Примечание к решению типовых задач. 5 страница

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru 9*6373,6 – 225,0*225,0 = 6737,76;

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru 121,2*6373,6 – 3331,0*225,0 = 23012,4.

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru 9*3331,0 – 121,2*225,0 = 2708,91.

4.Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru .

В конечном счёте, Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru

В уравнении коэффициент регрессии а0 = 0,415 означает, что при увеличении доходов населения на 1 тыс. руб. (от своей средней) объём розничного товарооборота возрастёт на 0,415 млрд. руб. (от своей средней).

Свободный член уравнения а0 =3,415 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объём розничного товарооборота.

5.Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru

В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru

Это означает, что при изменении общей суммы доходов населения на 1% от своей средней оборот розничной торговли увеличивается на 0,744 процента от своей средней.

6. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru

Коэффициент корреляции, равный 0,9075, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей суммой доходов населения за год и оборотом розничной торговли за год. Коэффициент детерминации, равный 0,824, устанавливает, что вариация оборота розничной торговли на 82,4% из 100% предопределена вариацией общей суммы доходов населения; роль прочих факторов, влияющих на розничный товарооборот, определяется в 17,6%, что является сравнительно небольшой величиной.

7.Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным значением – Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).

В нашем случае, Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru . Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 33 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия оборота розничной торговли и общей суммы доходов населения. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru при степенях свободы d.f.1=k-1=1 и d.f.2=n-k=9-2=7 и уровне значимости α=0,05.

Значения Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru представлены в таблице «Значения F-критерия Фишера для уровня значимости 0,05 (или 0,01)». См. приложение 1 данных «Методических указаний…».

В силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости оборота розничной торговли от общей суммы доходов населения и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

8. Определим теоретические значения результата Yтеор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчёт.

Например, Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru . См. гр. 5 расчётной таблицы. По парам значений Yтеор. и Xфакт. строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1.

9. Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru .

В нашем случае скорректированная ошибка аппроксимации составляет 10,2%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).

 
  Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru

График 1

10. Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru в линейную введём новую переменную Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. расчётную таблицу №4.

Расчётная таблица №4

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru
А
11,6 2,451 7,3 6,007 17,892 7,0 0,3 0,1 2,4
14,8 2,695 9,3 7,261 25,060 9,3 0,0 0,0 0,4
19,0 2,944 14,0 8,670 41,222 11,6 2,4 5,8 17,9
19,1 2,950 9,4 8,701 27,727 11,6 -2,2 4,8 16,6
26,2 3,266 15,6 10,665 50,946 14,6 1,0 1,0 7,6
27,5 3,314 12,1 10,984 40,102 15,0 -2,9 8,4 21,8
30,0 3,401 16,3 11,568 55,440 15,8 0,5 0,3 3,4
37,3 3,619 16,7 13,097 60,437 17,9 -1,2 1,4 8,8
39,5 3,676 20,5 13,515 75,364 18,4 2,1 4,4 15,5
Итого   28,316 121,2 90,468 394,190 121,2 0,0 26,2 94,2
Средняя   3,146 13,5 2,9 10,5
Сигма   0,391 4,04
Дисперсия, D   0,153 16,29

Расчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru . Отсюда получаем параметры уравнения:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru

Полученное уравнение имеет вид: Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru .

Оценочные показатели позволяют сделать вывод, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель: оценка тесноты выявленной связи ρ=0,9066 (сравните с 0,9075), скорректированная средняя ошибка аппроксимации здесь выше и составляет 10,5%, то есть возможности использования для прогноза данной модели более ограничены.

Таким образом, можно придти к выводу, что по сравнению с линейной моделью данное уравнение менее пригодно для описания изучаемой связи.

