Варіанти контрольних завдань
Завдання 1.
1. Вироби виготовляє два підприємства. У магазин надходить 60% виробів з першого підприємства й 40% - з другого. Перше підприємство виготовляє 90% виробів без браку й 10% бракованих, а друге - 80% виробів без браку й 20% - бракованих. Знайти ймовірність того, що навмання куплений вироб виявиться а) без браку; б) бракованим.
2. На склад надходить продукція трьох фабрик. Продукція першої фабрики становить 25%, другої-40%, третьої - 35%. Відомо також, що ймовірність браку для першої фабрики - 4%, для другої - 1% і для третьої -3%. Знайти ймовірність того, що обраний навмання вироб: а) стандартний; б) бракований й вироблений на першій фабриці.
3. Булки, які випікає хлібозавод, мають такий розподіл за вагою: менше 90 г - 5%, більше 110 г - 10%, інші 85% булок мають нормальну масу (90....110 г). З досить великої партії беруть навмання дві булки. Знайти ймовірність того, що а) обидві булки мають нормальну масу; б) одна булка має масу менше норми, а інша - більше.
4. Працюють три пристрої. Імовірність того, що протягом одного дня перший пристрій відмовить - 0,3, другий - 0,6, третій - 0,1. Знайти ймовірність того, що протягом одного дня відмовлять: а) всі пристрої; б) будь-який один; в) принаймні, один пристрій.
5. На столі в певному порядку лежать 32 екзаменаційних квитка. Знайти ймовірність того, що номер взятого навмання квитка буде числом, кратним 5 або 2.
6. Чотири студенти здають іспит. Імовірність того, що перший студент здасть іспит, дорівнює 0,95, другий - 0,9, третій - 0,85, а четвертий 0,8. Знайти ймовірність того, що а) хоча б два студенти здадуть іспит; б) всі чотири студенти здадуть іспит.
7. Достатня умова здачі колоквіуму - відповідь на одне з двох питань, що пропонує викладач студентові. Студент не знає відповідей на десять питань із сорока, які можуть бути запропоновані. Знайти ймовірність здачі колоквіуму.
8. Є дві партії виробів по 12 і 10 штук, причому в кожній партії один виріб бракований. Виріб, взятий навмання з першої партії, перекладено в другу, після чого вибирають навмання виріб з другої партії. Визначити ймовірність виймання бракованого виробу із другої партії.
9. Для контролю продукції із трьох партій деталей взята для випробування одна деталь. Яка ймовірність виявлення браку, якщо в одній партії 2/3 деталей браковані, а у двох інших - усі доброякісні?
10. У ящику перебувають 15 тенісних м'ячів, з яких 9 нових. Для першої гри навмання беруть три м'ячі, які після гри повертають в ящик. Для другої гри також навмання беруться три м'ячі. Знайти ймовірність того, що всі м'ячі, взяті для другої гри, нові.
11. У тирі є п'ять рушниць, ймовірності влучення з яких рівні відповідно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 і 0,9. Визначити ймовірність влучення при одному пострілі, якщо стріляючий бере одну з рушниць навмання.
12. Є десять однакових урн, з яких в дев'яти перебувають по дві чорних і по дві білих кулі, а в одній - п'ять білих і одна чорна куля. З урни, узятої навмання, витягнута біла куля. Яка ймовірність, що цю кулю витягнули з тієї урни, що містить п'ять білих куль?
13. Два стрілки, для яких ймовірності влучення в мішень рівні відповідно 0,7 і 0,8, роблять по одному пострілу. Визначити ймовірність хоча б одного влучення в мішень.
14. Ймовірність настання події в кожному досліді однакова й дорівнює 0,2. Досліди проводять один за іншим до настання події. Визначити ймовірність того, що прийдеться робити четвертий дослід.
15. В урні 10 червоних і 6 чорних куль. З урни виймають одну за другою три кулі. Знайти ймовірність того, що серед них буде не більше однієї червоної.
Завдання 2.
