Высказывания и высказывательные формы

Теоретическая часть

Логические операции (действия над высказываниями)

Подобно тому, как с числами можно проводить арифметические действия (складывать, умножать и т.д.), к высказываниям тоже применимы свои операции. Существует три базовых логических операции:

отрицание высказывания;

конъюнкция или логическое умножение высказываний;

дизъюнкция или логическое сложение высказываний.

По порядку:

Отрицание высказывания

Данной операции соответствует логическая связка НЕ и символ

Отрицанием высказывания называется высказывание (читается «не а»), которое ложно, если истинно, и истинно – если ложно:

Так, например, высказывание – черепахи не летают истинно: ,
а его отрицание – черепахи летают если хорошенько пнуть – ложно: ;

высказывание – дважды два будет два ложно: ,
а его отрицание – неверно, что дважды два будет два – истинно: .

Кстати, не нужно смеяться над примером с черепахами ;) садисты

Удачной физической моделью данной операции является обычная лампочка и выключатель:

свет включен – логическая единица или истина,
свет выключили – логический ноль или ложь.

2) Конъюнкция (логическое умножение высказываний)
Данной операции соответствует логическая связка И и символ либо Конъюнкцией высказываний и называют высказывание (читается «а и бэ»), которое истинно в том и только том случае, когда истинны оба высказывания и :

Данная операция тоже встречается сплошь и рядом. Вернёмся к нашему герою с первой парты: предположим, что Петя получает допуск к экзамену по высшей математике, если сдаёт курсовую работу и зачёт по теме. Рассмотрим следующие высказывания:
– Петя сдал курсовую работу;
– Петя сдал зачёт.

Заметьте, что в отличие от формулировки «Петя завтра сдаст» здесь уже в любой момент времени можно сказать, истина это или ложь.

Высказывание (суть – Петя допущен к экзамену) будет истинно в том и только том случае, если он сдал курсовик и зачёт по . Если хоть что-то не сдано (см. три нижних строчки таблицы), то конъюнкция – ложна.

И очень своевременно пришёл мне в голову отличный математический пример: знак системы соединяет входящие в неё уравнения/неравенства как раз по правилу И. Так, например, запись двух линейных уравнений в систему подразумевает то, что мы должны найти ТАКИЕ корни (если они существуют), которые удовлетворяют и первому и второму уравнению.

Рассматриваемая логическая операция распространяется и на большее количество высказываний. Условно говоря, если в системе 5 уравнений, то её корни (в случае их существования) должны удовлетворять и 1-му и 2-му и 3-му и 4-му и 5-му уравнению данной системы.

И в заключение пункта вновь обратимся к доморощенной электротехнике: конъюнктивное правило хорошо моделирует выключатель в комнате и рубильник на электрическом щитке в подъезде (последовательное подключение). Рассмотрим высказывания:

– выключатель в комнате включен;

– рубильник в подъезде включен.

Наверное, все уже поняли, что конъюнкция читается самым что ни на есть естественным образом:
– выключатель в комнате включен и рубильник в подъезде включен.

Очевидно, что тогда и только тогда, когда . В трёх других случаях (проанализируйте, каких) цепь разомкнётся и свет погаснет: .

Давайте присоединим ещё одно высказывание:
– рубильник на подстанции включен.

Аналогично: конъюнкция будет истинна тогда и только тогда, когда . Здесь, к слову, уже будет 7 различных вариантов разрыва цепи.

Основание выбора программы

Информационный взрыв породил множество инновационных идей. Особый интерес представляют вопросы, связанные с образованием, а на данный момент очень актуальным – электронным образованием.

Электронное образование – это сфера использования ИКТ технологий для образовательных целей. Электронное образование может быть представлено как обучающими системами (LMS), так и, размещенными в сети, дидактическими, методическими, наглядно-иллюстративными материалами.

Поскольку, создание и организация учебных курсов с использованием ИКТ технологий и так представляет не простую технологическую и методическую задачу, то при этом использование обучающей системы накладывает на учителя такие трудности как размещение и администрирование программы. В связи с этим, в последнее время все больший интерес приобретает особая форма электронного образования – электронный учебник. Электронный учебник – это компьютерная программа, имеющая набор средств для удобной навигации и поиска по своему содержимому, он позволяет упростить ту сложную процедуру, которую используют учителя при создании методических пособий.

При этом электронные учебники имеют ряд важных преимуществ:

· возможность динамического отображения материала (излагаемый материал нагляден и удобен для человеческого восприятия);

· компактность и мобильность электронных средств обучения;

· удобство и быстрота поиска желаемой информации;

· возможность объективного контроля и оценки уровня знаний и навыков пользователя в изучаемой области, реализованная посредством тестирования с жестко предписанной системой оценивания.

В рамках исследовании были рассмотрены различные средства для создания

электронных учебников, но выбор был остановлен на продукте компании JetDraft Software - JetDraft Document Suite 2008, который позволяет создавать электронные учебники, CHM-справки и тесты из заранее подготовленного отформатированного текстового документа.