11. Выполним расчёт параметров уравнения параболы второго порядка. В этом случае используются определители третьего порядка, расчёт которых выполняется по стандартным формулам и требует особого внимания и точности. См. расчётную таблицу 5

По материалам табл. 5 выполним расчёт четырёх определителей третьего порядка по следующим формулам:

Δ = n*Σx2*Σx4 + Σx*Σx3*Σx2 + Σx*Σx3*Σx2 – Σx2*Σx2*Σx2 – Σx*Σx*Σx4 – Σx3*Σx3*n =

= 331.854.860,7;

Δa0 = Σy*Σx2*Σx4 + Σx*Σx3*Σ(y*x2)+ Σ(y*x)*Σx3*Σx2 – Σ(y*x2)*Σx2*Σx2

- Σ(y*x)*Σx*Σx4 – Σx3*Σx3*Σy = 751.979.368,8

Δa1 = n*Σ(y*x)*Σx4 + Σy*Σx3*Σx2 + Σx*Σ(y*x2)*Σx2 – Σx2*Σ(y*x)* Σx2 – Σx*Σy* Σx4 -

- Σ(y*x2)*Σx3*n = 167.288.933,1

Δa2 = n*Σx2*Σ(y*x2) + Σx*Σyx*Σx2 + Σx*Σx3*Σy – Σx2*Σx2*Σy – Σx*Σx*Σ(y*x2) –

- Σx3*Σ(y*x)*n = - 656.926,8

В результате получаем следующие значения параметров уравнения параболы:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru

Уравнение имеет следующий вид: Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru . Для него показатель детерминации составляет 82,7%, Fфактич.= 14,3, а ошибка аппроксимации Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru 10,7%.

Как видим, по сравнению с линейной функцией построить уравнения параболы гораздо сложнее, а изучаемую зависимость она описывает почти с той же точностью, хотя надёжность уравнения параболы значительно ниже (для линейной модели Fфактич.= 32,8,а для параболы Fфактич.= 14,3). Поэтому в дальнейшем анализе парабола второго порядка использоваться не будет.

Расчётная таблица №5

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru
А
11,6 7,3 84,7 6,007 17,892 18106,4 982,3 7,8 -0,5 0,3 4,1
14,8 9,3 137,6 7,261 25,060 47978,5 2037,1 9,3 0,0 0,0 0,1
14,0 266,0 8,670 41,222 130321,0 5054,0 11,1 2,9 8,4 21,3
19,1 9,4 179,5 8,701 27,727 133086,3 3429,2 11,2 -1,8 3,2 13,2
26,2 15,6 408,7 10,665 50,946 471199,9 10708,5 14,1 1,5 2,3 11,0
27,5 12,1 332,8 10,984 40,102 571914,1 9150,6 14,6 -2,5 6,3 18,8
16,3 489,0 11,568 55,440 810000,0 14670,0 15,6 0,7 0,5 5,1
37,3 16,7 622,9 13,097 60,437 1935687,9 23234,5 18,3 -1,6 2,6 12,0
39,5 20,5 809,8 13,515 75,364 2434380,1 31985,1 19,1 1,4 2,0 10,5
Итого 121,2 3331,0 90,468 394,190 6552674,1 101251,3 121,2 0,0 25,6 96,0
Средняя 25,0 13,5 2,8 10,7
Сигма 9,12 4,04
D 83,18 16,29

12. Проведём расчёт параметров степенной функции, которому также предшествует процедура линеаризации исходных переменных. В данном случае выполняется логарифмирование обеих частей уравнения, в результате которого получаем уравнение, где линейно связаны значения логарифмов фактора и результата. Исходное уравнение Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru после логарифмирования приобретает следующий вид: Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru . Порядок расчёта приведён в таблице 6.

