Преобразования графиков функций

Если известен график функции y=f(x), то с помощью некоторых преобразований плоскости (параллельного переноса, осе­вой и центральной симметрии и т. п.) можно построить графики более сложных функций.

1. График функции получается сжатием графика f (x) в b раз к оси Оу при b > 1 или растяжением в 1/b раз от этой оси Оу при 0< b <1 (рис. 1).

2. График функции f (х+с) получается параллельным пере­носом графика f {x) в отрицательном направлении оси Ох на |с| при с>0 и в положительном направлении на |с| при с<0 (рис. 2).

3. График функции af (x) получается растяжением графика f (x) вдоль оси Оу в а раз при а > 1 и сжатием вдоль этой оси в 1/ а раз при 0<а<1 (рис. 3).

4. График функции f(x)+k получается параллельным пере­носом графика / (х) в положительном направлении оси Оу на k при k >0 и в отрицательном направлении этой оси на при k <0 (рис. 4).

рис. 4 рис. 5

5. График функции y=f (–х) получается симметричным отоб­ражением графика f (х) относительно оси Оу (рис. 5).

6. График функции у= –f (х) получается симметричным отоб­ражением графика f (х) относительно оси Ох (рис. 6).

7. График функции получается из графика функ­ции y=f(x) следующим образом: часть графика y=f(x), лежа­щая над осью Ох, сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох (рис. 7).

рис. 7 рис. 8

8. График функции получается из графика функции y=–f(x) следующим образом: при график y=f(x) сохраня­ется, а при х<0 полученная часть графика отображается сим­метрично относительно оси Оу (рис. 8).

9. «Сложение» графиков функций. Пусть известны графики функций и . Чтобы построить график функции + , достаточно для каждого х сложить ординаты графиков этих функций (рис. 9).

10. «Умножение» графиков функций. Пусть известны графики функций и . Чтобы построить график функции ∙ , достаточно для каждого х перемножить ординаты графиков этих функций. График функции строят, деля на ординаты графика функции .При этом в точках, где обращается в нуль, функция не определена. Обычно около этих точек график функции неограниченно удаляется от оси абсцисс (рис. 10).

Глава 3 Предел последовательности

Понятие сходимости

1°. Последовательность–это множество чисел, упорядоченное номе ром (т. е. перенумерованное). Последовательности бывают конечные x₁, х₂, ...., х_n, и бесконечные: x₁, х₂, ...., х_n…. Числа x₁, х₂, ...., х_n, называются членами последовательности. Примеры: последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, ...; конечная последовательность 1, 2, 3, 4, 5, 6. Последовательность с общим членом x_n обозначают кратко {x_n}.

2°. У некоторых бесконечных последовательностей члены с большими номерами оказываются близкими к какому–то постоянному числу, причем это приближение тем точнее, чем больше номер члена.

Определение: число а называется пределом последовательности x₁, х₂, ...., х_n… если для любого (сколь угодно малого) положительного числа найдется номер N такой, что при всех п N выполняется неравенство

|х_n – а| < .

Принято писать или

(читается «предел x_n при n, стремящемся к бесконечности, равен а» или «x_n стремится к а, когда n стремится к бесконечности»). Говорят также, что x_n сходится к а.

Геометрически означает, что точки x₁, х₂, ...., х_n… неограниченно приближаются к точке а при неограниченном увеличении номера. Можно также сказать, что в любую (сколь угодно малую) окрестность точки а попадают все члены последовательности, начиная с некоторого номера N . (Окрестность точки а – это интервал, середина кото­рого совпадает с данной точкой а.)

Рис. В окрестность (а – , а + ) точки а попадают все члены последователь­ности , начиная с некоторого номера N.

