Функции полезности. Кривые безразличия

Раздел 2. Примеры задач оптимизации в экономике и финансах

Вопросы:

Введение. Основные финансово-экономические функции и их характеристики

1. Функции полезности. Кривые безразличия

2. Функции покупательского спроса

3. Производственные функции

4. Решение финансово-экономических оптимизационных задач при помощи дифференциального исчисления функций одной переменной

5. Примеры применения дифференциального исчисления функций нескольких переменных для решения финансово-экономических задач

Введение. Основные финансово-экономические функции и их характеристики

В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Отсюда вытекает актуальная задача моделирования спроса и потребления.

Главными понятиями экономической теории потребления являются потребитель (домашнее хозяйство) и благо (товар). Предполагается, что потребитель, осуществляя свой выбор среди различных наборов благ при заданных ценах и имеющемся у него бюджете, стремится максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей. При этом он действует рационально, полностью информирован и предпочитает текущее потребление будущему.

К основным функциям экономической теории можно отнести функции полезности, спроса и производственные функции. Они имеют идентичные категории характеристик: средние, предельные характеристики, предельные нормы замещения факторов, эластичность.

Рассмотрим модели этих функций и их основные характеристики.

Функции полезности. Кривые безразличия

Уровень удовлетворения материальных потребностей общества (уровень потребления) можно выразить целевой функцией потребления (полезности) U=U(Y), где вектор переменных включает разнообразные виды товаров и услуг. Ряд свойств этой функции удобно изучать, используя геометрическую интерпретацию уравнений U(Y)=C, где С – меняющийся параметр, характеризующий значение (уровень) целевой функции потребления; в качестве величины С может выступать, например, доход или уровень материального благосостояния.

В пространстве потребительских благ каждому уравнению U(Y)=C соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. На пространстве двух благ уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям С (см. рис. 1).

Рисунок 1. Кривые безразличия

Из основных свойств целевой функции потребления отметим следующие:

1) функция U(Y) является возрастающей, т.е. увеличение потребления любого блага при неизменном уровне потребления всех других благ увеличивает значение данной функции;

2) кривые безразличия не могут пересекаться;

3) кривые безразличия имеют отрицательный наклон (выпуклы), при этом абсолютный наклон кривых уменьшается при движении в положительном направлении по каждой оси.

Перейдем к вопросу моделирования поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений на базе целевой функции потребления. В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что потребители, осуществляя выбор товаров при установленных ценах и имеющемся доходе, стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей.

Пусть в пространстве n видов товаров исследуется поведение совокупности потребителей. Обозначим спрос потребителей через вектор , а цены на различные товары – через вектор . При величине дохода D потребители могут выбирать только такие комбинации товаров, которые удовлетворяют бюджетному ограничению . Тогда простейшая модель поведения потребителей в векторной форме будет иметь вид:

(1)

Набор благ , являющийся решением модели (1), называется оптимальным набором потребления или точкой спроса.

Геометрическая интерпретация модели (1) для двух агрегированных видов товаров представлена на рисунке 2.

Рисунок 2. Геометрическая интерпретация модели поведения потребителей

На рисунке 2 АВ – бюджетная линия. Выбор потребителей ограничен треугольником АОВ. Набор товаров М, соответствующий точке касания прямой АВ с наиболее отдаленной кривой безразличия, является оптимальным решением.

Одним из важных преимуществ функции полезности в исследовании потребительских предпочтений является возможность использования мощного аппарата математического анализа. Остановимся на основных экономико-математических характеристиках функции полезности.

Частные производные функции U(Y):

интерпретируются как предельные полезные эффекты (предельные полезности) соответствующих потребительских благ и характеризуют прирост целевой функции потребления (полезности ) при увеличении использования i-го блага (товара) на некоторую условную малую единицу.

Величина

называется средней полезностью i-го блага.

Средняя полезность показывает величину полезности на единицу приобретенного блага, а предельная полезность показывает приближенно величину дополнительной полезности на единицу дополнительно приобретенного блага.

Потребители должны выбирать товары таким образом, чтобы отношение предельной полезности к цене товара было одинаковым для всех приобретаемых товаров. Другим словами, в оптимальном наборе предельные полезности выбираемых товаров должны быть пропорциональны ценам.

Величина, равная отношению предельной полезности к средней,

называется коэффициентом эластичности (частной эластичностью) функции U по i-му благу, а

– коэффициентом полной эластичности функции U.

Коэффициент эластичности характеризует относительное изменение функции, т.е. он показывает, на сколько процентов изменится функция U при изменении на 1 % i-го блага:

.

Величина, равная отношению предельных полезностей благ i, j

,

называется предельной нормой замещения i-го блага j-м благом.

Предельная норма замещения показывает приближенно, на сколько единиц необходимо увеличить j-е благо при уменьшении на одну единицу i-го блага, для того чтобы полезность осталась на прежнем уровне.