Определение емкости конденсаторов при помощи мостиковой схемы
Цель работы: определение емкости конденсаторов при различных их соединениях с помощью моста переменного тока. Ознакомление с работой моста Сотти.
Теоретическое введение
Электроемкость уединенного проводника - это одна из его характеристик, которая показывает, какой заряд нужно сообщить данному проводнику, чтобы его потенциал изменился на единицу, и определяется по формуле:
, (3.1)
где C - емкость проводника; j - потенциал, который получил проводник при сообщении ему заряда q.
Электроемкость проводника зависит от его размеров, формы, наличия по соседству других проводников и от диэлектрической проницаемости среды.
Единицей электроемкости в системе СИ является 1 фарада - это электроемкость такого проводника, потенциал которого при сообщении заряда в 1 Кулон изменяется на 1 Вольт.
Конденсатором называется совокупность двух любых проводников с одинаковыми по абсолютному значению, но противоположными по знаку зарядами.
Емкость конденсатора определяется отношением заряда на одной из его обкладок к разности потенциалов между обкладками:
. (3.2)
В большинстве случаев форма обкладок конденсатора и их взаимное расположение подбирают таким образом, чтобы внешние поля существенно не влияли на электрическое поле между ними и силовые линии, начинающиеся на одной из обкладок, обязательно заканчивались на другой. Благодаря этому всегда обеспечивается равенство абсолютных значений зарядов на обкладках.
К простейшим типам конденсаторов относятся плоские, сферические и цилиндрические.
 Рис.3.1 Рис.3.2 Рис.3.3 |
Емкость приведенных на рисунках 3.1–3.2 конденсаторов может быть рассчитана по формулам:
плоский конденсатор (рис. 3.1):
; (3.3)
сферический конденсатор (рис. 3.2):
; (3.4)
цилиндрический конденсатор (рис. 3.3):
(3.5)
Докажем формулу (3.4). Для вычисления разности потенциалов на обкладках конденсатора воспользуемся формулой связи напряженности электростатического поля и потенциала: 
; или, то же самое в интегральной форме: 
. Интегрировать здесь будем по радиус-вектору, проведенному от внутренней обкладки к внешней. Вектор напряженности поля направлен радиально (в силу симметрии), тогда
. (3.6)
Напряженность поля между обкладками можно найти по теореме Остроградского-Гаусса (3.7), согласно которой поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охваченных поверхностью, деленной наεε0:
. (3.7)
В качестве Гауссовой поверхности в нашем случае следует взять сферу, концентрическую обкладкам, радиусом r: R1<r<R2. Из-за симметрии напряженность поля в любой точке сферы одинакова и совпадает по направлению с нормалью к поверхности в данной точке, и величину Е можно вынести из под знака интеграла в (3.7), а 
. В правой части (3.7) суммарный заряд, охваченный Гауссовой поверхностью, - это заряд внутренней обкладки, то есть заряд конденсатора q. Тогда
. (3.8)
Здесь учтено, что 
- площадь сферы. Выразив Е из (3.8) и подставив в (3.6), получим:
,
откуда с учетом (3.2) получается (3.4).
Аналогично докажем (3.5). В качестве Гауссовой поверхности здесь следует взять цилиндр, коаксиальный обкладкам цилиндрического конденсатора, радиусом r: r1<r<r2 и длиной l. Тогда из (3.7) получим:
.
Далее, из (3.6):
,
Откуда с учетом (3.2) получим (3.5).
 Рис. 3.4 |
Конденсаторы характеризуются не только их электрической емкостью, но также и напряжением пробоя – такой минимальной разностью потенциалов обкладок, при которой происходит электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе.
В тех случаях, когда емкости одного конденсатора оказывается недостаточно, конденсаторы соединяют параллельно (рис.3.4). При этом напряжение на конденсаторах оказывается одинаковым: Ui=U. Общий заряд батареи
,
где n - общее число конденсаторов; qi - заряд i-го конденсатора. Емкость батареи конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. С учетом того, что из (3.2) заряд каждого конденсатора qi=CiUi, где Сi - емкость i-го конденсатора, а общий заряд q=CU,
,
и после сокращения:
(3.9)
 Рис. 3.5 |
Последовательно конденсаторы соединяют в том случае, когда их нужно включить в цепь с напряжением выше того, на которое рассчитан отдельный конденсатор. При последовательном соединении конденсаторов (рис. 3.5) заряды на конденсаторах одинаковы: qi=q, а полное напряжение на батарее равно сумме напряжений:
.
С учетом (3.2) 
, 
, тогда получим:
,
и после сокращения:
, (3.10)
то есть величина, обратная емкости батареи, равна сумме обратных величин емкостей отдельных конденсаторов.
