Задача 2. Получить решение уравнения при начальном условии.

Ток в емкости можно представить в виде i = Cdu_C/dt. Отсюда

Решение этого дифференциального уравнения для напряжения на емкости также можно представить суммой свободной и установившейся составляющих u_C = u_у + u_с. Свободную составляющую найдем из решения однородного уравнения (u = 0) в виде u_с = Ue^pt. Подставим это выражение в уравнение и найдем значение p.

Выражение RCp + 1 = 0 представляет собой характеристическое уравнение, которое могло быть получено без подстановки общего выражения для свободной составляющей формальной заменой в однородном дифференциальном уравнении производных от напряжения на емкости на pk, где k - порядок производной.

Отсюда общее решение для напряжения на емкости

uC = uу + uс= uу + Ue^{- t/τ} =Е(1+e- ^t/τ)

где U - постоянная интегрирования, определяемая из начальных значений; t = 1/|p| = RC - постоянная времени переходного процесса.

Задача 3. Доказать, что является решением уравнения при начальном условии.

Для определения свободной составляющей тока запишем по второму закону Кирхгофа уравнение электрического состояния цепи после коммутации:

Найдем решение этого уравнения для свободной составляющей тока, т.е. при u = 0, в виде iсв = Iept . Для этого подставим выражение для тока в исходное уравнение и найдем значение p.

Характеристическое уравнение имеет вид:

pL + R = 0.

Общее решение уравнения для свободной составляющей:

iсв = A e^pt,

где: А – постоянная интегрирования;

p = - R/L, c-1 – корень характеристического уравнения.

Записав общий вид переходного тока катушки

i = iу + iсв = A ept,

Переходный ток в цепи, изображенной на рис. 5.4, представим в виде

i = iу + iсв.

До коммутации тока в катушке не было, следовательно,

iL(0-) = 0.

Установившаяся составляющая тока после коммутации

iу = U / R.

Свободная составляющая тока для цепи, описываемой дифференциальным уравнением первого порядка

iсв = A e-t/τ =A ept , p = - R / L.

По начальным условиям определим постоянную интегрирования А и свободную составляющую тока:

i(0) = iу(0) + iсв(0); i(0) = iу(0+) + iсв(0-);

или

0 = U / R + A; A = -U / R; iсв = -U / R · e-t/τ.

Переходный ток получается в виде

i = U / R (1 - e-t/τ).

Задача 4. Получить выражение для механической характеристики стартер-генератора постоянного тока параллельного возбуждения в условиях постоянства потребляемого тока по мере увеличения оборотов.

У машины последовательного возбуждения механическая характеристика является гиперболической.

В стартер генераторе параллельного возбуждения падающая механическая характеристика может быть превращена в гиперболическую, которая позволяет перекрыть весь диапазон регулирования оборотов.

Если при изменении оборотов поддерживать постоянное, то зависимость М от n будет гиперболической, поэтому при работе стартер генератора нужно стабилизировать . Это достигается с помощью регулятора тока.