Применение матричной алгебры в

ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ

Условие задачи

В районе действуют m предприятий, которые производят n видов изделий. На производство изделий используется R видов сырья.

Считаются известными следующие данные:

- производительности предприятий, шт./дн.;

- норма расхода ресурсов на единицу каждого вида изделий, кг/шт.;

- число рабочих дней ;

- цена единицы ресурса, руб./кг.

Требуется определить экономические показатели для каждого предприятия:

- объемы производства изделий, шт.;

- объемы потребляемого ресурса каждого вида, кг;

- суммы кредитов, необходимые на закупку ресурсов, руб.

Исходные данные для расчетов представить в матричной форме (табл.1).

Таблица 1 -Известные условия работы предприятий

Показатель

Предприятие ( )

Норма расхода ресурсов, кг/шт. ( ).

…

i

…

m

…

r

…

R

Производительность по изделиям, шт./дн. ( ): … j … n

Число рабочих дней

–

Цена сырья, руб./кг

–

Порядок выполнения работы

I. Ввести условные обозначения переменных:

а) для известных переменных:

p(i,j) – производительность i-ro предприятия при производ­стве 3-го изделия, i =1,2,...,m; j = 1,2,...,n;

b(j,r) – норма расхода r-го вида ресурса на единицу j-ro из­делия,

r = 1,2,...,R;

d(i) – число рабочих дней на i-м предприятии;

с(г) – цена r-го вида ресурса;

б) для искомых переменных:

q(i,j) – объем производства j-ro изделия на i-м предприятии;

f(i,r) – объем ресурса r-го вида, потребленного на i-м пред­приятии;

к(i) – сумма кредитов, необходимая i-му предприятию.

2.Сформировать исходные данные к расчетам согласно требо­ваниям, указанным в табл.1.

3.Представить исходную информацию в виде матриц Р, В, D и С следующих структур:

P = [p(j,i)],B = [b(j,r)], D = [d(i,i)] – диагональная матрица,С = [c(г)].

Искомые объемы производства изделий Q определяются как произведение матриц P и D:

, где Q = [q(i,j)].

Искомые объемы покупных ресурсов F определяются как произ­ведение матриц Q и В:

, где F = [f(i,r)] .

Суммы кредитов, необходимые каждому предприятию на закупку ресурсов, определяются как произведение матриц F и С:

, где K = [k(i)].

4. Результаты расчетов представить в виде табл.2.

Таблица 2 - Расчетные экономические показатели

Пред­прия­тие

объем производства, шт.

Объем ресурсов, кг

Сумма кредитов, руб.

…

i

…

m

…

r

…

R

… i … m

Q = [q(i,j)]

F = [f(i,r)]

k(i)

Итого

2.2 Задание №2

ПОСТРОЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Условие задачи

Для расчета производственной программы лесозаготовительных предприятий, входящих в состав объединения, необходимо знать следующие показатели:

Ц – оптовая цена реализации древесины, руб./м³;

С – себестоимость заготовки древесины, руб./м³;

G – расходы на оплату труда в себестоимости древесины, руб./м³;

Р – прибыль от реализации древесины, руб./м³;

Z – количество рабочих, необходимое для заготовки I тысм³ древесины, чел./тыс.м³;

К – капитальные вложения, руб./м³.

Научными исследованиями установлено, что эти показатели мо­гут находиться в корреляционной зависимости от приведенных ниже факторов и условий производства:

X1 - среднее расстояние вывозки, км;

Х2 – средний объем хлыста, м³;

ХЗ – доля еловых насаждений в лесосечном фонде, %;

Х4 – доля лиственных насаждений в лесосечном фонде, %;

Х5 – средний запас древесины, м³/га;

Х6 – годовой объем вывозки древесины, тысм³;

Х7 – удельный вес вывозки древесины к сплаву, %;

Х8 – удельный вес вывозки древесины по УВД, %;

Х9 – выход деловой древесины, %;

XI0 – удельный вес продукции прочих производств в общем объ­еме производства, %;

XII – средняя годовая стоимость ППП основных средств, тыс. руб.;

XI2 – остаточная стоимость ППП основных средств, %;

Х13 – возраст предприятия, лет.

