Ошибка выборки для альтернативного признака
Теорема Бернулли утверждает, что при достаточно большом объеме выборки вероятность Pрасхождения между долей признака в выборочной совокупности р и долей в генеральной совокупности Pг будет стремиться к 1.
, (4.10)
Для альтернативного признака среднее квадратическое отклонение равно 
, где 
. Тогда средняя ошибки выборки для альтернативного признака равна
, (4.11)
, (4.12)
Доля в генеральной совокупности Pг неизвестна и может быть только оценена при выборочном наблюдении
, (4.13)
При простой случайной выборке средняя квадратическая ошибки определяется по формулам:
| Средняя квадратическая ошибка | Повторная выборка | Бесповторная выборка |
| При определении среднего размера признака |  , (4.14) |  , (4.16) |
| При определении доли признака |  ,(4.15) |  . (4.17) |
Определение необходимой численности выборки
Численность стандартной 
и предельной 
ошибки выборки связано с увеличением объема выборки n. При проектировании выборочного наблюдения заранее задается величина допустимой ошибки 
и доверительная вероятность для определения предельной ошибки .
Если P=0,954, то 
(2σ)
Если P=0,997, то 
(3σ)
, (4.18)
. (6.19)
Для определения дисперсии признака в генеральной совокупности используются приближенные методы.
1. Можно провести несколько пробных обследований и по ним выбирать наибольшее значение дисперсии 
, где достаточно пробных наблюдений.
2. Можно использовать данные прошлых или аналогичных обследований.
3. Можно использовать размах вариации 
, если распределение нормальное, то 
, т.е. 
.
| Объем выборки N | Повторный отбор | Бесповторный отбор |
| При определении среднего размера признака |  , (4.20) |  , (4.22) |
| При определении доли признака |  , (4.21) |  . (4.23) |
Формы организации выборочного наблюдения
Типическая (стратифицированная) выборка: общий список разбивается на отдельные списки (однородной группы). Общий объем выборки n разбивается пропорционально между списками:
Й вариант
, (4.24)
где n – объем выборки
N – объем генеральной совокупности
ni – число наблюдений из i-ой типической группы
Ni – объем i-ой типической группы в генеральной совокупности.
2-й вариант – равномерный (из каждой группы поровну)
, (4.25)
где k – число групп.
3-й вариант – оптимальный (для групп с большей вариацией признака объем наблюдений увеличивается)
. (4.26)
Серийная (гнездовая) выборка – в случайном порядке отбираются серии сплошного контроля. Тогда 
в сериях определяется без случайной ошибки. При равновеликих сериях стандартная ошибка выборки определяется
, (4.27)
где s – число серий;
δ – межгрупповая дисперсия.
При бесповторном отборе
, (4.28)
где S – общее число серий в генеральной совокупности.
Механическая выборка – при ранжировании генеральной совокупности устанавливается шаг отбора в зависимости от предполагаемого % отбора. Если совокупность не ранжирована, то это случайный отбор, т.е. по известным формулам.
, (4.29)
Механический отбор удобен, прост и широко применяется, так при 2%-й выборке отбирается каждая 500-я единица (1:0,02), при 5%-й – каждая 20-я.
Пример
Исходя требований ГОСТа необходимо установить оптимальный размер выборки из партии изделий 2000 штук, чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка не превысила 3% от веса 500 гр. Изделия (батона).
Решение.
гр для средней количественного признака 
шт.