Симплексные таблицы и алгоритм решения задач

Рассмотрим алгоритм решения задач симплексным методом[17].

1. Математическая модель задачи должна бать канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду.

2. Находим исходное опорное решение и проверяем его на оптимальность. Для этого заполняем симплекс-таблицу. Все строки таблицы 1-го шага, за исключением строки D_j (индексная строка), заполняем по данным системы ограничений и целевой функции.

Симплексная таблица имеет следующий вид:

сi	Базисная переменная (БП)	с1	с2	¼	сm	сm+1	¼	сn	f(`X)
x1	x2	¼	xm	xm+1	¼	xn	b1
c1	x1			¼		h1, m+1	¼	h1n	l1
c2	x2			¼		h2, m+1	¼	h2n	l2
¼	¼	¼	¼	¼	¼	¼	¼	¼	¼
cm	xm			¼		hm, m+1	¼	hmn	lm
	Dj			¼		Dm+1	¼	Dn	f(`X1)

Индексная строка (D_j) для переменных находится по формуле

и для свободного члена по формуле

.

При этом возможны следующие случаи решения задачи на максимум:

- если все оценки D_j ³ 0, то найденное решение оптимальное;

- если хотя бы одна оценка D_j £ 0, но при соответствующей переменной нет ни одного положительного коэффициента, решение задачи прекращают, так как f(X) ® ¥, т.е. целевая функция не ограничена в области допустимых решений;

- если хотя бы одна оценка отрицательная, а при соответствующей переменной есть хотя бы один положительный коэффициент, то нужно перейти к другому опорному решению;

- если отрицательных оценок в индексной строке несколько, то в столбец базисной переменной (БП) вводят ту переменную, которой соответствует наибольшая по абсолютной величине отрицательная оценка.

Пусть одна оценка D_k £ 0 или наибольшая по абсолютной величине D_k £ 0, тогда k-й столбец принимают за ключевой (разрешающий). За ключевую (разрешающую) строку принимают ту, которой соответствует минимальное отношение свободных членов (b_i) к положительным коэффициентам k-го столбца. Элемент, находящийся на пересечении ключевых строки и столбца, называют ключевым (разрешающим) элементом.

3. Заполнение симплексной таблицы 2-го шага:

- переписывается ключевая строка, разделив ее элементы на ключевой элемент;

- заполняют базисные столбцы;

- остальные коэффициенты таблицы находят по правилу «прямоугольника». Оценки можно считать по приведенным выше формулам или по правилу «прямоугольника». Получается новое опорное решение, которое проверяется на оптимальность и т.д.

Примечание. Если целевая функция f(X) требует нахождения минимального значения, то критерием оптимальности задачи является неположительность оценок D_j при всех .

Правило «прямоугольника» состоит в следующем. Пусть ключевым элементом 1-го шага является элемент 1-й строки (m+1)-го столбца h_{1, m+1}. Тогда элемент i-й строки (m+2)-го столбца 2-го шага, который обозначим , по правилу «прямоугольника» определяется по формуле

,

где h_{1, m+1}, h_{i, m+1}, h_{i, m+2} – элементы 1-го шага.