Связь математического моделирования с экономической теорией и практикой

С теорией:

1) Терминология (производная и т.п.) – математика дает удобную систему обозначений экономистам.

2) Многие экономические понятия являются трактовкой математических терминов и определений (предельный эффект = производная, теневые цены: множитель Лагранжа, двойственные оценки в задаче линейного программирования)

3) Математика интенсифицирует экономическую теорию (за счёт математического анализа, имитационного анализа)

4) Экономика, как и математика, использует аксиомы (аксиоматический метод).

С практикой:

1) Математика упорядочивает систему экономической информации (используются модели мат.статистики)

2) Интенсифицирует экономические расчёты.

3) Математика решает новые экономические задачи (например, задачи прогноза), даёт новые методы решения задач.

4) Развивает количественный анализ параметров экономической теории.

9. Линейные модели:

a) задача планирования производства

Имеется некоторое абстрактное производство, использующее n видов ресурсов, перерабатывающее их в конечный продукт.

Постановка задачи, 1-ый вариант:

Внутренние параметры модели (вектор a):

m ресурсов.

b_i – объем i-го ресурса
n технологий (производственных способов)
а_ij – затраты i-го ресурса при использовании j-ой технологии с единичной интенсивностью
c_j – ценность конечной продукции, вырабатываемой j-ой технологией в единицу времени.

Требуется, не выходя за рамки отпущенных ресурсов так спланировать производство, чтобы получить максимальную суммарную ценность.

x_j – искомая интенсивность использования j-ой технологии. x = (x₁, …, x_n)

2-й вариант:

m ресурсов.

b_i – объем i-го ресурса
n видов продуктов
а_ij – расход i-го ресурса на производство одной единицы j-го продукта
c_j – прибыль, получаемая от производства одной единицы j-го продукта

x_j – искомое количество j-го продукта

Модель:

– максимизировать ценность (прибыль)

– использование i-го ресурса

B) задача диеты

Живые организмы должны получать за определённое время некоторое количество веществ.

m биологически активных веществ.
b_i – количество i-го вещества, потребляемого организмом в планируемом периоде.
n продуктов питания
a_ij – содержание i-го вещества в одной единице веса j-го продукта.
c_j – цена единицы j-го продукта

Требуется так выбрать диету, чтобы удовлетворить потребности организма в веществах по возможности самым дешёвым образом.

x_j – искомое количество покупки j-го продукта.

Модель:

– минимизировать стоимость

– потребление i-го вещества

C) транспортная задача

m пунктов производства однородной продукции
a_i – объём производства в i-ом пункте производства
n пунктов потребления продукта
b_j – объём потребностей j-го потребителя
c_ij – стоимость перевозки 1-цы груза с i-го пункта производства в j-ый пункт потребления

Требуется так организовать перевозку, чтобы полностью вывезти продукт из каждого пункта производства, полностью удовлетворить потребности каждого потребителя и минимизировать при этом суммарные транспортные издержки. (Считается, что суммарный объём производства равен суммарному объёму потребления).

x_ij – искомый объём перевозки из i-го пункта производства в j-ый пункт потребления

Модель:

– минимизировать стоимость перевозки

– вывести из каждого пункта производства всю продукцию

– полностью удовлетворить потребности каждого потребителя

m + n ограничений и m·n переменных.

Если поменяем индексы (i,j)→(k) (вытянем матрицу в вектор), то модель будет выглядеть:

x = (x₁, …, x_m·n)

, либо 0, либо 1