является оригиналом функции Y(p) при подаче на вход единичного скачка. Оригинал входной функции X(t)=1, изображение X(p)=1/p.

Пример: для интегрирующего звена. ;

С помощью обратного преобразования Лапласа находим h(t):

Переходной характеристикой ЭДЗ называют график изменения во времени выходной величины при изменении входной величины по закону единичной ступенчатой функции.