Тема : Корреляционный и регрессионный анализ.

Задача 3.По заданной выборке ( , ) найти:

1) коэффициент корреляции;

2) уравнения линейной регрессии на и на ;

3) построить корреляционное поле и графики прямых регрессии.

	-115		-90		-48		-91		-84
	-44		-55		-115		-26		-107
	-84		-83		-54		-71		-64
	-51		-64		-109		-38		-64
	-106		-43		-74		-85		-71
	-60		-37		-118		-87		-28
	-31		-109		-64		-35		-35
	-56		-54		-67		-68		-102
	-46		-79		-80		-87		-105

Решение.

Линейное уравнение регрессии является наиболее простой моделью корреляционной связи. Уравнения линий регрессии можно найти по формулам:

на : ;(1)

на : .(2)

Следует иметь в виду, что это две различные прямые. Первая прямая получается в результате решения задачи о минимизации суммы квадратов отклонений по вертикали, а вторая – при решении задачи о минимизации суммы квадратов отклонений по горизонтали.

В уравнении (1) коэффициент , который называется коэффициентом регрессии на на, показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная при увеличении переменной на одну единицу.

В уравнении (2) коэффициент , который называется коэффициентом регрессии на , показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная при увеличении переменной на одну единицу.

При прямолинейной форме связи показатель тесноты связи определяется по формуле коэффициента линейной корреляции:

.

Качественная оценка значения коэффициента линейной корреляции осуществляется на основе шкалы Чеддока:

Значения показателя тесноты связи	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Высокая	Весьма высокая

Чем ближе к единице, тем сильнее связь между признаками.

Для вычисления коэффициента линейной корреляции для факторного ( ) и результативного ( ) признаков, а также коэффициентов уравнения регрессии, составим расчетную таблицу:

№
		-115			-2645
		-44			-396
		-84			-1512
		-51			-561
		-106			-2332
		-60			-780
		-31			-217
		-56			-672
		-46			-460
		-90			-1620
		-55			-660
		-83			-1494
		-64			-896
		-43			-387
		-37			-296
		-109			-2398
		-54			-648
		-79			-1264
		-48			-480
		-115			-2760
		-54			-594
		-109			-2398
		-74			-1184
		-118			-2832
		-64			-832
		-67			-938
		-80			-1360
		-91			-1729
		-26			-156
		-71			-1065
		-38			-304
		-85			-1445
		-87			-1566
		-35			-280
		-68			-952
		-87			-1566
		-84			-1512
		-107			-2354
		-64			-832
		-64			-896
		-71			-1065
		-28			-168
		-35			-280
		-102			-2142
		-105			-2310
∑		-3184			-53238

Вычислим средние значения:

;

;

;

;

.

Выборочная дисперсия и среднеквадратическое отклонение переменной :

; ;

Выборочная дисперсия и среднеквадратическое отклонение переменной :

; .

Вычислим коэффициент корреляции:

=

Коэффициент корреляции –0,998. Абсолютное значение коэффициента корреляции близко к единице. Это дает возможность на основании шкалы Чеддока сделать вывод о том, что связь между факторным и результативным признаками весьма высокая. Отрицательное значение коэффициента свидетельствует о том, что связь обратная.

Найдем уравнение линии регрессии на :

-70,76; 14,82; –0,998; 5,174; 26,03.

Подставляем полученные значения в уравнение:

.Отсюда

(это означает, что при увеличении переменной на одну единицу переменная в среднем увеличивается на –5,0209 единиц, т.е. уменьшается на 5,0209 единиц).

Уравнение линии регрессии на :

. Отсюда

= –0,1984 +0,7831 (это означает, что при увеличении переменной на одну единицу переменная в среднем уменьшается на 0,1984 единиц).

Строим корреляционное поле. Для этого на координатной плоскости отмечаем все заданные пары чисел ( , ) (всего 45 точек). На этом же графике строим полученные линии регрессии.

Прямые регрессии на и на пересекаются в точке с координатами , в нашем примере (14,82; -70,76).

V. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Теория вероятностей

Задание:

1. Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для решаемого варианта.

2. Вычисления произвести, по возможности, точно.

3. Построить требуемые графики.

Задача 1. Бросают две монеты. Найти вероятность того, что:

1) на обеих монетах появится «герб»,

2) хотя бы на одной монете появится «герб»;

3) ни на одной монете не появится «герб»;

Бросают три монеты. Найти вероятность того, что:

4) на всех монетах появится «герб»;

5) хотя бы на одной монете появится «герб»;

6) только на двух монетах появится «герб»;

7) только на одной монете появится «герб»;

8) ни на одной монете не появится «герб».

Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что:

9) на всех монетах появится «герб»;

10) хотя бы на одной монете появится «герб»;

11) только на одной монете появится «герб»;

12) только на двух монетах появится «герб»;

13) только на трех монетах появится «герб»;

14) ни на одной монете не появится «герб».

Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что на верхней грани появится:

15) четное число очков;

16) «1» или «6».

Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся следующие числа очков:

17) только четные;

18) одно четное, другое нечетное;

19) сумма которых четна;

20) сумма которых нечетна;

21) сумма которых больше, чем их произведение;

22) сумма которых меньше шести;

23) сумма которых больше восьми.

Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся следующие числа очков:

24) только четные;

25) одно четное, остальные нечетные;

26) сумма которых четна;

27) сумма которых нечетна;

28) которые все одинаковы;

29) которые все различны;

30) сумма которых делится на четыре.

Задача 2. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Слова по вариантам:

1.КИБЕРНЕТИКА	2.ПОДПРОГРАММА
3.ПРОГРАММА	4.ПРОЦЕДУРА
5.ПРОГРАММИСТ	6.СЕРДЕЧНИК
7.ПОЛУПРОВОДНИК	8.ПРИСВАИВАНИЕ
9.ПРОГРАММИРОВАНИЕ	10.ПРОЦЕССОР
11.УСЛОВИЕ	12.ИНТЕГРАЛ
13.ДИСКЕТА	14.ПАМЯТЬ
15.СТАТИСТИКА	16.КАЛЬКУЛЯТОР
17.СОБЫТИЕ	18.УСТРОЙСТВО
19.ВЫЧИСЛИТЕЛЬ	20.ПЕРФОЛЕНТА
21.СЛУЧАЙНОСТЬ	22.ПЕРФОКАРТА
23.ВЕРОЯТНОСТЬ	24.МАГНИТ
25.АЛГОРИТМ	26.ОПЕРАЦИЯ
27.БЛОК-СХЕМА	28.ТРАНЗИСТОР
29.АРИФМЕТИКА	30.ТЕЛЕГРАММА

Задача 3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является ваша фамилия и ваше имя.

Задача 4. В урне содержится черных и белых шаров. Случайным образом вынимают шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) белых шаров;

б) меньше, чем белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров , , и по вариантам приведены в таблице:

Вариант					Вариант

Задача 5. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени безотказно соответственно с вероятностями , и . Найти вероятность того, что за время выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

*)

.

Задача 6. В первой урне белых и черных шаров, а во второй урне белых и черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом шаров, а из второй — шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров , , , , и по вариантам приведены в таблице:

Вариант

Вариант

Задача 7. В урне содержится черных и белых шаров, к ним добавляют белых шаров. После этого из урны случайным образом вынимают шаров. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все возможные предположения о первоначальном содержании урны равновозможны.

Значения параметров , и по вариантам приведены в таблице:

Вариант				Вариант

Задача 8. В одной урне белых и черных шаров, а в другой — белых и черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают шаров и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают шаров. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.

Значения параметров , , , , и по вариантам приведены в таблице:

Вариант

Вариант

Задача 9. В пирамиде стоят винтовок, из них с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью , а стреляя из винтовки без оптического прицела, — с вероятностью . Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

,

,

Задача 10. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве , и штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно , и . Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

,

, , .

Задача 11.В каждом изнезависимых испытаний событие происходит с постоянной вероятностью . Вычислить все вероятности , где – частота события .

Значения параметров и вычислить по следующим формулам:

.

Задача 12.В каждом изнезависимых испытаний событие происходит с постоянной вероятностью . Найти вероятность того, что событие происходит:

а) точно раз;

б) меньше, чем и больше, чем раз;

в) больше, чем раз.

Значения параметров и , и вычислить по следующим формулам:

; ;

; .

Задача 13.На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью . Найти вероятность того, что среди соединений имеет место:

а) точно неправильных соединений;

б) меньше, чем неправильных соединений;

в) больше, чем неправильных соединений.

Значения параметров и , , и вычислить по следующим формулам:

, , ;

, ;

, .

Задача 14.Случайная величина задана функцией распределения:

Найти плотность распределения , построить графики функций и . Вычислить для ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), моду и медиану .

Значение параметра вычислить по формуле:

.

Задача 15.Задана случайная величина . Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значение:

а) в интервале ;

б) меньшее ;

в) большее ;

г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше, чем на .

Значения параметров , , , и вычислить по формулам:

, , ,

, , .

Математическая статистика

ЗАДАНИЕ 1.

Для заданной выборки:

4) построить дискретный ряд распределения, составить таблицу частот;

5) построить полигон частот, кумуляту;

6) вычислить среднее значение , дисперсию и среднеквадратическое отклонение .

Вариант 1

Объем выборки: 69

Вариант 2

Объем выборки: 66

Вариант 3

Объем выборки: 82

Вариант 4

Объем выборки: 70

Вариант 5

Объем выборки: 81

Вариант 6

Объем выборки: 73

Вариант 7

Объем выборки: 64

Вариант 8

Объем выборки: 80

Вариант 9

Объем выборки: 79

Вариант 10

Объем выборки: 88

Вариант 11

Объем выборки: 86

Вариант 12

Объем выборки: 89

Вариант 13

Объем выборки: 71

Вариант 14