Теперь вернемся к процессам рождения (размножения) и гибели 1 страница

Так называется широкий класс случайных процессов, происходящих в системе, размеченный граф состояний которой изображен на рис.100 .

Рисунок 100 – Граф состояний для процессов гибели и размножения

Здесь величины , ,…, – интенсивности переходов системы из состояния в состояние слева направо, можно интерпретировать как интенсивности рождения (возникновения заявок) в системе. Аналогично, величины , ,…, – интенсивности переходов системы из состояния в состояние справа налево, можно интерпретировать как интенсивности гибели (выполнения заявок) в системе.

Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, существует (в силу теоремы 2) предельное (финальное) распределение вероятностей состояний. Получим формулы для финальных вероятностей состояний системы.

В стационарных условиях для каждого состояния поток, входящий в данное состояние должен равняться потоку, исходящему из данного состояния. Таким образом, имеем:

Для состояния S₀:

(119)

Следовательно:

(120)

Для состояния S₁:

(121)

Следовательно:

(122)

С учетом того, что :

(123)

(124)

Аналогично можно получить уравнения для остальных состояний системы. И наконец в результате получим систему уравнений:

Рисунок 101

Тогда решение этой системы будет иметь вид:

(125)

, ,…, (126)

2.7.1. Имитационное моделирование и метод статистических испытаний

Экономико -математическая (чаще компьютерная) имитационная модель позволяет проводить исследования кото­рой проводится экспериментальными методами. Термин введён в начале 1960-х годов, его границы довольно широки и поэтому не слишком чётко определены.

Появление имитационного моделирования связано с так называемой «новой волной» в экономико-ма­тематическом моделировании. К этому времени проблемы экономической нау­ки и практики в сфере управления и экономического образова­ния, с одной стороны, и рост производительности компьютеров, с другой, вызвали потребности расширить рамки «классических» экономико-математических методов. Наступил даже момент некоторого ра­зочарования в возможностях нормативных, балансовых, опти­мизационных и теоретико-игровых моделей, поначалу заслу­женно привлёкших к себе тем, что они вносят во многие проб­лемы управления экономикой обстановку логической ясности и объективности и непосредственно приводят к «разумному» (сбалансированному, оптимальному, компромиссному и тому подобному) решению.

Выявился широкий класс проблем, в которых эти модели, в силу определенного абстрагирования, не улавливают существенных явлений реальности. Не всегда, например, удаётся полностью осмыслить априорные цели и, тем более, формализовать критерий оптимальности и (или) огра­ничения на допустимые решения. Поэтому многие попытки всё же применить такие методы стали приводить к получению неприемлемых, или даже нереализуемых (хотя и оптималь­ных) решений. Преодоление возникших затруднений пошло даже по пути отказа от полной формализации (как это делается в нор­мативных моделях) процедур принятия социально-экономиче­ских решений. Предпочтение стало отдаваться разумному синтезу интеллектуальных возможностей эксперта (экспертные оценки) и информаци­онной мощи компьютера (см. Диалоговая система). Одно течение в этом направлении — переход к «полунормативным» многокритериальным человеко-машинным моделям; второе — перенос центра тяжести с прескриптивных моделей, ориентиро­ванных на схему «условия — решение», на дескриптивные моде­ли, дающие ответ на вопрос, «что будет, если...?» (см. Система поддержки принятия решений).

Первый признак такого имитационного моделирования — ориентированность на такую схе­му. В ходе экспериментов с имитационными моделями эксперты задают машинному комплексу вопросы, а встроенная в машину модель доставляет ответы; эксперты их анализируют и форми­руют знания, суждения, решения. Вторая особенность имитационного моделирования — более подробное, чем в классических моделях, отображение структуры прототипа в структуру модели, использующее бога­тые и гибкие возможности информационных технологий и современных средств организации и обработки данных. В этом — отличие современных имитационных моделей от дескриптивных эконометрических моделей, хотя, конечно, последние можно рассматривать как частный случай имитационных моделей.

Эконометрическая модель устроена как «чёрный ящик» и не отображает внутренних связей в прототипе. Её параметры оцениваются в результате статистической обработки данных наблюдений за действительностью. Может оказаться, что эти оценки верны только в условиях конкретного действующего экономического механизма, и для анализа явлений, которые могут возникнуть в условиях проектируемого эконо­мического механизма, более или менее существенно отличаю­щегося от действующего, модель становится непригодной. Но именнл изучение свойств экономических механизмов, радикально от­личных от прежних, особенно актуально. Если конструктор модели вынужден по такой причине отказаться от моделирова­ния непосредственно «в лоб», он пытается понять и отобразить внутренние при­чинно-следственные связи и механизмы и для этого предста­вить модель в виде совокупности «атомов» — компонентов, для каждого из которых он способен построить правдоподоб­ную модель и все существенные отношения, между которыми он способен правдоподобно отобразить. Такой способ приво­дит к более правдоподобной модели — особенно, если в качестве компонентов модели выбирать модели компонентов системы-прототипа (предприятия, цеха, банки, регионы, транспортные сети, органы управления, группы населения и тому подобное).