Закон розподілу випадкової величини Х заданий таблицею (перший рядок - можливі значення Х, другий - відповідні їм значення ймовірностей). Знайти: а) математичне сподівання; б) дисперсію; в) середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х.
| № варіанта | ||||||
| хі | ||||||
| рі | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,4 | |
| хі | ||||||
| рі | 0,3 | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | |
| хі | ||||||
| рі | 0,5 | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | |
| хі | ||||||
| рі | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,2 | |
| хі | ||||||
| рі | 0,2 | 0,2 | 0,4 | 0,1 | 0,1 | |
| хі | ||||||
| рі | 0,4 | 0,1 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | |
| хі | ||||||
| рі | 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
| № варіанта | ||||||
| хі | ||||||
| рі | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | |
| хі | ||||||
| рі | 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | |
| хі | ||||||
| рі | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,1 | 0,4 | |
| хі | ||||||
| рі | 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | |
| хі | ||||||
| рі | 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | |
| хі | ||||||
| рі | 0,4 | 0,1 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | |
| хі | ||||||
| рі | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,2 | |
| хі | ||||||
| рі | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,4 |
Завдання 3.
Випадкова величина Х задана інтегральною функцією (функцією розподілу F(х)). Знайти: а) диференціальну функцію розподілу (щільність ймовірностей); б) математичне сподівання й дисперсію X; в) побудувати графіки інтегральної й диференціальної функцій.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
. 15. 
Завдання 4.
Задано математичне сподівання m і середнє квадратичне відхилення s нормально розподіленої випадкової величини X. Знайти ймовірність того, що Х прийме значення, що належить інтервалу (a, b), і ймовірність того, що абсолютна величина відхилення х-m буде менше e.
| варіант | m | s | a | b | e |
| 0,5 | |||||
| 0,3 | 1,5 | 2,5 | 0,25 | ||
| 0,2 | 0,2 | ||||
| 0,5 | 3,5 | ||||
| 1,1 |
Завдання 5.
Випадкова величина Х нормально розподілена з відомим середнім квадратичним відхиленням s, вибірковою середньою `хВ, обсягом вибірки n. Знайти довірчий інтервал для оцінки невідомого математичного сподівання m з довірчою ймовірністю b.
| варіант | `хВ | s | n | b |
| 0,5 | 0,99 | |||
| 9,2 | 0,95 | |||
| 8,2 | 0,9 | |||
| 1,2 | 0,99 | |||
| 6,5 | 0,95 | |||
| 0,9 | 0,9 | |||
| 8,9 | 0,99 | |||
| 0,5 | 0,95 | |||
| 4,5 | 0,9 | |||
| 3,6 | 0,9 | |||
| 0,9 | ||||
| 0,5 | 0,95 | |||
| 1,5 | 0,95 | |||
| 0,9 | ||||
| 0,9 |
Завдання 6.
По заданому статистичному розподілу вибірки знайти:
а) вибіркову середню `хВ;
б) вибіркову дисперсію DВ;
в) вибіркове середнє квадратичне відхилення sВ.
| Номер варіанта | ||||||
| хі | ||||||
| nі | ||||||
| хі | ||||||
| nі | ||||||
| хі | ||||||
| nі | ||||||
| хі | ||||||
| nі | ||||||
| хі | ||||||
| nі | ||||||
| хі | ||||||
| nі | ||||||
| хі | ||||||
| nі | ||||||
| хі | ||||||
| nі | ||||||
| хі | ||||||
| nі | ||||||
| хі | ||||||
| nі | ||||||
| хі | ||||||
| nі | ||||||
| хі | ||||||
| nі | ||||||
| хі | ||||||
| nі | ||||||
| хі | ||||||
| nі | ||||||
| хі | ||||||
| nі |
Завдання 7.
