Основная тенденция развития рассчитывается как временная
функция ˆ ( ) i i y = f t , где i yˆ - теоретические уровни (уровни динамического
T, мес. Объем
Выпуска,
I y
Скользящая
Сумма
−1 +1 + + i i i y y y
Скользящая
Средняя
i yˆ .
Январь 190 - -
Февраль 210 600 200
Март 200 630 210
Апрель 220 660 220
Май 240 690 230
Июнь 230 690 230
Июль 220 690 230
Август 240 720 240
Сентябрь 260 760 253
Октябрь 260 800 257
Ноябрь 280 810 270
Декабрь 270 - -
Всего 2790 -
Ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на
Момент времени i t ) т.е. развитие явления рассматривается в зависимости
Только от течения времени. Отклонения эмпирических уровней ряда i y от
уровней, соответствующих общей тенденции i yˆ объясняются действием
Случайных или циклических факторов. В результате получаем трендовую
модель вида:
i i i yˆ = f (t ) +ε ,
Где i
ε - случайное и циклическое отклонение от тенденции.
Целью аналитического выравнивания динамического ряда является
_______определение аналитической или графической зависимости ( ) i f t . Функция
( ) i f t выбирается таким образом, чтобы она давала содержательное
Объяснение изучаемого процесса.
Подбор функции обычно осуществляется методом наименьших
Квадратов (МНК), в соответствии с которым наилучшим образом тренд
Описывает временная функция, обеспечивающая минимальную величину
Суммы квадратов отклонений эмпирических уровней ряда от
соответствующих уровней теоретического ряда:
( ˆ ) min
2 → − Σ=
n
i
I i y y ,
Где i y - фактические уровни;
i yˆ - выровненные по временной функции уровни ряда.
Наиболее часто в анализе рядов динамики при выравнивании
используются следующие зависимости:
• линейная yˆ = a + b ⋅t ;
• параболическая yˆ = a + b ⋅t + c ⋅t2 ;
• показательная функция yˆ = a ⋅bt .
Линейная зависимость yˆ = a + b⋅t выбирается в тех случаях, когда в
Исходном ряду наблюдаются в среднем постоянные абсолютные цепные
приросты const цi Δ ≈ .
Параметры уравнения a и b находятся по методу наименьших
Квадратов, в соответствии с которым получают систему нормальных
уравнений:
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
⋅ + =
⋅ + =
Σ Σ Σ
Σ Σ
A t b t yt
N a b t y
,
;
где y – фактические (эмпирические) уровни ряда;
t – хронологические показатели времени (порядковый номер периода или
Момента времени).
Для решения системы можно использовать любой известный метод,
Но предварительно необходимо решить проблему замены показателей
Времени, что позволит значительно упростить расчет параметров.
Хронологические показатели заменяются числовыми аналогами таким
Образом, чтобы сумма новых показателей времени по ряду 0
= Σ=
n
i
i t :
• при нечетном числе уровней (например, - 7) за начало отсчета
времени (t=0) принимается центральный интервал (момент) – 4-ый:
Г. 1999г. 2000г. 2001г. 2002г. 2003г. 2004г.
-3 -2 -1 0 +1 +2
+3;
• при четном числе уровней (например, - 6) значения условных
показателей времени будут выглядеть следующим образом:
Г. . 2000г. 2001г. 2002г. 2003г. 2004г.
-3 -2 -1 +1 +2 +3.
Применение условных показателей времени позволяет привести
систему нормальных уравнений к виду:
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
=
⋅ =
Σ Σ
Σ
B t yt
N a y
2 .
Из первого уравнения
n
y
a Σ = .
Из второго уравнения b = Σ
Σ
T 2
Yt .
Параметр a в линейной трендовой модели обычно интерпретации
Не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный
Уровень ряда.
Параметр b в трендовом уравнении называется коэффициентом
регрессии. Он определяет направление развития явления: при b >0 –
уровни ряда динамики равномерно возрастают, при b <0 – равномерно
Снижаются. Коэффициент регрессии показывает, насколько в среднем
Изменится уровень ряда при изменении времени на единицу. Это означает,
Что параметр b можно рассматривать как средний абсолютный прирост с
Учетом тенденции к равномерному росту (росту в арифметической
Прогрессии).
Парабола второго порядка используется для описания рядов
динамики, в которых меняется направление развития: со снижения
Показателей на их рост и наоборот.
Трендовое уравнение имеет вид: yˆ = a + b ⋅t + c ⋅t2 .
Параметр с называется коэффициентом регрессии и
Характеризует изменение интенсивности развития в единицу времени.
При с>0 наблюдается ускоренное развитие, при с<0 – замедленное.
Система уравнений, полученная по МНК имеет вид:
⎪ ⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ + ⋅ =
Σ Σ Σ Σ
Σ Σ Σ Σ
Σ Σ Σ
.
,
,
2 3 4 2
2 3
A t b t c t yt
A t b t c t yt
N a b t c t y
Так как Σ = 0 i t , то система упрощается:
⎪ ⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅ + ⋅ =
⋅ =
⋅ + ⋅ =
Σ Σ Σ
Σ Σ
Σ Σ
.
,
,
2 4 2
A t c t yt
B t yt
N a c t y
Отсюда:
Σ
Σ = t2
Yt
B ;
Σ Σ
Σ Σ Σ Σ
⋅ −
⋅ − ⋅
= 4 2 2
4 2 2
N t ( t )
T y t yt
A ;
Σ Σ
Σ Σ Σ
⋅ −
⋅ − ⋅
= 4 2 2
2 2
N t ( t )
N yt t y
C .
Показательная функция yˆ = a ⋅bt применяется для описания
динамических рядов со стабильными цепными темпами роста: T const цi = .