Коэффициенты полных материальных затрат и методы их расчета

Задача нахождения валовых выпусков Х_j при заданном конечном потреблении по формуле (9), т.е. при заданных Y_i, является более сложной.

В формуле (9) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (E-A)^-1 обозначает матрицу, обратную к матрице (Е-А).

Матрица В=(E - A)^-1 носит название "матрица полных затрат", а ее элементы - "коэффициенты полных затрат" b_ij.

Матрица (E - A)^-1 представима в виде сходящегося ряда (формула Неймана – без доказательств):

В = (E - A)-1 = Е + А + А2 + А3 + ...

(10)

Выясним экономический смысл коэффициентов b_ij матрицы В=(E - A)^-1.

Систему уравнений в матричной форме (8) можно записать в виде:

(13) Х=ВY

(11)

Элементы матрицы В будем обозначать через b_ij, тогда из матричного уравнения (11) для любой i-ой отрасли можно получить следующее соотношение:

(12)

Если положить Y = I_j = (0, ...1, ...0), то получим Х_i=b_ij, т.е. коэффициент b_ij показывает, каков должен быть валовой выпуск i-ой отрасли, чтобы обеспечить выход 1 ед. конечного продукта в j-ой отрасли.

Из соотношений (12) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты b_ij, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-ой отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-ой отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат a_ij коэффициенты полных материальных затрат b_ij включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства. Более детально этот вопрос рассматривается ниже.

Дадим определение коэффициента полных затрат: коэффициент полных материальных затрат b_ij показывает, какое количество продукции i-ой отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-ой отрасли Y_j.

Коэффициентами полных материальных затрат можно пользоваться, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

,

(13)

где и - изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

Как уже отмечалось, коэффициенты полных затрат включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Рассмотрим в качестве примера формирование затрат электроэнергии на выпуск стального проката, при этом ограничимся технологической цепочкой "руда-чугун-сталь-прокат". Затраты электроэнергии при получении проката из стали будут называться прямыми затратами, те же затраты при получении стали из чугуна будут называться косвенными затратами 1-го порядка, а затраты электроэнергии при получении чугуна из руды будут называться косвенными затратами электроэнергии на выпуск стального проката 2-го порядка и т.д. Схематически это можно отразить так:

Прокат

Сталь

Электроэнергия

Прямые затраты А

Чугун

Электроэнергия

Косвенные затраты 1-го порядка А2

Руда

Электроэнергия

Косвенные затраты 2-го порядка А3

Чтобы подсчитать полные затраты одного вида продукта на 1 ед. другого, например электроэнергии на 1 ед. проката, нужно сложить прямые и косвенные затраты всех порядков.

Косвенные затраты С в ряде (10) представлены в виде матриц А², А³ и т.д.

С = А2 + А3 + ... + Аk.

(14)

Из ряда (10) с учетом (14)

В = Е + А + С,

(15)

или в поэлементной записи:

,

(16)

(18)

т.е.

bij aij и bii 1+aii.

(17)

Как видим из формулы (16), диагональные элементы матрицы В на единицу больше суммы прямых и косвенных затрат, так как коэффициенты матрицы В включают в себя кроме затрат также саму единицу конечной продукции, которая выходит за сферу производства.

Перейдем теперь к вычислительным аспектам нахождения матрицы B.

Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат А известна, то матрицу В можно находить:

1) по формулам обращения матриц, приводимым в курсе алгебры;

2) используя разложение в ряд Неймана (10).

Второй способ является приближенным.

Рассмотрим первый способ нахождения матрицы В.

При этом способе предварительно находят матрицу Е-А. Затем, применяя один из прямых методов обращения невырожденных матриц, вычисляют (Е-А)^-1. Используется, например, формула:

,

(18)

где в числителе стоит матрица, присоединенная к матрице (Е-А), элементы которой представляют собой алгебраические дополнения для элементов транспонированной матрицы (Е-А)', а в знаменателе стоит определитель матрицы (Е-А). Алгебраические дополнения, в свою очередь, для элемента с индексами i и j получаются путем умножения множителя (-1)^i+j на минор, получаемый после вычеркивания из матрицы i-ой строки и j-го столбца.

Пример 1. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А:

Найти коэффициенты полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц.

Порядок вычислений:

а) находим матрицу (Е-А):

б) вычисляем определитель этой матрицы:

в) транспонируем матрицу (Е-А):

г) находим алгебраические дополнения для элементов матрицы (Е-А)':

Таким образом, присоединенная к матрице (Е-А) матрица имеет вид:

д) используя формулу (18), находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

При втором способе вычисления матрицы коэффициентов полных материальных затрат используется чаще формула (10).

