Задания к контрольной работе и методические указания по ее выполнению по дисциплине «Теория игр» для студентов направления 080100
Номер варианта определяется по последней цифре в зачетке.
Задание I. Найти нижнюю и верхнюю цену игры, заданной матрицей. Определить, имеет ли игра седловую точку. Найти оптимальные чистые стратегии и цену игры.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Указания к решению задач
Задание I. Найти нижнюю и верхнюю цену игры, заданной матрицей. Определить, имеет ли игра седловую точку. Найти оптимальные чистые стратегии и цену игры.
Минимальные значения в строках матрицы 
равны соответственно: 
, 
, 
. Максимальное значение из этих чисел равно . Следовательно, 
- нижняя цена игры. Максимальные значения в столбцах матрицы равны: 
, 
, , 
. Минимальное из них: , т.е. 
- верхняя цена игры. Таким образом, 
- чистая цена игры. Игра имеет седловую точку 
, следовательно для игрока - оптимальной стратегией будет стратегия 
, а для игрока 
стратегия 
.
Задание II. Найти решение игры, заданной платёжной матрицей:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Указания к решению задач
Задание II. Найти решение игры, заданной платёжной матрицей:
Легко проверить, что седловая точка игры отсутствует, поэтому задача должна решаться в смешанных стратегиях.
Действительно, нижняя цена игры 
, верхняя цена игры 
, 
.
Для определения оптимальных стратегий игрока и игрока составим две взаимно-двойственных задачи линейного программирования:
Задача 1.
, 
Задача 2.
, 
Задача для игрока решается симплексным методом, оптимальное значение 
достигается при базисном решении 
.
Задача для игрока решается двойственным симплекс-методом, оптимальное значение достигается при базисном решении . Её решение 
достигается при оптимальном базисном решении 
.
Цена игры 
.
Оптимальная стратегия 
,
, 
, 
.
Оптимальная стратегия 
определяется аналогично 
.
Задание III. Решить матричную игру итерационным методом:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Указания к решению задач
Задание III. Решить матричную игру итерационным методом:
Пусть игра задана матрицей 
. Минимальные значения в строках матрицы равны соответственно: 
, 
. Максимальное значение из этих чисел равно . Следовательно,
- нижняя цена игры. Максимальные значения в столбцах матрицы равны: 
, 
, . Минимальное из них: , т.е. 
- верхняя цена игры. Седловой точки нет.
Предположим, что игрок начинает стратегией 
- 
; игрок 
выбирает стратегию так, чтобы выигрыш был минимален. Ход игрока - стратегия 
- 
.
Игрок выбирает свою стратегию так, чтобы его выигрыш (при стратегии игрока ) был максимален. Ход игрока - стратегия 
- 
; игрок выбирает стратегию так, чтобы суммарный выигрыш игрока при стратегиях и , 
был минимален. Ход игрока - стратегия 
- 
.
Игрок выбирает свою стратегию так, чтобы его суммарный выигрыш при стратегиях и игрока , 
, был максимален. Ход игрока - стратегия
- 
. Игрок выбирает свою стратегию так, чтобы суммарный выигрыш игрока при стратегиях , и , 
, был минимален. Ход игрока - стратегия - и т.д.
Разобьём последовательные ходы игроков и на пары 
, и запишем результаты в таблице, требующей пояснений:
 |  |  |  | |  |  |  |  |  |  |
| 0,00 | 3,00 | 1,50 | ||||||||
| 0,00 | 1,50 | 0,75 | ||||||||
| 1,00 | 1,00 | 1,00 | ||||||||
| 0,75 | 1,50 | 1,12 | ||||||||
| 0,60 | 1,20 | 0,90 | ||||||||
| 1,00 | 1,00 | 1,00 | ||||||||
| 0,86 | 1,44 | 1,15 | ||||||||
| 0,75 | 1,13 | 0,93 | ||||||||
| 1,00 | 1,00 | 1,00 | ||||||||
| 0,90 | 1,20 | 1,05 | ||||||||
| 0,82 | 1,09 | 0,96 | ||||||||
| 1,00 | 1,00 | 1,00 | ||||||||
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
Описание таблицы
|
шага (пары последовательных ходов игроков и , 2-й столбец − номер стратегии, выбранной игроком ,
3-й столбец − «накопленный» суммарный выигрыш игрока
|
за первые шагов при выборе игроком стратегии ,
4-й столбец − «накопленный» суммарный выигрыш игрока
за первые шагов при выборе игроком
стратегии ,
5-й столбец − «накопленный» суммарный выигрыш игрока
за первые шагов при выборе игроком
стратегии ,
6-й столбец − минимальный средний выигрыш игрока , равный минимальному
накопленному им выигрышу за первые шагов, деленному на число
этих шагов,
|
стратегии, выбранной игроком , 8-й столбец − «накопленный» суммарный выигрыш игрока
за первые шагов при выборе игроком
стратегии ,
9-й столбец − «накопленный» суммарный выигрыш игрока
за первые шагов при выборе игроком
стратегии ,
10-й столбец − максимальный средний выигрыш игрока , равный максимальному
накопленному им выигрышу за первые шагов, деленному на число
этих шагов,
11-й столбец − среднее арифметическое минимального среднего выигрыша и
максимального среднего выигрыша игрока .
Решение игры определяется приближенно по окончании любого из шагов.
Например, за приближенную цену игры можно взять среднее арифметическое , полученное на -м шаге. Смешанные стратегии противников определяются частотами появления чистых стратегий.
После девятого шага имеем 
. При этом игрок - 
раз использовал стратегию и раза стратегию . В свою очередь игрок - раз применял стратегию и и раза стратегию , а стратегией не пользовался вообще. Отсюда получаем, что:
, 
Соответственно, после 10-го шага получаем −
, 
, 
Задание 4. Двусторонняя игра задана платежной матрицей Q.
а) Упростите матрицу Q, исключив доминируемые стратегии игрока А (строки) и доминируемые стратегии игрока В (столбцы), приведя ее к виду Q'.
б) Найдите нижнюю и верхнюю цены игры. Решается ли данная игра в «чистых» стратегиях? Если не решается, то найдите оптимальные смешанные стратегии игроков.
в) Считая, что игроком В является природа, составьте по упрощенной матрице Q' матрицу рисков R' игрока А и найдите его оптимальную стратегию по правилу Сэвиджа (минимального риска) и по критерию Лапласа (равновозможных состояний).
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
Список литературы
Основная литература
- Исследование операций в экономике. под ред. Н.Ш. Кремера. М.: Юрайт, 2012
- Математические методы и модели в коммерческой деятельности. Г.П. Фомин. М: Инфра-М, 2009
- Исследование операций. Задачи, примеры, методология, Е.С. Вентцель, Высшая школа, 2008
- Математические методы в программировании. В.П. Агальцов, И.В. Волдайская М.: ИД Форум-Инфра-М, 2006
- Экономико-математические методы и модели в логистике. Процедуры оптимизации. Г.Л. Бродецкий, Д.А. Гусев. М.: Академия, 2012
Дополнительная литература