Усложне­ние структуры имитационной модели вызывается также стремлением использо­вать её в качестве средства проверки «доброкачественности» ре­шений, формируемых экспертом или нормативной (то есть более простой) моделью. Для моделирования первичных структурных единиц («атомов») часто приходится привлекать и классические подходы. Так, для отображения технологических процессов уместно использовать эконометрические промышленные и сельскохозяйственные производственные функции, которые явно не за­висят от механизма управления производством. Для постро­ения функций спроса могут быть использованы оптимизацион­ные модели, так как здесь критерий оптимальности и ограниче­ния формулируются вполне обоснованно.

Третья особенность имитационной модели состоит в том, что это, как правило, не «слайд» как, скажем, статическая модель межотраслевого ба­ланса, в которой разновременные события «склеены» в одномо­ментные, а скорее, «слайд шоу», отображающее функционирова­ние прототипа в виде смен состояний модели в последовательные моменты и — в этой связи — появление разных способов моде­лирования времени. Эта особенность родилась из отмеченной выше потребности не только получить подходящие решения (роль нормативной модели на этом завершается и ей это удается), но и вклю­чить в модель компоненты, отображающие отклик системы на принятые решения — в виде показателей её функционирова­ния. Классическую динамическую балансовую модель и её раз­новидности можно вполне рассматривать как частный, «вырожден­ный» случай имитационной модели. Хотя функционирование и моделируется, но моменты производства, распределения и потребления ре­сурсов сводятся всего в один. В результате чего модель слишком уж жёстко описывает важные явления, связанные с разными рит­мами производств поставщиков и потребителей, а также последствия срывов договоров поставки. В «невырожденных» имитационных моделях получает отражение то обстоятельство, что процессу потребления ресурсов всегда предшествуют процессы производства и распределения. Четвёртая особенность имитационной модели — более свободный вы­бор средств для моделирования процессов (в то время как классические модели используют сравнительно узкий круг ма­тематических конструкций: линейные уравнения и неравенства, оптимизация линейных или дробно-линейных функций, регрес­сионный анализ, методы теории массового обслуживания). Мо­дели процессов — это машинные и программно – человеко - машинные алго­ритмы.

В результате они:

• вычисляют значения модельного времени;

· изменя­ют значения переменных, представляющих состояния компонентов модели;

· генерируют по ходу моделирования но­вые компоненты (например, сдаваемые в эксплуатацию строя­щиеся промышленные предприятия или выставляемые платёжные требования);

· уничтожают компоненты (разорив­шиеся предприятия или оплаченные платёжки).

В алгоритмы моделирования процессов включаются иногда и специальные процедуры, генерирующие случайные значения некоторых переменных (представляющих, например, текущие погодные условия или отклонение объёмов поставки от договорных). Пятая особен­ность — весьма широкие возможности диалога экспериментатора с моделью в ходе её выполнения, в то время как с выполняемой на компьютере классической моделью экспериментатор кон­тактирует лишь перед её запуском (задавая значения её изме­няемых параметров) и после её завершения (интерпретируя по­лученные результаты).

Перечисленные особенности не исчерпывают, возможно, всех свойств моделей, которые разные авторы назы­вают имитационными; с другой стороны, некоторые авторы на­зывают имитационными модели, обладающие лишь частью этих свойств; наконец, некоторыми из перечисленных свойств могут в той или иной степени обладать и классические модели, особенно их модификации.

Для представления структур и процессов имитационного моделирования используют­ся как универсальные так и специализированные языки программиро­вания, проблемно-ориентированные пакеты прикладных про­грамм, различные универсальные и специализированные сис­темы управления базами данных. Все эти средства позволяют моделировать самые разнообразные структуры и различные отноше­ния между их компонентами: подчинённость, собственность, договорённость и тому подобное. В силу своей «молодости» такое моделирование процессов может наталкиваться на методологические трудности.

В первую очередь это относится к моделированию человеческого поведения, в ча­стности процессов принятия решений. Это одна из причин, по которой модели процессов реализуются иногда в виде челове­ко-машинных алгоритмов: некоторые элементы человеческого поведения моделируются специально привлечёнными людьми (экспертами). Такое участие людей в эксперименте с имитационными моделями приобретает форму имитационной управленческой игры.