В этом способе используется процедура умножения квадратных матриц с их последующим сложением, и коэффициенты полных материальных затрат получаются с известным приближением (с недостатком). При расчетах ограничиваются учетом косвенных материальных затрат до некоторого порядка включительно, например до 2-го, 3-го порядков.

Пример 2. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А:

Найти коэффициенты полных материальных затрат по второму (приближенному) способу, учитывая косвенные материальных затраты до 2-го порядка включительно.

а) найдем матрицу коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:

б) матрица коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка равна:

в) матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна:

Как отмечалось ранее, элементы матрицы В, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше соответствующих элементов этой матрицы, рассчитанной по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.

3.3. Методика расчета планового баланса
по заданным плановым уровням конечной продукции Y_i^пл

В целом плановый баланс при заданных величинах конечной продукции Y_i^пл рассчитывается в следующей последовательности:

1. По имеющемуся отчетному балансу рассчитываются коэффициенты прямых материальных затрат:

2. По матрице коэффициентов прямых материальных затрат А рассчитывается матрица коэффициентов полных затрат В.

Матрица B может быть рассчитана следующими способами:

· по формуле Неймана: В=Е+А+А²+А³+… ;

· через обратную матрицу: В=(Е-А)^-1.

3. Рассчитываются плановые валовые выпуски:

.

4. Определяются плановые межотраслевые потоки:

хijпл=aij´Xjпл.

5. Определяются элементы вектора условно-чистой продукции:

6. Проверяется правильность вычислений:

7. Формируется межотраслевой баланс производства и распределения продукции.

Пример расчета планового баланса для трехотраслевой экономической системы

Задание: Произведена оценка объемов конечного потребления продукции машиностроения, легкой промышленности и других отраслей региона на предстоящей плановый период. Она составила соответственно: 80, 40 и 20 усл. ден. ед. Имеется отчетный баланс за базовый период (табл. 1.).

Определить плановые объемы продукции, межотраслевые потоки, условно-чистую продукцию отраслей, если технологических сдвигов в предстоящий плановый период не ожидается, и, следовательно, технологические коэффициенты останутся без изменения. Результаты необходимо представить в виде планового межотраслевого баланса.

Таблица 1

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечная продукция	Валовая продукция
машиностроение	лёгкая промышленность	прочие отрасли
Машиностроение
Лёгкая промышленность
Прочие отрасли
Условно-чистая продукция					-
Валовая продукция				-

Решение

1. По имеющемуся отчетному балансу рассчитывается матрица технологических коэффициентов, или коэффициентов прямых материальных затрат по формуле: a_ij=x_ij/X_j.

Рассчитаем технологические коэффициенты:

Матрица коэффициентов прямых материальных затрат:

.

2. По матрице коэффициентов прямых материальных затрат А рассчитывается матрица коэффициентов полных затрат В.

Чтобы получить точное значение коэффициентов полных материальных затрат в матрице (разумеется, в пределах ошибки вычислений) нужно использовать формулу .

Для этого вычтем матрицу коэффициентов прямых материальных затрат из единичной матрицы и полученную матрицу обратим:

=

.

3. Определяются значения валовых выпускников в отраслях по формуле: .

;

Получим вектор валового выпуска:

(Х₁, Х₂, Х₃)=(152,9; 164,7; 64,7).

4. По найденным значениям валовых выпусков X_j с использованием известных коэффициентов прямых материальных затрат по формуле: х_ij=a_ijX_j определяются значения промежуточных затрат (межотраслевых потоков):

5. Определяются элементы вектора условно-чистой продукции по формуле: .

6. Проверяется правильность вычислений по формуле: .

Z₁+Z₂+Z₃=61,18+65,88+12,94=140,00;

Y₁+Y₂+Y₃=80+40+20=140.

Баланс сошелся - вычисления сделаны верно.

7. Формируется межотраслевой баланс производства и распределения продукции.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечная продукция	Валовая продукция
машиностроение	лёгкая промышленность	прочие отрасли
Машиностроение	30,59	16,47	25,88		152,94
Лёгкая промышленность	45,88	65,88	12,94		164,70
Прочие отрасли	15,29	16,47	12,94		64,70
Условно-чистая продукция	61,18	65,88	12,94		-
Валовая продукция	152,94	164,70	64,70	-	382,34