Математичний аналіз принципу прискорення, або акселерації
| Показник | Період часу | ||||
| 0 > t > t1 | t = t1 | t > t1 | |||
| 1. Обсяг виробництва предметів споживання K(t) | Зростає швидше | Зростає сталим темпом | Зростає повільно | ||
| 2. Приріст випуску предметів споживання dQ/dt | |||||
| 3. Похідна капіталовкладень: | |||||
| 4. Капіталовкладення | Зростають | Утримуються на рівні І(t1) | Cпадають | ||
| Висновки | |||||
| Якщо попит на предмет споживання зростає, то зростають і капіталовкладення І, тобто зростає попит на засоби виробництва | Утримати капіталовкладення на рівні, що дoсягнeний в момент t, можна, якщо попит на предмет споживання зростає сталим темпом | Якщо попит на предмети споживання починає зростати повільніше, то зменшують і капіталовкладення І, тобто спадає попит на засоби виробництва | |||
Нехай сумарні витрати на виробництво х одиниць продукції подаються у вигляді К(х) = 0,01х2 + 10х + 400. Залежність між ціною р і кількістю х продукції, яку можна продати за цією ціною, така: р(х) = 46 – 0,05х. При якому х прибуток підприємства буде максимальний і який розмір цього прибутку?
· Якщо відомі ціна та кількість продукції, то виручка
U(х) = x p(x) = 46x – 0,05x2.
Прибуток подається у вигляді: R(x) = U(x) – K(x) = xp(x) – K(x),
де K — повні витрати з виробництва х одиниці продукції. Прибуток максимальний, якщо i . Звідси випливає, що , або . Отже, підприємство може одержати максимальний прибуток за такого обсягу х виробництва, при якому гранична виручка дорівнює граничним витратам.
З умови випливає, що або . Оскільки , то:
, або .
Це означає, що підприємство отримує максимальний прибуток, коли темп зростання граничної виручки менший за темп зростання граничних витрат.
(Мінімальність транспортних витрат). Із пункту А, що розташований на залізничній магістралі, вантажний потяг прямує до пункту С, який міститься на відстані СВ = l км від лінії залізничної колії. Вартість перевезення одиниці маси вантажу на одиницю відстані становить α залізницею і β у разі транспортування по шосе.
На якій відстані від В має розміщуватися пункт С, щоб перевезення вантажу із А в С шляхом АМС було найдешевшим?
· Позначимо відстань між довільною точкою М і точкою В через х. Тоді відстань між точками А і М буде d – х, а між точками М і С — . Оскільки транспортні витрати пропорційні до відстані, то вартість перевезення одиниці маси вантажу подається так:
.
Значення функції K(х) буде мінімальним, якщо , а .
Обчислюємо похідні:
Із виразу для випливає, що при будь-якому х, .
Розглянемо коефіцієнт . Тоді .
| γ | Kmin | Висновок | ||
| γ ³ 1 | х = d | Вигідніше починати шосе у пункті А | ||
| γ < 1 | Пункт М має розміщуватися на відстані від В. Вигіднішою частиною шляху везти вантаж по шосе, причому під деяким кутом до залізничної колії |
5.8.2. Економічне застосування диференціала.
Мультиплікатор
Розглянемо найпростішу модель, яка описує динаміку зростання прибутку залежно від інвестицій:
,
де Y — прибуток; С — споживання; І — інвестиції.
Нехай, . Як впливає зміна інвестицій dI на прибуток?
· Нехай . Із рівняння — знайдемо залежність між інвестиціями і швидкістю зростання прибутку:
,
тобто
, або, у диференціалах .
Вираз називається мультиплікатором.
Мультиплікатор — це числовий коефіцієнт, який показує, у скільки разів сума приросту або скорочення прибутку перевищує початкову суму інвестицій.
Термін уперше був уведений в 1931 році Ф. Каюмом і набув подальшого розвитку в кейнсіанській моделі визначення рівня рівноваги прибутку.
У розглядуваній моделі маємо: якщо
, то . Отже, додаткові інвестиції посилюватимуть прибуток.