Точность ото­бражения прототипа собственно определяется структурой модели, свойст­вами алгоритмов, моделирующих процессы, и реальностью числовой информации, используемой в модели. Такая сложность имитационных моделей и их прототипов, сложность проведения и интерпретации экспериментов с ними приводит к тому, что в данной сфере за­труднительно, а иногда и принципиально невозможно приме­нить формализованные (например, статистические) методы оценки адекватности модели, используемые в естественных на­уках и технике. Здесь очень часто приходится оперировать субъ­ективными понятиями, принятыми в гуманитарных областях: доверие к модели, правдоподобие модели, убеждённость в её применимости и тому подобное.

Однако именно имитационные модели являются подходящим инструмен­том для системных исследований.

Получение решений в имитационном моделировании производится с помощью так называемого метода статистических испытаний. Это численный ме­тод решения математических задач, основанный на моделирова­нии случайных величин или процессов и в последующем построе­нии статистических оценок для искомых величин. Другое назва­ние метода статистических испытаний - метод Монте-Карло - в большей степени отно­сится к модификациям метода статистических испытаний. Универсальность метода статистических испытанийкак ме­тода вычислительной математики определяется возможностью его использования для решения задач, не связанных со случайнос­тью. Это достигается построением вспомогательных вероятност­ных моделей, куда в качестве параметров входят подлежащие точному определению и формализации постоянные величины.

Создателями метода статистических испытаний (метода Монте-Карло) считают американских математиков Д. фон Неймана и С. Улама. В 1944 году, в связи с работами по созданию атомной бомбы фон Нейман предложил широко использовать аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач с помощью ЭВМ. Одеакр первая работа, где этот вопрос систематически излагался, принадлежит Метрополису и Уламу.

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались не пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень и очень разных по своему содержанию. Сейчас к разделам науки, где все в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.

Аналитические методы как известно дают решение задачи либо в виде формулы, либо в виде разложения в ряды или интегралы по полному набору собственных функций какого-нибудь оператора.

Классические численные методы в своб очередь дают приближенную схему решения задачи, связанную, обычно с разбиением пространства на строго определенные клетки и заменой интегрирования суммированием и дифференцирования – конечными разностями.

Основными недостатками аналитических методов при этом являются:

§ Крайне недостаточная универсальность основных способов решения. Например, способ разложения в ряд по собственным функциям практически не работают для тех дифференциальных уравнений в частных производных, где переменные не разделяются, и так далее.

§ Крайне ограниченный набор возможных геометрических условий, для которых возможно решение задачи. Даже самое простое сочетание простых, но разнотипных поверхностей делает задачу неразрешимой.

§ Невозможность полного расчета физического процесса, вероятностное описание которого известно, но выражение в виде уравнения крайне затруднительно.

Классические численные методы исправляют часть этих недостатков, но при этом добавляют свои собственные. Они не страшатся сложной геометрии задач, однако:

§ Они чрезвычайно громоздки. Объем промежуточной информации часто трудно вместить даже в память современного компьютера.

§ Оценка погрешности решения представляет намного более трудную процедуру, чем сам процесс решения. Часто она просто невозможна.

Метод же статистических испытаний свободен от всех этих недостатков.

Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайной величины с целью вычисления основных характеристик их распределений. Это численный метод решения математических задач при помощи самого моделирования случайных величин.

Задача метода Монте-Карло следующая - после получения ряда реализаций интересующей нас случайной величины нужно получить некоторые сведения о ее распределении, то есть она является типичной задачей математической статистики.

Простейшая схема метода статистических испытанийтакова. Для определения неизвест­ной величины подыскивается случайная величина , математи­ческое ожидание которой равно . Если независимы и одинаково распределены так же, как , то при достаточно боль­шом по закону больших чисел средняя арифметическая этих величин будет приближённо равна :

при и . (127)

Этот факт указывает способ расчета, а путём моделирования случайной величины . С помощью центральной предельной теоремы можно получить оценку погрешности. Эта погрешность стремится к нулю с ростом и, например, с большой вероятно­стью не превосходит , где . Таким образом, например, представляют многомерный интеграл в виде математического ожидания функционала от случайного процесса, который затем моделируется. Известны вероятностные модели для вычисле­ния интегралов, для решения интегральных уравнений систем линейных алгебраических уравнений, краевых задач для эллип­тических уравнений, для оценки собственных значений линей­ных операторов и так далее.

Моделирование случайных величин с заданными распределе­ниями, как правило, осуществляется путём преобразования од­ного или нескольких независимых значений случайной величи­ны а, распределённой равномерно в интервале (0, 1). Последо­вательности таких выборочных значений обычно получают на ком­пьютере с помощью теоретико-числовых алгоритмов; и такие чис­ла называются псевдослучайными.