Знайти рівняння лінійної регресії y на х, 
. Дані спостережень наведені в кореляційній таблиці.
| Варіант 1 | Варіант 2 | |||||||||||||||
| X Y | X Y | nу | ||||||||||||||
| З0 | ||||||||||||||||
| nx | nx | |||||||||||||||
| Варіант 3 | Варіант 4 | |||||||||||||||
| X Y | nу | X Y | nу | |||||||||||||
| nx | nx |
| Варіант 5 | Варіант 6 | ||||||||||||||||
| X Y | nу | X Y | nу | ||||||||||||||
| nx | nx | ||||||||||||||||
| Варіант 7 | Варіант 8 | ||||||||||||||||
| X Y | nу | X Y | nу | ||||||||||||||
| nx | nx | ||||||||||||||||
| Варіант 9 | Варіант 10 | ||||||||||||||||
| X Y | nу | X Y | nу | ||||||||||||||
| nx | nx | ||||||||||||||||
| Варіант 11 | Варіант 12 | ||||||||||||||||
| X Y | nу | X Y | nу | ||||||||||||||
| nx | nx | ||||||||||||||||
| Варіант 13 | Варіант 14 | |||||||||||||||
| X Y | nу | X Y | nу | |||||||||||||
| nx | nx | |||||||||||||||
| Варіант 15 | ||||||||||||||||
| X Y | nу | |||||||||||||||
| nx |
Список літератури
1. Гмурман В. Э. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Высш. школа, 1977. - 498 с.
2. Гмурман В.Э. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высш. школа, 1975. - 330с.
3. Карасев А.И., Аксютина З.И., Савельєва Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. ч.2. - М.:Высш. школа, 1982. - 320с.
4. Справочник по математике для экономистов (Под редакцией В.И.Єрмакова.) - М.:Высш.школа, 1987. - 306с.
5. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа, 1999.
6. Горбань С.Ф., Снижко Н.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – К.: МАУП, 1999.
Додаток 1
Таблиця значень функції 
| х | ||||||||||
| 0,0 | 0,3989 | |||||||||
| 0,1 | ||||||||||
| 0,2 | ||||||||||
| 0,3 | ||||||||||
| 0,4 | ||||||||||
| 0,5 | ||||||||||
| 0,6 | ||||||||||
| 0,7 | ||||||||||
| 0,8 | ||||||||||
| 0,9 | ||||||||||
| 1,0 | 0,2420 | |||||||||
| 1,1 | ||||||||||
| 1,2 | ||||||||||
| 1,3 | ||||||||||
| 1,4 | ||||||||||
| 1,5 | ||||||||||
| 1,6 | ||||||||||
| 1,7 | ||||||||||
| 1,8 | ||||||||||
| 1,9 | ||||||||||
| 2,0 | 0,0540 | |||||||||
| 2,1 | ||||||||||
| 2,2 | ||||||||||
| 2,3 | ||||||||||
| 2,4 | ||||||||||
| 2,5 | ||||||||||
| 2,6 | ||||||||||
| 2,7 | ||||||||||
| 2,8 | ||||||||||
| 2,9 | ||||||||||
| 3,0 | 0,0044 | |||||||||
| 3,1 | ||||||||||
| 3,2 | ||||||||||
| 3,3 | ||||||||||
| 3,4 | ||||||||||
| 3,5 | ||||||||||
| 3,6 | ||||||||||
| 3,7 | ||||||||||
| 3,8 | ||||||||||
| 3,9 |
Додаток 2.