Лесопромышленным объединением накоплена статистическая ин­формация по показателям и факторам. Наблюдения проводились в 39 леспромхозах Архангельской области в течение 5 лет. Исследования показали, что вся генеральная совокупность наблюдений, сформиро­ванная по принципу "заводы – годы", не является однородной. Для того чтобы этот статистический материал мог быть использован для построения корреляционных моделей, его надо представить в виде однородных групп. Исследования "показали, что классификационными признаками являются два фактора: тип примыкания предприятия и вид лесотранспорта. В соответствии с этими признаками генераль­ная совокупность может быть представлена при помощи четырех ус­ловно-однородных групп наблюдений. Названия групп согласуются с типами предприятий:

I – прижелезнодорожные предприятия с автовывозкой;

II – прижелезнодорожные предприятия со смешанным видом ле­сотранспорта;

III – сплавные предприятия с автовывозкой;

IV – сплавные предприятия со смешанным видом лесотранспорта.

Первичный корреляционный анализ выявил факторы, которые ока­зывают наибольшее влияние на исследуемые показатели по каждой группе наблюдений. В табл.3 отражены результаты этого анализа.

Таблица 3 - Факторы, существенно влияющие на показатели

Показа­тель	Условно-однородная группа предприятий
I	II	III	IV
Ц	Х2, Х5,Х6, Х11	Х4, X6, Х9, X10 Х11	Х2, X4, X15,Х10	X1, Х2, Х10, X13
С	Х2, Х6, Х7, X8, Х11, Х13	Х6, X8, Х9, Х11	Х2, Х6,Х8, X9,Х11	X1, X4, Х6, Х11, X13
G	Х5, X6, Х10, Х13	Х1, Х8, X9, Х10	Х2, Х6, Х8, X9, Х11	ХЗ, X6, Х7, Х10, Х12
Р	X1, Х2, Х4, Х5, Х6, Х11	ХЗ, X8, Х9, Х10,Х11, Х13	Х2, Х5, Х6, Х8, Х9, X11	X1, Х9, Х10, X13
Z	X1, Х3, Х4, Х6, Х8, Х9	Х4, X9, Х10, Х11	X1, Х3, X6, X7, Х11, XI2	X1, Х3, Х4, X6, Х7, Х10
К	Х4, X6, Х12, X13	Х2, Х3, Х4, X9, Х10	ХЗ, Х4, Х6, Х7, X8, Х13	Х2, X6, Х9, Х12, X13

Порядок выполнения работы

I. Логическим или практическим путем (при помощи корреля­ционных полей) определить форму связи каждого фактора (см.табл.3) с показателем.

2. Составить линейную модель для исследуемого показателя и нелинейные модели, которые учитывают форму связи факторов с показателем, определенных в п.1.

3. Определить коэффициенты регрессии этих моделей методом наименьших квадратов. Оценить качество моделей при помощи корре­ляционного отношения.

4. Составить инструкцию по практическому применению той модели, которая более простая и качественная (корреляционное отно­шение этой модели должно быть более 0,5).

5. Исследования проводят по одному из показателей, предложен­ному преподавателем, для одной из однородных групп предприятий. Выписку необходимого статического материала делают из прило­жения.

Задание № 3

МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС ПРОИЗВОДСТВА И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОДУКЦИИ

Условие задачи

Некоторый регион страны имеет относительную самостоятель­ность. Его экономику характеризуют четыре отрасли: сельское хо­зяйство, промышленность, строительство, транспорт.

Продукция отраслей взаимообразно используется в своих про­изводствах. Известны нормы расхода продукции i-й отрасли на про­изводство единицы продукции j-й отрасли, следовательно, известна величина a(i,j) в денежных единицах (i = 1,2,3,4; j= 1,2,5,4).

Продукция отраслей находит спрос за пределами региона, из­вестен объем конечной продукции y(i) i-й отрасли в денежных еди­ницах.

Требуется определить:

-производственные мощности отраслей;

-объемы взаимного потребления продукции отраслями региона;

-чистую продукцию отраслей.

Результаты расчетов представить в матричной форме (табл.4).

