Приближенный метод решения матричных игр

Если точное решение матричной игры оказывается громоздким, можно ограничиться приближенным решением. В основе этого метода лежит предположение, что игроки выбирают свои стратегии в очередной партии, руководствуясь накапливающимся опытом уже сыгранных партий. Достоинство метода – его простота.

Пример 1.9.Найти приближенное решение матричной игры, смоделировав 10 партий:

Решение.Чтобы избавиться от дробей, умножим все элементы матрицы на 10. От этого оптимальные стратегии игроков не изменятся, а цена игры тоже умножится на 10.

Получим матрицу Составляем таблицу.

Номер партии	Игрок А	Игрок В	Приближенные значения цены
Стратегия	Накопленный выигрыш при различных стратегиях игрока В	Стратегия	Накопленный выигрыш при различных стратегиях игрока А
В1	В2	В3	А1	А2	А3	α	β	v = = (α + β)/2
	А1				В1
	А2				В3				15/2	17/2
	А2				В2				23/3	24/3	47/6
	А2				В2				30/4	32/4	62/8
	А1				В3				38/5	39/5	77/10
	А1				В3				45/6	47/6	92/12
	А2				В3				53/7	55/7	108/14
	А2				В3				61/8	63/8	124/16
	А2				В2				69/9	71/9	140/18
	А3				В2				7,7	7,9	7,8

Ниже описано как заполняется таблица.

Игрок А начинает со своей первой стратегии. Соответствующие выигрыши (первая строка матрицы) запишем в столбцы В₁, В₂, В₃ и определим среди них минимальный: min (7, 9, 7) = 7 (в случае, когда их несколько, берем тот, что расположен левее). Этот минимум выделим. Он соответствует стратегии В₁. Поэтому соответствующие выигрыши (первый столбец матрицы) запишем в столбцы А₁, А₂, А₃ и определим среди них максимальный: max (7, 9, 7) = 9 (в случае, когда их несколько, берем тот, что расположен левее). Этот максимум выделим. Он соответствует стратегии А₂. Поэтому во второй партии игрок А ответит стратегией А₂. Соответствующие выигрыши (вторая строка) надо прибавить к числам в столбцах В₁, В₂, В₃ предыдущей строки игрока А и определить минимальное среди полученных: min (16, 16, 15) = 15, что соответствует стратегии В₃. Поэтому соответствующие выигрыши (третий столбец) надо прибавить к числам в столбцах А₁, А₂, А₃ предыдущей строки игрока В и определить среди них максимальный: max (14, 17, 15) = 17, что соответствует стратегии А₂. И т.д.

Приближенное значение нижней цены игры в каждой партии α = (выделенное число в столбцах В₁, В₂, В₃)/(номер партии).

Приближенное значение верхней цены игры в каждой партии β = (выделенное число в столбцах А₁, А₂, А₃)/(номер партии).

После 10 партий v ≈ 7,8. Поэтому для исходной матрицы v ≈ 7,8/10 = 0,78.

p_i ≈ (число использования стратегии А_i)/(число партий).

q_i ≈ (число использования стратегии B_j)/(число партий).

Число использования стратегии А_i = число отмеченных элементов в столбце А_i.

Число использования стратегии В_j = число отмеченных элементов в столбце В_j.

После 10 партий p₁ ≈ 3/10, p₂ ≈ 6/10, p₃ ≈ 1/10 (за 10 партий игрок А 3 раза воспользовался стратегией А₁, 6 раз – стратегией А₂, 1 раз – стратегией А₃).

q₁ ≈ 1/10, q₂ ≈ 4/10, q₃ ≈ 5/10.