Таблиця значеньфункції 
| X | Ф(х) | X | Ф(x) | X | Ф(х) | X | Ф(x) |
| 0,00 | 0,0000 | 0,32 | 0,1255 | 0,64 | 0,2389 | 0,96 | 0,3315 |
| 0,01 | 0,0040 | 0,33 | 0,1293 | 0,65 | 0,2422 | 0,97 | 0,3340 |
| 0,02 | 0,0080 | 0,34 | 0,1331 | 0,66 | 0,2454 | 0,98 | 0,3365 |
| 0,03 | 0,0120 | 0,35 | 0,1368 | 0,67 | 0,2486 | 0,99 | 0,3389 |
| 0,04 | 0,0160 | 0,36 | 0,1406 | 0,68 | 0,2517 | 1,00 | 0,3413 |
| 0,05 | 0,0199 | 0,37 | 0,1443 | 0,69 | 0,2549 | 1,01 | 0,3438 |
| 0,06 | 0,0239 | 0,38 | 0,1480 | 0,70 | 0,2580 | 1,02 | 0,3461 |
| 0,07 | 0,0279 | 0,39 | 0,1517 | 0,71 | 0,2611 | 1,03 | 0,3485 |
| 0,08 | 0,0319 | 0,40 | 0,1554 | 0,72 | 0,2642 | 1,04 | 0,3508 |
| 0,09 | 0,0359 | 0,41 | 0,1591 | 0,73 | 0,2673 | 1,05 | 0,3531 |
| 0,10 | 0,0398 | 0,42 | 0,1628 | 0,74 | 0,2703 | 1,06 | 0,3554 |
| 0,11 | 0,0438 | 0,43 | 0,1664 | 0,75 | 0,2734 | 1,07 | 0,3577 |
| 0,12 | 0,0478 | 0,44 | 0,1700 | 0,76 | 0,2764 | 1,08 | 0,3599 |
| 0,13 | 0,0517 | 0,45 | 0,1736 | 0,77 | 0,2794 | 1,09 | 0,3621 |
| 0,14 | 0,0557 | 0.46 | 0,1772 | 0,78 | 0,2823 | 1,10 | 0,3643 |
| 0,15 | 0,0596 | 0,47 | 0,1808 | 0,79 | 0,2852 | 1,11 | 0,3665 |
| 0,16 | 0,0636 | 0,48 | 0,1844 | 0,80 | 0,2818 | 1,12 | 0,3686 |
| 0,17 | 0,0675 | 0,49 | 0,1879 | 0,81 | 0,2910 | 1,13 | 0,3708 |
| 0,18 | 0,0714 | 0,50 | 0,1915 | 0,82 | 0,2939 | 1,14 | 0,3729 |
| 0,19 | 0,0753 | 0,51 | 0,1950 | 0,83 | 0,2967 | 1,15 | 0,3749 |
| 0,20 | 0,0793 | 0,52 | 0,1985 | 0,84 | 0,2995 | 1,16 | 0,3770 |
| 0,21 | 0,0832 | 0,53 | 0,2019 | 0,85 | 0,3023 | 1,17 | 0,3790 |
| 0,22 | 0,0871 | 0,54 | 0,2054 | 0,86 | 0,3051 | 1,18 | 0,3810 |
| 0,23 | 0,0910 | 0,55 | 0,2088 | 0,87 | 0,3078 | 1,19 | 0,3830 |
| 0,24 | 0,0948 | 0,56 | 0,2123 | 0,88 | 0,3106 | 1,20 | 0,3849 |
| 0,25 | 0,0987 | 0,57 | 0,2157 | 0,89 | 0,3133 | 1.21 | 0,3869 |
| 0,26 | 0,1026 | 0,58 | 0,2190 | 0,90 | 0,3159 | 1,22 | 0,3883 |
| 0.27 | 0,1064 | 0,59 | 0,2224 | 0,91 | 0,3186 | 1,23 | 0,3907 |
| 0,28 | 0,1103 | 0,60 | 0,2257 | 0,92 | 0,3212 | 1,24 | 0,3925 |
| 0,29 | 0,1141 | 0,61 | 0,2291 | 0,93 | 0,3238 | 1,25 | 0,3944 |
| 0,30 | 0,1179 | 0,62 | 0,2324 | 0,94 | 0,3264 | ||
| 0,31 | 0,1217 | 0,63 | 0,2357 | 0,95 | 0,3289 | ||
| Продовження додатка 2 | |||||||
| х | Ф(х) | X | Ф(x) | X | Ф(x) | X | Ф(x) |