Теоремы о пределах последовательностей:

1) если предел последовательности существует, то он единствен­ный;

2) – предел постоянной равен этой постоянной;

3) + – предел суммы равен сумме пределов;

4) = – постоянный множитель можно выносить за знак предела;

5) = ∙ – предел произведения равен произведению пределов;

6) , если – предел отношения равен отношению пределов;

7) ограниченная монотонная последовательность имеет предел;

В теоремах 3) – 6) предполагается, что все пределы в правой части равенств существуют.

3°. Последовательность {x_n} называется возрастающей, если для любого n верно x_n+1 > x_n ; убывающей, если x_n+1 < x_n; невозрастающей, если x_n+1 £ x_n; неубывающей, x_n+1 ³ x_n. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности называются монотон­ными последовательностями. Последовательность называется ограничен­ной. если ,где C– некоторая постоян­ная..

Бесконечно малая последовательность–это последовательность, пре­дел которой равен нулю.

Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последователь­ность.

4°. Если члены последовательности с ростом номера неограниченно воз­растают, то говорят о бесконечном пределе последовательности.

Определение: предел последовательности x₁, х₂, ...., х_n…,... равен бесконечности, если для любого (сколь угодно большого) числа Е > 0 найдется номер N такой, что при всех п ³ N выполняется неравенство .В этом случае пишут .

Бесконечно большая последовательность – это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Теорема:

если , то ;

если , то .

Примеры:

1) ;

2)

3)

Предел функции

1°. Понятие предела функции лежит в основе математического анализа. Если значения функции приближаются к некоторому числу b, когда значения аргумента приближаются к числу а, то это число b называют пределом функ­ции в точке а.

Определение («на языке – ») : число b называется пределом функции f(x) в точке а (или при стремлении х к а), если для любого (сколь угодно малого) числа > 0 найдется число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < < (1) ,

выполняется неравенство < (2) .

Принято писать или .

Замечание. В данном определении предполагается, что функция f(x) опре­делена в некоторой окрестности точки а (за исключением, возможно, самой точки а) и что х в неравенствах (1) и (2) принадлежит этой окрестности.

Геометрически означает, что точки графика функции у = f(x) приближаются к точке (а, b) на плоскости ху при приближении точки х к точ­ке а на оси х (рис. a). Неравенства (1) и (2) геометрически означают, что при всех х, достаточно близких к а, точки графика функции f(x) лежат в сколь угодно узкой полоске вида b– <y <b + (рис. б).

Теоремы, о пределах функций:

1) если предел функции в точке а существует, то он единственный;

2) предел постоянной равен этой постоянной;

3) + – предел суммы равен сумме пределов;

4) = –постоянный множитель можно выносить за знак предела;

5) ∙ – предел произведения равен произведению пределов;

6) , если ¹0–предел отношения равен отношению пределов.

В теоремах 3) – 6) предполагается существование пределов всех функ­ций в правых частях равенств.

2°. В некоторых вопросах важно изучать поведение функции не просто вблизи заданной точки, как в п. 1°, а с одной стороны от этой точки – слева или справа (односторонние пределы.).

Определение: число b₁ называется левым пределом, (или пределом слева) функции f(x) в точке а, если для любого числа > 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству a– <x<a (3), выполняется неравенство < (4) .

Принято писать , или .

В определении предполагается, что функция f(x) определена в левой полуокрестности точки а, т. е. при х Î (а – , a), где > 0, и что х в не­равенствах (3) и (4) принадлежит этой полуокрестности.

Аналогично определяется правый предел (или предел справа): , или .

В этом случае (3) следует заменить неравенством а < х < а + .

Обычный предел существует в том и только в том случае, когда левый и правый пределы в этой точке существуют и равны.

3°. Если при приближении х к некоторой точке а значения функции неограниченно возрастают, говорят о бесконечном пределе функции в этой точке.

Определение: функция f(x) имеет в точке а бесконечный предел, если для любого (сколь угодно большого) числа Е > 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0< < (5), выполняется неравенство (6).

Принято писать = .