Расчётная таблица №6

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru
А
11,6 7,3 2,4510 1,9879 4,8723 4,8723 2,0330 0,0020 7,6 2,5
14,8 9,3 2,6946 2,2300 6,0091 6,0091 2,2148 0,0002 9,2 1,0
19,0 14,0 2,9444 2,6391 7,7705 7,7705 2,4011 0,0566 11,0 22,0
19,1 9,4 2,9497 2,2407 6,6094 6,6094 2,4050 0,0270 11,1 12,5
26,2 15,6 3,2658 2,7473 8,9719 8,9719 2,6408 0,0113 14,0 11,7
27,5 12,1 3,3142 2,4932 8,2629 8,2629 2,6770 0,0338 14,5 18,1
30,0 16,3 3,4012 2,7912 9,4933 9,4933 2,7419 0,0024 15,5 5,8
37,3 16,7 3,6190 2,8154 10,1889 10,1889 2,9044 0,0079 18,3 11,5
39,5 20,5 3,6763 3,0204 11,1040 11,1040 2,9471 0,0054 19,1 10,8
Итого   121,2 28,3162 22,9651 73,2824 73,2824 22,9651 0,1467 120,3 96,0
Средняя   13,5 3,1462 2,5517 10,7
Сигма     0,3914 0,3187
D     0,1532 0,1016

В результате расчёта получены следующие значения определителей второго порядка:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru 12,4075;

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru 2,5371;

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru 9,25642.

Параметры степенной функции составляют:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru ; Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru .

Уравнение имеет вид: lnY=ln a0 + a1*ln X = 0,2045 + 0,7460*X , а после процедуры потенцирования уравнение приобретает окончательный вид:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru или Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru .

Полученное уравнение несколько лучше описывает изучаемую зависимость и более надёжно по сравнению с линейной моделью. Степенная модель имеет детерминацию на уровне 84,0% (против 82,4% по линейной модели), Fфакт.=36,6 (против 33,1 для линейной модели) и ошибку аппроксимации на уровне 10,7% (сравните с 10,9% для уравнения прямой).

Очевидно, что преимущества степенной модели по сравнению с линейной не столь значительны, но её построение заметно сложнее и требует значительно больших усилий. Поэтому окончательный выбор, в данном конкретном случае, сделаем в пользу модели, которая является более простой при построении, анализе и использовании, то есть в пользу линейной модели:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru

Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка.

Если предположить, что прогнозное значение общей суммы доходов населения, например, Новгородской области, (см. табл.2 строка 2) возрастёт с 14,8 млрд. руб.на 5,7% и составит 15,6 млрд. руб., то есть Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Xпрогнозн.= 14,8*1,057=15,6, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Yпрогнозн. =3,415+0,402*15,6=9,7 (млрд. руб.). То есть, прирост фактора на 5,7% приводит к приросту результата на 4,2 процента ( Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru .

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии- Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru и ошибки прогноза положения регрессии - Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru . То есть, Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru .

В нашем случае Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1. Тогда Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru (млрд. руб.).

Ошибка положения регрессии составит: Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru =

= Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru = Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru = 0,914 (млрд. руб.).

Интегральная ошибка прогноза составит: Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru = Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru = 2,1 (млрд. руб.).

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru = 2,365*2,1 = 5,011 ≈ 5,0 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 9-1-1=7 составит 2,365. (См. табл. приложения 2). Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru млрд. руб.

Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru . Верхняя граница доверительного интервала составит

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru = 9,7 + 5,0 = 14,7(млрд. руб.).

Нижняя граница доверительного интервала составит:

Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru = 9,7 - 5,0 = 4,7(млрд. руб.).

Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит: Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru = Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru раза. Это означает, что верхняя граница в 3,12 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза весьма невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой (например, Калининградскую область с Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru Примечание к решению типовых задач. 5 страница - student2.ru ), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.

Задача №2.

Выполняется изучение социально-экономических процессов в регионах Южного федерального округа РФ по статистическим показателям за 2000 год.

Y – оборот розничной торговли, млрд. руб.;

X1 – инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

X2 – средний возраст занятых в экономике, лет

X3 – среднегодовая численность населения, млн. чел.

Требуется изучить влияние указанных факторов на оборот розничной торговли.

Предварительный анализ исходных данных по 12 территориям выявил наличие двух территорию (Краснодарский край и Ростовская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти территории должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.

При обработке исходных данных получены следующие значения:

А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:

Наши рекомендации