| 1,26 | 0,3926 | 1,59 | 0,4441 | 1,92 | 0,4726 | 2,50 | 0,4938 |
| 1,27 | 0,3980 | 1,60 | 0,4452 | 1,93 | 0,4732 | 2,52 | 0,4941 |
| 1,28 | 0,3997 | 1,61 | 0,4463 | 1,94 | 0,4738 | 2,54 | 0,4945 |
| 1,29 | 0,4015 | 1,62 | 0,4474 | 1,95 | 0,4744 | 2,56 | 0,4948 |
| 1,30 | 0,4032 | 1,63 | 0,4484 | 1,96 | 0,4750 | 2,58 | 0,4951 |
| 1,31 | 0,4049 | 1,64 | 0,4495 | 1,97 | 0,4756 | 2,60 | 0,4953 |
| 1,32 | 0,4066 | 1,65 | 0,4505 | 1,98 | 0,4761 | 2,62 | 0,4956 |
| 1,33 | 0,4082 | 1,66 | 0,4515 | 1,99 | 0,4767 | 2,64 | 0,4959 |
| 1,34 | 0,4099 | 1,67 | 0,4525 | 2,00 | 0,4772 | 2,66 | 0,4961 |
| 1,35 | 0,4115 | 1,68 | 0,4535 | 2,02 | 0,4783 | 2,68 | 0,4963 |
| 1,36 | 0,4131 | 1,69 | 0,4545 | 2,04 | 0,4793 | 2,70 | 0,4965 |
| 1,37 | 0,4147 | 1,70 | 0,4554 | 2,06 | 0,4803 | 2,72 | 0,4967 |
| 1,38 | 0,4162 | 1,71 | 0,4564 | 2,08 | 0,4812 | 2,74 | 0,4969 |
| 1,39 | 0,4177 | 1,72 | 0,4573 | 2,10 | 0,4821 | 2,76 | 0,4971 |
| 1,40 | 0,4192 | 1,73 | 0,4582 | 2,12 | 0,4830 | 2,78 | 0,4973 |
| 1,41 | 0,4207 | 1,74 | 0,4591 | 2,14 | 0,4838 | 2,80 | 0,4974 |
| 1,42 | 0,4222 | 1,75 | 0,4599 | 2,16 | 0,4846 | 2,82 | 0,4976 |
| 1,43 | 0,4236 | 1,76 | 0,4608 | 2,18 | 0,4854 | 2,84 | 0,4977 |
| 1,44 | 0,4251 | 1,77 | 0,4616 | 2,20 | 0,4861 | 2,86 | 0,4979 |
| 1,45 | 0,4265 | 1,78 | 0,4625 | 2,22 | 0,4868 | 2,88 | 0,4980 |
| 1,46 | 0,4279 | 1,79 | 0,4633 | 2,24 | 0,4875 | 2,90 | 0,4981 |
| 1,47 | 0,4292 | 1,80 | 0,4641 | 2,26 | 0,4881 | 2,92 | 0,4982 |
| 1,48 | 0,4306 | 1,81 | 0,4649 | 2.28 | 0,4887 | 2,94 | 0,4984 |
| 1,49 | 0,4319 | 1,82 | 0,4656 | 2,30 | 0,4893 | 2,96 | 0,4985 |
| 1,50 | 0,4332 | 1,83 | 0,4664 | 2,32 | 0,4898 | 2,98 | 0,4986 |
| 1,51 | 0,4345 | 1,84 | 0,4671 | 2,34 | 0,4904 | 3,00 | 0,49865 |
| 1,52 | 0,4357 | 1,85 | 0,4678 | 2,36 | 0,4909 | 3,20 | 0,49931 |
| 1,53 | 0,4370 | 1,86 | 0,4686 | 2,38 | 0,4913 | 3,40 | 0,49966 |
| 1,54 | 0,4382 | 1,87 | 0,4693 | 2,40 | 0,4918 | 3,60 | 0,499841 |
| 1,55 | 0,4394 | 1,88 | 0,4699 | 2,42 | 0,4922 | 3,80 | 0,499928 |
| 1,56 | 0,4406 | 1,89 | 0,4706 | 2,44 | 0,4927 | 4,00 | 0,499968 |
| 1,57 | 0,4418 | 1,90 | 0,4713 | 2,46 | 0,4931 | 4,50 | 0,499997 |
| 1,58 | 0,4429 | 1.91 | 0,4719 | 2,48 | 0,4934 | 5,00 | 0,499997 |
Додаток 3
Таблиця значень імовірності Р{c2 > c2P }