Если в расчёте по методу статистических испытаниймоделируются случайные величи­ны, определяемые конкретным содержанием изучаемого явле­ния, то такой расчёт часто бывает не вполне эффективным. Эта неэф­фективность обычно проявляется в достаточно большой величине погрешности (дисперсии) оценок искомых величин. Разработа­но много способов уменьшения такой дисперсии указанных оценок в рамках метода статистических испытаний. В частности, рекомендуется выбрать более подходящую вероятностную модель.

Как было отмечено, метод Монте-Карло это сугубо численный метод, использующий моделирование слу­чайных величин и построение статистических оценок для иско­мых величин. Первоначально такие алгоритмы метода Монте-Карло применялись для:
- оценки многократных интегралов;

- решения интегральных уравнений 2-го рода.

Теперь рассмотрим алгоритм для оценки многократных интегралов.

Пусть необходимо оценить интеграл по мере Лебега в евклидовом -мерном пространстве и — плотность ве­роятности такая, что можно записать в виде математического ожидания следующим образом:

, (128)

где . Моделируя искомое на компьютере, можно полу­чить выборочных значений . Тогда согласно закону больших чисел,

. (129)

Одновременно можно оценить и среднеквадратическую по­грешность , то есть величину , а также приближённо построить подходящий доверительный интервал для . Выбором плотности можно распорядиться для получения необходимой оценки с возможно меньшей дисперсией. Соответствующие алгоритмы также называются существенной выборкой (выборкой по важности).

Иногда полезны сочетания метода Монте-Карло с классическими квадра­турами — так называемые случайные квадратурные формулы, основная идея которых состоит в том, что узлы и коэффициенты ка­кой-либо квадратурной суммы (например, интерполяционной) выбираются случайно из распределения, обеспечивающего несмещённость получаемой оценки интеграла. При этом порядок скорости сходимости метода Монте-Карло существенно повышается и в некоторых слу­чаях становится максимально возможным на рассматриваемом классе задач.

Если же подинтегральная функция зависит от параметра, то це­лесообразно использовать метод зависимых испытаний, то есть вычислять интегралы для различных значений параметра по одним и тем же случайным узлам. Важным свойством метода Монте-Карло является сравнительно слабая зависимость среднеквадратич­ной погрешности собственно от размерности задачи, причём порядок сходимости по числу узлов, всегда один и тот же: . Это позволяет вычислять (после предварительных преобразова­ний задачи) интегралы очень высокой и даже бесконечной кратности.

А вот алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений 2-го рода

Пусть необходимо вычислить линейный функцио­нал , где , причём для интегрального опера­тора с ядром выполняется условие, обеспечивающее сходимость ряда фон Неймана: . Цепь Маркова опреде­ляется начальной плотностью а также переходной плотностью ; вероятность обрыва цепи в точке равна

; (130)
где — случайный номер последнего состояния. Далее определя­ется функционал от траектории цепи, математическое ожидание которого равно . Чаще всего при этом используется так называемая оценка по столкновениям.
, (131)
где
, . (132)
Если при и при , то при некотором дополнительном условии
. (133)
Возможность достижения малой дисперсии в знакопостоянном случае показывает следующее утверждение:
если и , (134)

где , то , .

Моделируя подходящую цепь Маркова на компьютере, в результате получают статистическую оценку линейных функционалов от решения интегрального уравнения 2-го рода. Это также даёт возможность и локальной оценки решения на основе представления: , где . В методе Монте-Карло оценка пер­вого собственного значения интегрального оператора осущест­вляется извечтным итерационным методом на основе следующего соотношения

(135)

Все рассмотренные результаты почти автоматически распро­страняются на все системы линейных алгебраических уравнений вида .

Решение же дифференциальных уравнений осуществляется методом Монте-Карло на базе соответствующих интегральных соотноше­ний. Изложенное представляет собой основу для построения весьма эффективных модификаций статистического моделирова­ния.

2.7.2. Применение метода Монте-Карло в социально – экономическом моделировании

Итак, еще раз повторим - сущность метода Монте-Карло состоит в следующем:

требуется найти некоторое значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величинуX, математическое ожидание которой равно а:

М (Х)=A.

Практически же поступают так: производят N испытаний, в результате которых получают N возможных значений X, вычисляют их среднее арифметическое и принимают его в качестве оценки (приближенного значения) или математического ожидания A’ искомого числа A.

Как правило, составляется специальная программа для осуществления одного случайного испытания. Имеется погрешность вычислений, как правило, пропорциональная , где D – некоторая постоянная.

Это значит, что N должно быть достаточно велико, поэтому метод существенно опирается на возможности компьютера. Ясно, что добиться таким путем максимально высокой точности практически невозможно. Это считается главным недостатком метода. Во многих задачах удается значительно увеличить точность, выбрав при этом способ расчета, которому соответствует значительно меньшее D.

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его соответственно часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода демонстрирует, как наиболее целесообразно выбрать искомую случайную величину X, как найти ее возможные значения.