Неустойчивый предельный цикл

Рис. 7.4. Фазовые портреты колебаний в генераторах с мягким (вверху)
и жёстким режимом возбуждения (внизу).

RC-генератор

Рассмотрим схему с неинвертирующим усилителем, в цепь обратной связи которого включена цепочка, изображённая на рис. 7.5. Эта цепочка носит название цепочки Вина. Покажем, что такой генератор будет источником синусоидальных колебаний. Чтобы выяснить выполнение условий генерации (7.1 и 7.2), рассчитаем коэффициент обратной связи, то есть коэффициент передачи цепочки Вина. Выше была получена следующая формула (2.61') для
R₁ C₁ = R₂ C₂ = τ :

На частоте сдвиг фаз равен нулю, К = , а величина β(ω₀) – вещественная. Тогда уравнение баланса амплитуд (7.1) будет выполняться при K ≥ 3 , и в системе разовьются почти синусоидальные колебания.

Напомним, что величина стационарной амплитуды будет определяться нелинейной зависимостью K(U_ВХ) коэффициента усиления.

На рис. 7.5 приведена схема RC-генератора на операционном усилителе. Здесь цепочка в цепи инвертирующего входа задаёт коэффициент усиления K ≥ 3, а цепочка Вина обеспечивает условия возникновения автоколебаний.

Рис. 7.5.

Схема RC-генератора на операционном усилителе.

(7.10)

Если условие баланса амплитуд “перевыполнено”, например, K = 30, то условие баланса амплитуд будет выполнено в широкой полосе и, значит, в спектре автоколебаний будут частоты, лежащие в широкой полосе вокруг ω₀ ,и колебания будут несинусоидальные.

Простейший генератор релаксационных колебаний

Кроме генераторов гармонических колебаний в радиотехнике используются генераторы, форма автоколебаний в которых сильно отличается от синусоидальных. Схема такого простейшего автогенератора приведена на рис. 7.6.

Рис. 7.6.

Схема простейшего генератора пилообразного напряжения (слева) и форма автоколебаний напряжения на конденсаторе.

Это генератор пилообразного напряжения. Нелинейным элементом в нём является тиристор. Основной особенностью тиристора является то, что он обладает очень большим сопротивлением вплоть до пробоя, напряжение которого зависит от сопротивления резистора R₂ . При пробое напряжение на тиристоре уменьшается до нуля, и его большое сопротивление восстанавливается. Конденсатор С снова заряжается до напряжения пробоя, и так генерируются периодические колебания, состоящие из отрезков экспонент. Период колебаний такого генератора порядка R₁C. Для примера применения в качестве нагрузки включён повышающий трансформатор.

Такой генератор с конденсатором порядка 1 мкФ, со строчным трансформатором от телевизора и тремя витками в первичной обмотке, питаемый напряжением +300 В даёт больше 10 000 В на выходе.

Мультивибратор, триггер

Более сложным генератором релаксационных колебаний является мультивибратор, пример схемы которого приведён на рис. 7.7.

Рис. 7.7.

Схема мультивибратора на двух полевых транзисторах. Номиналы деталей, например, такие:

VT₁, VT₂ – КП302,

R₁ , R₂ – 20 кОм, R₃ , R₄ – 1 МОм,

С₁ , С₂ – 1 мкФ.

Частота будет около 1 Гц.

Открыт Закрыт

Рассмотрим принцип его работы. В мультивибраторе выполняется условие Kβ = K₁K₂ >>1 (K₁ и K₂ коэффициенты усиления каждого каскада), т.е. условие возбуждения Kβ > 1 “перевыполнено”. Кроме того, обычно выполнено и R_1,2 C_СИ << C _1,2 R_1,2 , где C_СИ – паразитная ёмкость между стоком и истоком.

Сначала покажем, что устойчивым состоянием является ситуация, когда один транзистор открыт, а другой закрыт. Предположим, что это не так, т.е. оба транзистора открыты. Покажем, что такое состояние будет неустойчивым.

Пусть из-за флуктуаций (см. рис. 7.7) возрос ток I_R1 через первый транзистор на +∆I₁ . Тогда напряжение в точке a упадёт. Напряжение на конденсаторе C₁ не успеет измениться, поэтому на ту же величину упадёт и напряжение в точке d на затворе второго транзистора, что вызовет уменьшение тока через второй транзистор, а, следовательно, увеличение напряжения в точке b:

ΔU_a = – ΔI₁ R₁ , ΔU_C1 ≈ 0 ,

ΔU_d = – ΔI₁ R₁ , ΔU_b = – ΔI₂ R₂ = – ΔU_d S₂ R₂

Далее из-за того, что напряжение на конденсаторе C₂ не успевает измениться, увеличение напряжения в точке b приведёт к увеличению напряжения и в точке fна затворе первого транзистора. Это вызовет увеличение тока ∆I_1-2 через первый транзистор, которое превысит первоначальное увеличение тока ∆I₁

ΔU_C2 ≈ 0 , ΔU_f = ΔU_b ,

ΔI_1-2 = + S₁ΔU_b = – ΔU_d K₂ S₁ = + ΔI₁ R₁ S₁ K₂= ΔI₁ K₁ K₂ >> ΔI₁ .

Далее будет лавинообразное нарастание тока через первый транзистор. Таким образом, мы доказали, что положение, когда оба транзистора открыты, является неустойчивым.

Скачок кончится, когда второй транзистор будет заперт. Очевидно, что время скачка τ_front будет определяться ёмкостью C_СИ: τ_front ≈ R₁ C_СИ. Эта величина обычно мала, например, для R₁ ≈ 20 кОм и C_СИ ≈ 10 пФ получаем τ_front ≈ 2·10³ ·10⁻¹¹ = 20·10⁻⁹ сек .

