Алгебра логики (алгебра Буля)

Цифровые устройства построены на принципе многократного повторения относительно простых базовых схем. Связи между этими схемами строятся на основе чисто формальных методов. Инструментом такого построения служит булева алгебра (алгебра логики).

Логическая переменная Х (или набор переменных – Х1,Х2,….Хn) так же как и функции этой переменной – У, то есть У=f(Х1,Х2,….Хn), принимают только два возможных значения:

- значение логического нуля (низкий уровень (отсутствие) сигнала);

- значение логической единицы (высокий уровень сигнала).

Таким образом алгебра логики изучает связь между переменными, принимающими только значения "1" и "0".

Основные понятия алгебры логики

Закон исключенного третьего

Если х ≠ 1, то х = 0, если х ≠ 0, то х = 1.

Существуют три основные операции между логическими переменными:

1) Конъюнкция (операция "и", логическое умножение). Конъюнкция нескольких переменных равна 1 лишь тогда, когда все переменные равны 1. Конъюнкция обозначается в виде произведения у = х₁·х₂, или у = х₁х₂, или у = х₁Λх₂. Обозначение элемента в схеме приведено на рис. 40.

Рис. 40. Конъюнктор

Таблица соответствия для конъюнкции

х1	х2	у=х1·х2

Таблица 2 Конъюнкция

2) Дизъюнкция (операция "или", логическое сложение). Дизъюнкция нескольких переменных равна 1, если хотя бы одна из переменных равна 1. Дизъюнкция обозначается в виде суммы: у = х₁+х₂, или у = х₁Vх₂. Обозначение элемента в схеме приведено на рис.42.

Рис.42. Дизъюнктор

Таблица соответствия для дизъюнкции

х1	х2	у=х1+х2

Таблица 3 Дизъюнкция

3) Инверсия (операция "не", логическое отрицание). Обозначение элемента в схеме приведено на рис 43.

Рис.43

Таблица соответствия для инверсии

х	у=

Возможны комбинированные операции. Примеры элементов, выполняющих такие действия приведены на рис.44.

Рис. 44 Комбинированные логические элементы

Система обозначения интегральных схем

В технической документации применяют графическое и буквенное обозначение ИС.

Обозначение ИС на электрических принципиальных схемах

Буквенные обозначения на электрических принципиальных схемах: DD — цифровая ИС; DA — аналоговая ИС.

Функции элемента указываются символами, например:

1 — функция “ИЛИ”; & — функция “И”;

Т — триггер; > — операционный усилитель;

Х:Y — делитель; >10⁴ — усилитель с коэффициентом усиления 10000;

A/# — аналогово-цифровой преобразователь (АЦП).

Базовые логические элементы

Базовыми называют логические элементы, выполняющие основные логические функции. Из них собирают устройства, выполняющие сколь угодно сложные логические функции.

Существует множество базовых логических элементов. Рассмотрим важнейшие из них.

1. Резисторно-транзисторный ЛЭ (РТЛ).

Простейшим элементом, выполняющим функцию отрицания НЕ, является транзисторный ключ.

Рис. 45. Транзисторный ключ

Транзисторы в интегральных схемах обычно изображают без окружности (для экономии места).

Более сложная операция ИЛИ-НЕ реализует цепь из М транзисторных ключей, работающих на общую нагрузку

Рис. 43. Совокупность ключей с общей нагрузкой

Если все транзисторы закрыты, то U_вых = U¹_вых >> Е_к. Чтобы получить U_вых = U⁰_вых > 0 необходимо открыть хотя бы один транзистор, т.е. U_вх = U¹_вх (до насыщения!).

Недостаток РТЛ - диссипативные резисторы занимают много места на подложке и снижают степень интеграции ИС. Применяются редко.