Рисунок 1 Основное окно программы JetDraft Document Suite 2008

Одной из главных особенностей данного продукта для системы электронного образования является его возможность проверки знаний и учёта результатов в формате SCORM. SCORM позволяет обеспечить совместимость компонентов и возможность их многократного использования: учебный материал представлен отдельными небольшими блоками, которые могут включаться в разные учебные курсы и использоваться системой электронного обучения независимо от того, кем, где и с помощью каких средств они были созданы.

Программа очень проста в использовании. Предоставляет возможность экспортировать учебные материалы на Веб-Узел с поддержкой навигации и функции проверки знаний. Преобразование документа из одного типа в другой и декомпозиция содержания документа на отдельные файлы дает возможность их использования в Интернет ресурсах дискретно.

Тесты, встроенные в электронный учебник позволяют не только контролировать усвоение обучающимися учебного материала, но и, автоматический подсчет результатов, позволяет объективно оценить учащегося, что значительно облегчает работу преподавателя.

Электронный учебник является инструментом обучения и познания, его структура и содержание зависят от целей его использования. Он должен выполнять функции репетитора, тренажера и самоучителя. Особую значимость он приобретает при использовании в телекоммуникационных системах.

Организация электронного обучения с помощью электронных учебников, выполненных в программе JetDraft Document Suite 2008, позволяет компактно представить большой объем учебной информации в четко структурированной и последовательно организованной форме, что дает возможность усилить визуальное восприятие и облегчает усвоение учебного материала.

В таком случае, электронный учебник представляет собой программу комплексного назначения, обеспечивающий непрерывность и полноту дидактического процесса обучения, предоставляющий теоретический материал, обеспечивающий тренировочную учебную деятельность и контроль уровня знаний, а также информационно – поисковую функцию.

Литература

Гринченков, В. Д. Математическая логика и теория алгоритмов для программистов / В. Д. Гринченков // Образовательные технологии и общество. – 2015. – №3. –С. 254–294.

Теоретическая часть

Высказывания и высказывательные формы

Высказывание – это предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Высказывания обычно обозначают строчными латинскими буквами , а их истинность/ложность единицей и нулём соответственно:

– данная запись (не путать с модулем!) говорит нам о том, что высказывание истинно;
– а эта запись – о том, что высказывание ложно.

Например:

– черепахи не летают;
– Луна квадратная;
– дважды два будет два;
– пять больше, чем три.

Совершенно понятно, что высказывания и истинны: ,
а высказывания и – ложны:

Разумеется, далеко не все предложения являются высказываниями. К таковым, в частности относятся вопросительные и побудительные предложения:

Вы не подскажете, как пройти в библиотеку?
Пойдём в баню!

Очевидно, что здесь не идёт речи об истине или лжи. Как не идёт о них речи и в случае неопределённости либо неполной информации:

Завтра Петя сдаст экзамен – даже если он всё выучил, то не факт, что сдаст; и наоборот – если ничего не знает, то может и сдаст «на шару».

…да ладно, Петь, не переживай – сдашь =)

– а тут мы не знаем, чему равно «эн», поэтому это тоже не высказывание.

Однако последнее предложение можно доопределить до высказывания, а точнее, до высказывательной формы, указав дополнительную информацию об «эн». Как правило, высказывательные формы записываются с так называемыми кванторами. Их два:

– квантор общности (перевёрнутая буква A – от англ. All) понимается и читается как «для всех», «для любого (ой) (ых) »;

– квантор существования (развёрнутая буква E – от англ. Exist) понимается и читается как «существует».

Примеры:

– для любого натурального числа выполнено неравенство . Данная высказывательная форма ложна, поскольку ей, очевидно, не соответствуют натуральные числа .

– а вот это высказывательная форма уже истинна, как истинно и, например, такое утверждение:
…ну а что, разве существует натуральное число, которое меньше, чем –10?

Предостерегаю вас от опрометчивого использования данного квантора, ибо «для любого» может на поверку оказаться вовсе и «не для любого».

Внимание! Если вам что-то не понятно в обозначениях, пожалуйста, вернитесь к уроку о множествах.

– существует натуральное число, которое больше двух. Истина …и, главное, не поспоришь =)

– Ложь

Нередко кванторы «работают в одной упряжке»:

– для любого вектора существует противоположный ему вектор. Прописная истина, а точнее, аксиома (утверждение, принимаемое без доказательства) векторного пространства.

Обратите внимание, что квантор существования подразумевает сам факт существования объекта (хотя бы одного), который удовлетворяет определённым характеристикам. Пусть в мире существуют единственная белая ворона, но существуют же. Более того, в математике (как школьной, так и высшей) доказывается великое множество теорем на существование и как раз единственность чего-либо. Доказательство такой теоремы состоит из двух частей:

1) Существование объекта, удовлетворяющего определённым критериям. В этой части обосновывается сам факт его существования.

2) Единственность данного объекта. Этот пункт доказывается, как правило, методом от противного, т.е. предполагается, что существует 2-й объект с точно такими же характеристиками и далее это предположение опровергается.

Школьников, впрочем, стараются не пугать подобной терминологией, и теорема часто преподносится в завуалированном виде, например:

В любой треугольник можно вписать окружность и, причём только одну

Кстати, а что такое вообще теорема? Логическую суть этого страшного слова мы узнаем очень скоро….