Рассмотрим, что будет далее. Во время скачка U_C1 практически не меняется, а U_a резко упало (ток I₁ сильно вырос), поэтому после скачка C₁ – разряжается. Ток разряда i₁ показан на рис. 7.7 пунктиром. Этот ток разрядки конденсатора C₁ создаёт отрицательное напряжение на затворе второго транзистора и поддерживает правый транзистор запертым. Запертый транзистор поддерживает на некоторое время устойчивое состояние мультивибратора.

Одновременно конденсатор C₂ – дозаряжается от U_C2 до U_ПИТ . Этот ток поддерживает положительное напряжение на первом транзисторе (он открыт). Ток i₂ показан рис. 7.7. Когда C₁ достаточно разрядится, напряжение на затворе второго транзистора станет меньше запирающего. Тогда ток через второй транзистор возрастёт, и произойдёт обратный скачок: в итоге будет заперт первый транзистор. И так далее. В результате возникнут автоколебания. Форма этих колебаний будет далека от синусоидальной.

Триггером является система с двумя устойчивыми положениями равновесия. Это основной элемент компьютеров – ячейка хранения информации. Триггер – это модифицированный мультивибратор: напряжение питания понижено, так что автоколебаний нет. Подбором параметров можно добиться двух устойчивых положений равновесия. Импульс входного напряжения перебрасывает триггер в другое состояние.

Схема мультивибратора, состоящая из дискретных элементов, скорее учебная. Гораздо проще собрать мультивибратор и множество других импульсных схем на логических элементах. Внутри каждого логического элемента может быть много деталей, но его работу можно просто характеризовать входной характеристикой – зависимостью напряжения на выходе от напряжения на входе. Характеристика первого элемента логической микросхемы К176ЛЕ10 с замкнутыми входами 1-2-8 приведена на рис. 7.9.

Рис. 7.9.

Входная характеристика логической микросхемы К176ЛЕ10 при напряжении питания 5 В. Видно, что при низком напряжении на входе на выходе логического элемента напряжение большое, а при большом – маленькое. Большое напряжение называют логической единицей, а маленькое – нулём.

Это при соединении всех входов вместе, как на рис. 7.11.

Рис. 7.10.

Переключательная часть входной характеристики. Из-за погрешностей измерений и небольшого гистерезиса точки не радуют глаз. Переключение происходит на промежутке менее 50 мВ. Это при напряжении питания 5 В = 5000 мВ.

Рис. 7.11.

Простейший мультивибратор на логической схеме ИЛИ-НЕ.

Простейшая схема, которую можно собрать на логических элементах – это генератор импульсов прямоугольной формы. Такой генератор будет работать в режиме автогенерации, подобно транзисторному мультивибратору, поэтому его и назвали также: мультивибратор на микросхеме (рис. 7.11). Наш мультивибратор собран на двух элементах логической схемы ИЛИ-НЕ. На схеме они обозначены пустыми прямоугольниками. Третий логический элемент не обязателен. Здесь он просто переворачивает фазу и отделяет выход от времязадающей цепи.

При включении питания один из элементов хаотично примет одно из двух возможных положений – на выходе либо логический "0", либо "1". Пусть, к примеру, это будет элемент DD1.2: при включении на его выходе установилась логическая "1". Это значит, что на его входе и на выходе DD1.1 будет "0", а на входе DD1.1 будет "1".

Конденсатор C₁ начинает заряжаться через цепь: выход DD1.2 – резистор R₁ – выход DD1.1. Пока конденсатор не зарядится, на входе элемента DD1.1 будет удерживаться напряжение высокого уровня, и он будет находиться в состоянии логического "0". Это состояние неустойчивое: по мере зарядки конденсатора напряжение на входе DD1.1 будет падать и через время порядка RC уменьшится до порогового. Элемент DD1.1 переключится в состояние логической "1" (на его выходе появится напряжение высокого уровня). Элемент DD1.2 перейдёт в состояние логического "0", а элемент DD1.3 в состояние "1".

Теперь конденсатор C1 будет заряжаться уже в обратном направлении: с выхода элемента DD1.1 через R1 на выход DD1.2 и так далее. Период колебаний зависит от постоянной времени RC, причём длительность положительного и отрицательного импульсов будут равны. Если вместо одного сопротивления включить параллельно два последовательно с разнонаправленными диодами, то импульсы можно сделать разной длительности.

Длинная линия

Телеграфные уравнения

До сих пор мы рассматривали квазистационарные системы, в которых нет волн, и все процессы происходят одновременно. Если размеры системы окажутся сравнимы или даже больше длины волны, то придётся учитывать эффекты распространения волн. Простейшим примером системы, в которой распространяются электромагнитные волны, является длинная линия.

Будем рассматривать длинную линию, состоящую из двух параллельных друг другу проводов, расстояние d между которыми мало по сравнению с длиной волны λ = c/ν, а длина проводов формально не ограничена. Условие малости расстояния между проводами d << λ (иногда его называют условием “поперечной квазистационарности”) позволяет ввести погонные характеристики длинной линии:

погонную индуктивность L [Гн/м],

погонную ёмкость C [Ф/м],

погонное сопротивление R [Ом/м] и сопротивление утечки, характеризуемое

погонной проводимостью G [См/м].

Рис. 8.1.

Можно мысленно представить длинную линию состоящей из отдельных цепочек.

Рис. 8.2.

Правило Кирхгофа для токов:

(8.1)

Правило Кирхгофа для напряжений:

(8.2)

Уравнения (8.1) и (8.2) называются телеграфными уравнениями и полностью описывают распространение линейных волн в длинной линии.