Таблица 4 - Межотраслевой баланс производства и распределения продукции

Потребление	Производство
Потребляю­щая от­расль	Итого внутриотраслевой оборот	Конечная продук­ция	Валовая продукция
Производящая отрасль i:	x(i,j)	x(i,j)	y(i)	x(i)
Итог о тех­нологический оборот	x(i,j)	–	y(i)	x(i)
Чистая продук­ция	v(j)	v(j)	–	–
Валовая продук­ция	x(j)	–	–	x(j)

Порядок выполнения работы

1. Сформировать исходные данные для расчетов:

а) матрицу коэффициентов прямых материальных затрат (А), опираясь на свойства этих коэффициентов;

б) конечную продукцию отраслей (Y), соблюдая условие

2.Определить матрицу коэффициентов полных материальных зат­рат (S).

3.Определить объемы валовой продукции отраслей (X) по фор­муле X – S – Y.

4.Определить объемы взаимного потребления продукции отраслями по формуле

.

5.Определить объемы чистой продукции отраслей () по формуле:

.

6.С учетом изменений условий реализации продукции отраслей за пределы региона (регион заинтересован получить максимальную выручку от продажи своей продукции) определить:

-объемы конечной продукции отраслей;

-чистую продукцию отраслей;

-валовую продукцию отраслей;

-степень использования производственных мощностей;

-объемы взаимного потребления продукции отраслями, если из­вестны цены на конечную продукцию (С).

Для расчетов сформировать цены, соблюдая условие . Расчеты выполнить при помощи оптимизационной модели межотрасле­вого баланса. Основные результаты расчетов представить в матричной форме (табл.4).

2.4 Задание№ 4

ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА РАСКРОЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Условие задачи

На лесоперевалочную базу (ЛПБ) поступает древесное сырье (рудничное долготье) длиной L (м). ЛПБ имеет многопильную уста­новку, которая позволяет раскраивать долготье на коротье. База заключает договор с угольными шахтами на поставку рудничной стойки m видов.

Известны следующие данные:

b(i) – объемы поставок i-ro вида рудстойки, шт.;

l(1) – длина i-ro вида рудстойки, м;

n – число способов раскроя рудничного долготья на много­пильной установке;

a(i,j) – количество рудстойки i-ro вида, получаемое из од­ного бревна (рудничного долготья), раскроенного j -м спосо­бом, шт.

Требуется определить, на какой объем поставок древесного сырья (Q, шт.) нужно заключить договор ЛПБ с леспромхозами, что­бы выполнить заказ угольных шахт с минимальными отходами дре­весины.

Исходные данные для расчетов представить в матричной фор­ме (табл.5).

Таблица 5 - Заказ угольных шахт и возможности многопильных установок

Длина i -го ви­да рудстойки, м	Значения a(i,j); шт., при раскрое долготья длиной м j-м способом	Объем руд­стойки, шт.
		…	j	...	n
1. 2. … i. … m	a(1,1) a(2,1) … a(i,1) … a(m,1)	a(1,2) a(2,2) … a(i,2) … a(m,2)	… … … … … …	a(1,j) a(2,j) … a(i,j) … a(m,j)	… … … … … …	a(1,n) a(2,n) … a(i,n) … a(m,n)	b(1) b(2) … … b(m)
Отходы, м	c(1)	c(2)	…	c(j)	…	c(n)	–

Порядок выполнения работы

1. Сформировать исходные данные для расчетов согласно ус­ловиям, указанным в табл.5, и определить величину отходов в метрах по формуле:

.

2. Решить задачу, построив экономико-математическую модель, в которой искомой переменной является х(j), шт., – интенсивность j-го способа раскроя.

3. Определить искомый объем сырья в штуках по формуле:

.

4. С учетом изменения условий договора с угольными шахтами (теперь им необходимо поставлять продукцию комплектами) постро­ить модель и определить максимальное количество комплектов, ко­торое может быть указано в договоре, если объем рудничного дол­готья (Q, шт.) изменить нельзя и известно число рудстойки каждого вида в одном комплекте:

b(1), b(2), …, b(i), …, b(m),

где .

Задание № 5

МОДЕЛИ НАИЛУЧШЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕСУРСОВ И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Условие задачи

Предприятие производит n видов изделий, используя при этом m видов ограниченных ресурсов. К ресурсам относятся элементы затрат, которые учитываются при калькуляции себестоимости про­дукции: материальные затраты, расходы на оплату труда, аморти­зация, отчисления на социальные нужды и другие, общий список ко­торых может насчитывать десятки и сотни наименований.