При последовательном соединении заряды на конденсаторах одинаковы, напряжение на них распределяется в зависимости от их емкостей, чем уменьшает возможность пробоя конденсатора.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: магазин емкостей, микроамперметр, набор конденсаторов, трансформатор, резисторы.
Схема и описание установки
В данной работе для определения емкости конденсатора используется его способность пропускать переменный ток, создавая при этом определенное сопротивление току, связанное с емкостью:
. (3.11)
где w – циклическая частота тока, С – емкость.
Соотношение (3.11) позволяет свести измерение емкости к измерению емкостного сопротивления Rc. Мостиковая схема для измерения сопротивления используется в данном случае для определения емкости. Применяя уравнения Кирхгофа и используя условие равенства нулю тока в диагонали моста Сотти, можно получить следующие соотношения:
(3.12)
. (3.13)
Подобрав такое значение Сэ, при котором ток микроамперметра равен нулю, из (3.13) найдем значение неизвестной емкости:
 Рис. 3.7 |
. (3.14)
 Рис. 3.6 |
Установка смонтирована в металлическом корпусе. Схема ее представлена на рис.3.6: Сх– конденсатор с неизвестной емкостью;Сэ– эталонная емкость (магазин емкостей ); R1и R2– известные сопротивления:R2=10 кОм; R1 можно менять, устанавливая 12 кОм или 2 кОм.
Панель с набором конденсаторов, емкость которых необходимо определить, показана на рис. 3.7. Обратите внимание на включение конденсаторов в схему: С1 – должны быть соединены перемычкой клеммы 3 и 6; С2 – клеммы 1 и 2; 5 и 6; С3 – клеммы 1 и 4.
Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с экспериментальной установкой.
2. Подготовить таблицу по предлагаемой форме 3.1 для записи результатов эксперимента и расчета.
3. Подключить сопротивление R1=2 кОм.
4. Подключить конденсатор с емкостью С1.
5. Поворачивая рукоятки магазина эталонных емкостей, начиная с левой, добиться равновесия моста. Величину емкости СЭ записать в таблицу 3.1.
6. Вычислить емкость Сх по формуле (3.14):
. (3.14)
7. Аналогично повторить измерение для других конденсаторов С2 и С3. Величину измеренной емкости СЭ и вычисленной Сх записать в таблицу 3.1.
Таблица 3.1.
| R1=2 кОм | Измеряемая емкость | CЭ , мкФ | Cx , мкФ | DCx , мкФ | Cx. теоретич. мкФ | Cтеор–Сэкспер. мкФ | Е(С) | ||
| Опыт 1 | Опыт 2 | Опыт 3 | Средн. | ||||||
| С1 | – | – | – | ||||||
| С2 | |||||||||
| С3 | |||||||||
| Последоват. С1, С2 и С3 | |||||||||
| Параллельн. С1, С2 и С3 |
8. Соединить С1, С2, С3 сначала последовательно (как показано на рис. 3.7), затем параллельно и измерить емкость последовательно и параллельно соединенных конденсаторов (см. пункты 4-6); все результаты записать в таблицу 3.1.
9. Подключить сопротивление R1=12 кОм и повторить все измерения и вычисления по пунктам 4-8; результаты записать в табл. 3.2.
10. Вычислить теоретические значения емкостей при последовательном и параллельном соединениях, используя общие формулы (3.9) и (3.10).
11. Сравнить результаты, полученные экспериментально и по расчетам.
12. Найти погрешность прямых измерений.
13. Оценить относительную погрешность Е(С) для последовательно и параллельно соединенных емкостей по формуле:
,
результаты занести в таблицы 3.1 и 3.2.
14. Сделать выводы.
Таблица 3.2.
| R1=12 кОм | Измеряемая емкость | CЭ, мкФ | Cx , мкФ | DCx , мкФ | Cx. теоретич. мкФ | Cтеор–Сэкспер. мкФ | Е(С) | ||
| Опыт 1 | Опыт 2 | Опыт 3 | Средн. | ||||||
| С1 | – | – | – | ||||||
| С2 | |||||||||
| С3 | |||||||||
| Последоват. С1, С2 и С3 | |||||||||
| Параллельн. С1, С2 и С3 |
Контрольные вопросы
1. Что называется емкостью проводника? Конденсатора?
2. Вывести формулу для емкости плоского конденсатора; сферического конденсатора; цилиндрического конденсатора.
3. Вывести условие равновесия моста Сотти. Изменится ли равновесие моста Сотти при изменении частоты переменного тока?
4. Вывести формулу емкости для параллельного и последовательного соединения конденсаторов.
Используемая литература
[1] §§ 16.1-16.3;
[2] §§ 11.5, 11.6;
[3] §§ 2.15-2.18, 2.20, 2.22;
[4] т.2, §§ 26, 27;
[5] § 94.
Лабораторная работа 2-04