Характеристики линейных цепей – коэффициент передачи

Пусть мы имеем какую-то цепь, состоящую из линейных элементов, в которой мы можем условно выделить "вход" и "выход". На вход мы подаём входное напряжение U_ВХ – см. рис. 1.1. Нас интересует связь между U_ВХ и U_ВЫХ .

Примем, что генератор напряжения U_ВХ имеет нулевое внутреннее сопротивление, то есть его напряжение не зависит от тока нагрузки.

Для описания линейных цепей используют различные величины, связывающие входное и выходное напряжения. Рассмотрим некоторые из них.

Коэффициент передачи (2.12)
является комплексной функцией частоты. Он показывает отношение установившихся гармонических напряжений на выходе к напряжению на входе, причём модуль показывает отношение их амплитуд (амплитудно-частотная характеристика или АЧХ или просто ЧХ), а аргумент arg – разность их фаз (фазово-частотная характеристика или ФЧХ).

Импульсная характеристика

Важную роль в радиоэлектронике играет так называемая δ-функция. Входное напряжение можно разложить по этим δ-функциям. Сама δ-функция узка, но высока настолько, что интеграл от неё всегда равен единице. В радиоэлектронике ею моделируют очень короткие импульсы. Ниже об этом будет рассказано немного подробнее. Пока поверьте, что Это – фактически определение δ-функции.

Тогда выходное напряжение может быть представлено в виде суперпозиции по некоторым функциям g(t).

(2.13)

Физический смысл импульсной характеристики g(t) заключается в том, что она описывает реакцию линейной системы на дельта-функцию δ (t).

Поэтому, зная импульсную функцию g(t), можно рассчитывать выходное напряжение по формуле (2.13), подставляя входное напряжение.

Переходная характеристика h(t)

Иногда частотный способ описания не так удобен, как временно́й.

Введём ступенчатую функцию Хевисайда H(t), определяемую как

если

если

Рис. 2.9.

Единичная функция или функция Хевисайда.

Или просто ступенька.

Введём переходную характеристику h(t) как реакцию линейной системы на ступеньку H(t). Реакция – это зависимость выходного напряжения от времени. Примеры применения переходных характеристик будут рассмотрены ниже.

Интеграл Дюамеля

Произвольный входной электрический сигнал можно представить в виде суммы ступенек небольшой амплитуды, как это показано на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Представление сигнала произвольной формы в виде суммы большого числа сдвинутых по времени на Δt ступенек.

Если скачки ΔU маленькие, то их можно записать как

Тогда из рис. 2.10 видно, что U_ВХ (t) можно представить как

Если устремить Δt к нулю, то можно сумму заменить интегралом.

(2.14)

Это и есть интеграл Дюамеля (Duhamel).

Тогда выходное напряжение линейной системы при произвольном воздействии может быть представлено в виде суперпозиции по функциям h(t), то есть по откликам системы на ступеньку.

(2.15)

Конечно, всё это работает только в линейных цепях, в которых действует принцип суперпозиции.

Пример – дифференцирующая цепочка

На рис. 2.11 показана так называемая дифференцирующая цепочка. Рассчитаем коэффициент передачи этой простейшей RC-цепочки:

(2.16)

Напряжение на конденсаторе Ũ_C пропорционально току. Коэффициент

пропорциональности – это аналог сопротивления для переменного тока. Его

называют импеданс.

Рис. 2.11.

Дифференцирующая цепочка и её

частотная и фазовая характеристики.

Коэффициент передачи:

(2.17)

(2.18)

Известно, что при делении комплексных чисел модули делят, а фазы вычитают.

Рис. 2.12.

Входное напряжение U_BX и выходные напряжения на дифференцирующей цепочке, (рис. 2.11), при различных значениях постоянной времени цепочки. τ = RC.

При ωτ = 1 модуль коэффициента передачи равен 0.7, и выходное напряжение отстаёт по фазе от входного на π/4.

При ωτ >> 1 выходное напряжение почти совпадает со входным.

При ωτ << 1 выходное напряжение меньше входного и отстаёт по фазе почти на π/2.

Для той же дифференцирующей RC-цепочки, изображённой на рис. 2.11, мы можем рассчитать переходную характеристику, решая дифференциальное уравнение:

Q – заряд конденсатора.

напряжение
на сопротивлении на конденсаторе

Получилось уравнение вида

Чтобы вычислить переходную характеристику h(t) из этого дифференциального уравнения, подадим на вход дифференцирующей цепочки ступеньку.

Если U_ВХ (t) = U₀ H(t) , то получится уравнение .

Или

Из Бронштейна и Семендяева:

При t = 0, Q = 0, C₂ = – U₀ C .

(2.20)

(2.21)

Здесь множитель H(t) введён, чтобы учесть отсутствие сигнала для отрицательных времён: h (t < 0) = 0 (принцип причинности).

Рис. 2.13.

Переходная функция или переходная характеристика дифференцирующих цепочек с разными постоянными времени. При t = τ = RC экспонента уменьшается в е = 2,718281828 раз.