Известны следующие экономические показатели:

a(i,j) – норма расхода i-ro ресурса на изготовление единицы j-го изделия, i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,m;

b(i) – объем i-ro ресурса, i = 1,2,...,m;

c(j) – цена реализации единицы j-го изделия, j = 1,2,...,m.

Исходные данные для расчетов представить в матричной форме (табл.6).

Таблица 6 - Условия производства изделий на предприятии

Ресурсы	Норма расхода i-ro ресурса для j-го изделия	Объемы ре­сурсов
		…	j	...	n
… i … m
Цена (С)		–

Требуется определить:

1)план выпуска изделий, обеспечивающий максимум товарной продукции, производимой в рамках имеющихся ресурсов, шт.;

2)степень дефицитности ресурсов и объемы их резервов;

3)оптимальный план выпуска изделий, удовлетворяющий условию

х(1)/х(2)= 1/2, х(2)/х(3)=2/3, х(3)/х(4)=3/4, ...,

где х(1), х(2), х(3), х(4), ... – искомые объемы выпуска изде­лий I, 2, 3, 4-го, ... вида в оптимальном плане.

Порядок выполнения работы

1. Сформировать исходные данные для расчетов согласно по­ставленным условиям (табл. 6).

2. Построить модель и определить оптимальный план производства изделий без учета ассортиментного состава выпускаемых из­делий.

3. Составить модель двойственной задачи по отношению к предыдущей и решить двойственную задачу.

4. Построить модель и определить оптимальный план производ­ства изделий с учетом ассортиментного состава выпускаемых изделий.

5. Провести сравнительный анализ оптимальных планов.

2.6 Задание № 6

ОПТИМАЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ МОЩНОСТИ ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОГО ОБОРУДОВАНИЯ

Условие задачи

Строительной организации необходимо выполнить n видов зем­ляных работ, объемы которых известны и равны b(j),м³ (j = 1,2,...,n). Для выполнения этого комплекса работ предполагается использовать и видов механизмов. Известны следующие данные:

t(i) – плановый фонд рабочего времени механизме, ч (i = 1,2,...,m);

a(i,3) – производительность механизмов на каждой работе, м³/ч (i = 1,2, …, m; j = 1,2,…,n), и при этом наблюдается пропорци­ональность производительностей механизмов: a(i,j)/a(s,j) = l(i) = const,

где s – механизм, который выбран в качестве стандартного;

c(i,j) – себестоимости производства работ, выполненных каж­дым механизмом, руб./м³ (i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n).

Требуется определить:

1) оптимальный план загрузки механизмов, рассчитанный симп­лексным методом;

2) оптимальный план загрузки механизмов, рассчитанный при помощи транспортного алгоритма;

3) резервы рабочего времени по каждому механизму в том и другом плане;

4) являются ли эти оптимальные планы альтернативными? Ес­ли – да, то какой из них предпочтительнее и почему?

Исходные данные для расчетов представить в матричной форме (табл.7).

Таблица 7 - Условия производства земляных работ в строительной организации

Механизм

Производительность, м3/ч

Себестои­мость, руб./м3

Фонд рабоче­го времени, ч

Коэффици­ент пропорциональности

…

j

...

n

…

j

...

n

… i … m

a(2,j) … a(i.j) … a(m,j)

c(1,j) c(2,j) … … c(m,j)

t(1) t(2) … … t(m)

1(2) … … l(i)

Объем ра­бот, м3

–

–

–

Порядок выполнения работы

1. Сформировать исходные данные для расчетов согласно пос­тавленным усло­виям (табл.7). В качестве стандартного принять первый механизм (жела­тельно, чтобы отношение объемов работ к производительности стандартного ме­ханизма представляло собой це­лое число).

2. Построить модель и решить задачу симплексным методом. Представить план в виде двухмерной матрицы. Определить резервы рабочего времени меха­низмов.

3. Преобразовать построенную модель (см. п.2) в модель тран­спортной за­дачи и решить эту задачу. Представить план загрузки механизмов в виде двух­мерной матрицы. Указать резервы рабочего
времени механизмов.

Задание № 7