Интерпретация корней системы

Непосредственно по величине концентраций x₁ и b, получаемых при отделении корней или решении системы, трудно определить, имеют ли полученные величины физический смысл. Поэтому для подбора указанного критерия использованы соображения, основанные на особенностях вывода системы (3).

Таблица 1

Зависимость количества корней системы (2) от начальной концентрации низкомолекулярного компонента в системе и от величины констант равновесия поликонденсации (К) и циклизации (К^(с)). Концентрация мономера 4 моль×кг^-1

К	К(с)	Начальная концентрация НВ
	0,1
	0,2
	0,4
	0,5
	0,1
	0,2
	0,4
	0,5
	0,1
	0,2
	0,4
	0,5
	0,1
	0,2
	0,4
	0,5

Как известно [3], в равновесной поликонденсации мономеров в отсутствии циклизации молекулярно-массовое распределение (ММР) описывается геометрической прогрессией (распределение Флори). В [1] нами показано, что в основе ММР в процессах поликонденсации олигомеров, сопровождаемыми циклизацией также лежит сходящаяся геометрическая прогрессия с знаменателем: . Очевидно корень системы (2), имеющий физический смысл, должен удовлетворять условию сходимости геометрической прогрессии:

. (6)

Поэтому выражение (6) может быть использовано как критерий для выбора корня, имеющего физический смысл. Например, при начальной концентрации мономера 4 моль×кг^-1, К=10, К^(с)=1 моль×кг^-1, b₀ = 0, получаем 3 корня: (х₁ = 0,86; b=5,57), (x₁=1,08; b=4,86), (x₁=0,23; b=3,09). Для этих корней значения g, соответственно, составляют 1,54; 2,22 и 0,74. То есть, из трех корней только один имеет физический смысл.

Наличие нескольких корней в задаче (2) вызывает проблемы при ее численном решении. Все методы численного решения нелинейных систем требуют задания начального приближения для корня. В случае неудачного приближения решение может сойтись к корню, не имеющему физического смысла. Для нахождения хорошего начального приближения можно использовать метод растровой визуализации в сочетании с критерием (6), что дает полную информацию о свойствах системы и поверхности отклика. Для массовых расчетов с использованием существующих программных продуктов, например Excel, можно использовать нелинейный метод наименьших квадратов (надстройка «Поиск решения») [5], с включением условия (6) в состав ограничений (штрафных функций). В этом случае, по нашему опыту, достаточно выбрать любое начальное приближение, удовлетворяющее условию (6), чтобы получить решение, имеющее физический смысл. Так, в рассмотренном примере даже выбор далекого от решения начального приближения х₁ = 2, х₂=100 который удовлетворяет условию (6), приводит к истинному корню х₁ = 0,230; b = 3,05

Список литературы:

1. Баженов С.Л. Полимерные композиционные материалы [Текст] / С.Л.Баженов, А.А.Берлин, А.А.Кульков, В.Г.Ошмян // М.: Изд. Дом «Интеллект», 2010. – 352 с.

2. Олейник В.В. Узагальнена рівноважна поліконденсація [Текст] / В.В.Олейник, С.А.Кондратов // ХІІ Українська конференція з високомолекулярних сполук. 18-21 жовтня 2010 р. Тези доповідей. - Київ, 2010. - С. 38

3. 3 Кондратов С.А. Растровая визуализация области оптимума многомерных зависимостей [Текст] / С.А.Кондратов // Вісник Східноукраїнського нац. університету ім. В.Даля, 2007, - №5(111), ч.2 – С. 92-98

4. Дэннис Дж Численне методы безусловной минимизации и решения нелинейных уравнений [Текст] /Дж. Дэннис, Р.Шнабель // М.: Мир, 1988. – 440 с.

5. Блаттнер П. Использование Microsoft Office Excel 2003. Специальное издание [Текст] / П.Блаттнер // М.: Издат. дом «Вильямс», 2005. – 864 с.

ТЕХНІЧНІ НАУКИ

УДК 622.769.2:621.8.036

Мілоцький В.В., Остапенко В.О.