Процесс заряда конденсатора от источника постоянного напряжения

Заряд емкости через сопротивление

а) схема; б) эпюры напряжений

После замыкания ключа К начинается заряд конденсатора с и в цепи протекает ток заряда i.

По II закону Кирхгофа:

ir+u_c –u=0; отсюда i=u-u_c/r ;

В то же время

i= c du_c/dt

Приравняв выражение для токов, имеем:

u_c=rc* du_c/dt +u_c

Решение этого дифференциального уравнения:

uc=u(1-e-t/τ )

где τ=rc – постоянная времени цепи

[Ом*с/Ом ] =[с]

i=u/r*e-t/τ =Iосн e-t/τ

Нарастание напряжения на емкости до 95%. Остальные максимальные значения n стадий тока до 5% от начального значения происходит по экспоненте за время t=3τ, т. е. процесс заряда инерционен и зависит от параметров цепи.

Рассмотрим цепь, в которой конденсатор подключен к источнику синусоидальной ЭДС.

а) схема б) временный график

В первую четверть периода напряжение u_c возрастает, du/dt>0 , i>0; при этом положительные направления i и u_c совпадают, энергия источника переходит в энергию поля конденсатора, который накапливает энергию

W_c =(cu_cm ) ² /2.

Во вторую четверть периода напряжение убывает, du/dt<0 , i<0; ток изменяет направление, и энергия поля конденсатора возвращается в источник.

В следующую половину периода ток изменяет, и процесс накопления и возврата энергии конденсатором повторяется.

Следовательно, в цепи с идеальной емкостью (при отсутствии активных потерь) происходит непрерывный обмен энергией между источником и полем конденсатора без потерь.

Соединение конденсаторов

Параллельное соединение конденсаторов.

Здесь конденсаторы находятся под общим напряжением u, а общий заряд, который они получают от источника:

Поэтому

Параллельное соединение конденсаторов применяют для увеличения общей емкости.

Последовательное соединение конденсаторов.

В этом случае заряды, получаемые конденсаторами, одинаковы, т.к. через них протекает один и тот же ток.

Поэтому: C₃=q/u₁+u₂+...+u_n=q/(q/C₁)+(q/C₂)+...+(q/C_n)=1/(1/C₁)+(1/C₂)+...+(1/C_n)

Если С₁=С₂=…=С_n ; то С₃=С/n .

Последовательное соединение конденсаторов применяют в случае, когда допустимое напряжение одного конденсатора меньше напряжения источника.

Индуктивный элемент

Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока характеризуется наличием изменяющегося магнитного поля, создаваемого этим током, интенсивность которого может быть оценена магнитным потоком Ф, выражаемым в веберах [Вб] или [В*с]

Сумма магнитных потоков отдельных витков катушки индуктивности называется потокосцеплением.

где: W – количество витков катушки индуктивности;

Если магнитные потоки всех витков одинаковы, то

С другой стороны, потокосцепление:

где L – индуктивность, представляющая собой в данном случае коэффициент пропорциональности между потокосцеплением и током, вызывающим его:

Единица индуктивности – генри; дольные единицы милли-, микрогенри [мГн], [мкГн].

Наведение ЭДС в катушке индуктивности при изменении потокосцепления называется самоиндукцией.

Согласно закону электромагнитной индукции ЭДС самоиндукции определяется скоростью изменения потокосцепления, взятая с обратным:

Следовательно, индуктивность может быть также определена как коэффициент пропорциональности между скоростью изменения тока в катушке и наводимой при этом ЭДС самоиндукции.

Знак «-» означает, что ЭДС самоиндукции препятствует причине, вызывающей её.

Работа катушки индуктивности в цепи синусоидального тока:

а) схема б) временный график

Действительно, если катушку индуктивности подключить к источнику синусоидальной ЭДС, то:

В первую четверть периода ток возрастает (di/dt>0) и ЭДС самоиндукции е_l<0, направлена навстречу току и препятствует его увеличению.

При этом энергия источника переходит в энергию магнитного поля катушки:

Во вторую четверть периода ток убывает (di/dt<0) и ЭДС самоиндукции е_l>0, т. е. совпадает с направлением тока, препятствуя его уменьшению;

При этом энергия магнитного поля катушки возвращается в источник. Следовательно, в цепи с идеальной катушкой индуктивности (т.е. при отсутствии активных потерь) происходит непрерывный обмен энергией между источником и магнитным полем катушки без потерь.

Напряжение на катушке индуктивности равно по величине и противоположено по направлению ЭДС индукции:

u_l=-e_l

Рассмотрим процесс увеличения силы тока в цепи с индуктивностью и активным сопротивлением при подключении постоянного напряжения.

Увеличение силы тока в цепи, содержащей индуктивность и активное сопротивление:

а) схема; б) временный график

При замыкании ключа К в цепи начинает протекать ток. Составим уравнение по II закону Кирхгофа для данной цепи:

ir-e_l-u=0; i=u+e_i/r;

e_l=-L di/dt; u=ir+L di/dt.

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

i=Iуст(1-е-t/τ )

I_уст=u/r – установившийся ток по окончании переходного процесса.

τ=L/r [Ом*с/Ом]= [с] - постоянная времени цепи.

Из временного графика видно, что нарастание тока до 95% установившегося значения I_уст=u/r происходит по экспоненте за время t=3 τ.

Спад тока в цепи до 5% от установившегося значения также происходит по экспоненте за время t=3 τ.

Лекция №5