Бесконечный пре­дел в точке х =0

(читается «предел f(x) в точке а равен бесконечности» или « f(x) стремится к бесконечности при х а»). График функции у = f(x), имеющей бес­конечный предел в точке а, при х а неограничен­но удаляется от оси х, приближаясь к прямой х = а («вертикальная асимп­тота», см. рис. ).

Если при х, удовлетворяющих (5); вместо (6) выполняется не­равенство f(x) > Е (или f(x) < – Е), то говорят, что =+ , соответственно =– .

Вводятся также односторонние бесконечные пределы.

Замечание. Возможен случай, когда левый предел конечный, а правый бесконечный (или наоборот); возможен также случай, когда при нет ни конечного, ни бесконечного предела.

4°. Если при неограниченном возрастании аргумента значения функции приближаются к некоторому числу, говорят о пределе функции на беско­нечности.

Определение: число b₁ называется пределом функции f(x) на плюс бесконечности, если для любого числа > 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству

х > (7) , выполняется неравенство < .

Принято писать = b₁.

В данном определении предполагает­ся, что функция f(x) определена в ок­рестности плюс бесконечности, т. е. при х > , где > 0 – некоторое число. Геометрически = b₁ означает, что при неограниченном удалении точки х от начала координат вправо график функции неограниченно приближается к прямой у = b₁ («горизонтальная асимптота»).

Определение предела функции на минус бесконечности отли­чается от определения тем, что вместо (7) следует написать неравенство х < – . Геометрически =b₂ означает, что при неограниченном удалении влево от начала координат график функции неограни­ченно приближается к прямой у = b₂ .

5°. Вычисление пределов функции.

Для непрерывных функций, вычисление пределов в точках, при­надлежащих области определения, сводится к подстановке соответствую­щих значений аргумента функции, т. е. В частности, это правило относится к элементарным функциям и их комбинациям.

Если =0, то , т.е. величина, обратная к бесконечно малой, есть бесконечно большая; если = , то , т. е. величина, обратная к бесконечно большой, есть бесконечно малая. Здесь а означает конечную точку или символ .

Выражения вида в случаях, и либо и , называется неопределенностями вида 0/0 или / .

Раскрыть неопределенность–значит вычислить .

Способы раскрытия неопределенностей вида 0/0 , / , 0∙ , - , :

1) тождественное преобразование выражения;

2) использование «основных пределов»:

первый замечательный предел ;

второй замечательный предел ;

3) применение правила Лопиталя: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных двух функций, то предел от ношения этих функций существует и равен пределу отношения произ­водных:

, (иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз подряд).

Непрерывность функции.

Понятие непрерывности функции, так же как и понятие предела, является одним из основных понятий математического анализа.

Определение. Функция непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1) определена в точке , т.е. существует ;

2) имеет конечный предел функции при или существуют односторонние пределы функции слева и справа и они равны;

3) предел функции равен значению функции в точке , т.е. .

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва первого рода и второго рода. К точкам разрыва первого рода относятся точки устранимого разрыва и неустранимого разрыва или скачка.

Точки устранимого разрыва: существует предел функции при (или существуют односторонние пределы функции слева и справа и они равны), но он не равен ( они не равны) значению функции в этой точке , либо функция не определена в точке .

Устранимый разрыв или скачок: существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при , не равные друг другу и , но .

Величина называется скачком или разрывом.

Разрыв второго рода: хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1) если функции и непрерывны в точке , то их сумма + , произведение ∙ и частное / , при условии , являются функциями, непрерывными в точке ;

2) если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке = , то сложная функция непрерывна в точке .

Это свойство может быть записано в виде , т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непре­рывных на отрезке:

1) Если функция не­прерывна на отрезке [а, b], то она ограничена на этом отрезке (см. а).

2) Если функция не­прерывна на отрезке [а, b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения m и своего наибольшего значения M (см. б).

3) Если непрерывная функция меняет знак на замкнутом промежутке [а, b], то она имеет по крайней мере один корень внутри интервала (a,b) (см. в).

а) б) в)