Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Роль матрицы портфеля Бостонской консалтинговой группы при принятии управленческих решений.
2. Введите веса факторов (исходя из своей индивидуальной экспертной оценки) и на основе данных табл.4 подраздела 3.1.4 решите задачу Пети Иванова об упорядочении по привлекательности возможных мест работы.
3. Возможные ошибочные управленческие решения на основе распространенных предрассудков.
4. Классификация постановок задач декомпозиции в теории и практике принятия решений.
5. Использование весовых коэффициентов в задачах принятия решений.
6. Проблема агрегирования значений единичных показателей при принятии решений.
7. Теория конечных антагонистических игр и ее применения в экономике.
8. Теория статистических решений применительно к дискуссии на заседании Думы Загорья.
9. Различные методы организации голосования в малых группах (с использованием результатов научных исследований, приведенных в монографии [16]).
10. Применение нечетких множеств в теории принятия решений.
11. Теоремы умножения и сложения для индекса инфляции.
12. Экспериментальная работа: соберите данные о ценах и рассчитайте индекс инфляции для своего региона (данные о потребительской корзине ИВСТЭ и ценах на базовый момент времени приведены в [6]).
13. Учет инфляции при проведении анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия.
14. Проведите системный анализ конкретной хорошо знакомой Вам производственной ситуации и примените изученные Вами методы принятия решений для подготовки организационных или иных мероприятий в своей организации. Оформите работу в виде доклада вышестоящему руководителю или органу (например, Совету директоров, Правлению или Собранию акционеров). Рекомендуемый объем - 10-20 стр.

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

В настоящее время менеджер может использовать при принятии решения различные компьютерные и математические средства. В памяти компьютеров держат массу информации, организованную с помощью баз данных и других программных продуктов, позволяющих оперативно ею пользоваться. Экономико-математические и эконометрические модели позволяют просчитывать последствия тех или иных решений, прогнозировать развитие событий. Методы экспертных оценок, о которых пойдет речь ниже, также весьма математизированы и используют компьютеры.

Наиболее часто используются оптимизационные модели принятия решений. Их общий вид таков:

F (X) → max

X Є A

Здесь Х - параметр, который менеджер может выбирать (управляющий параметр). Он может иметь различную природу - число, вектор, множество и т.п. Цель менеджера - максимизировать целевую функцию F (X), выбрав соответствующий Х.. При этом он должен учитывать ограничения X Є A на возможные значения управляющего параметра Х - он должен лежать в множестве А. Ряд примеров оптимизационных задач менеджмента приведен ниже.

Линейное программирование

Среди оптимизационных задач менеджмента наиболее известны задачи линейного программирования, в которых максимизируемая функция F(X) является линейной, а ограничения А задаются линейными неравенствами. Начнем с примера.

Производственная задача.Цех может производить стулья и столы. На производство стула идет 5 единиц материала, на производство стола - 20 единиц (футов красного дерева). Стул требует 10 человеко-часов, стол - 15. Имеется 400 единиц материала и 450 человеко-часов. Прибыль при производстве стула - 45 долларов США, при производстве стола - 80 долларов США. Сколько надо сделать стульев и столов, чтобы получить максимальную прибыль?

Обозначим: Х₁ - число изготовленных стульев, Х₂ - число сделанных столов. Задача оптимизации имеет вид:

45 Х₁ + 80 Х₂ → max ,

5 Х₁ + 20 Х₂ ≤ 400 ,

10 Х₁ + 15 Х₂ ≤ 450 ,

Х₁ ≥ 0 ,

Х₂ ≥ 0 .

В первой строке выписана целевая функция - прибыль при выпуске Х₁ стульев и Х₂ столов. Ее требуется максимизировать, выбирая оптимальные значения переменных Х₁ и Х₂ . При этом должны быть выполнены ограничения по материалу (вторая строчка) - истрачено не более 400 футов красного дерева. А также и ограничения по труду (третья строчка) - затрачено не более 450 часов. Кроме того, нельзя забывать, что число столов и число стульев неотрицательны. Если Х₁ = 0, то это значит, что стулья не выпускаются. Если же хоть один стул сделан, то Х₁ положительно. Но невозможно представить себе отрицательный выпуск - Х₁ не может быть отрицательным с экономической точки зрения, хотя с математической точки зрения такого ограничения усмотреть нельзя. В четвертой и пятой строчках задачи и констатируется, что переменные неотрицательны.

Условия производственной задачи можно изобразить на координатной плоскости. Будем по горизонтальной оси абсцисс откладывать значения Х₁ , а по вертикальной оси ординат - значения Х₂. Тогда ограничения по материалу и последние две строчки оптимизационной задачи выделяют возможные значения (Х_{1 ,} Х₂) объемов выпуска в виде треугольника (рис.1).

Рис.1. Ограничения по материалу

Таким образом, ограничения по материалу изображаются в виде выпуклого многоугольника, конкретно, треугольника. Этот треугольник получается путем отсечения от первого квадранта примыкающей к началу координат зоны. Отсечение проводится прямой, соответствующей второй строке исходной задачи, с заменой неравенства на равенство. Прямая пересекает ось Х₁, соответствующую стульям, в точке (80,0). Это означает, что если весь материал пустить на изготовление стульев, то будет изготовлено 80 стульев. Та же прямая пересекает ось Х₂, соответствующую столам, в точке (0,20). Это означает, что если весь материал пустить на изготовление столов, то будет изготовлено 20 столов. Для всех точек внутри треугольника выполнено неравенство, а не равенство - материал останется.

Аналогичным образом можно изобразить и ограничения по труду (рис.2).

Таким образом, ограничения по труду, как и ограничения по материалу, изображаются в виде треугольника. Этот треугольник также получается путем отсечения от первого квадранта примыкающей к началу координат зоны. Отсечение проводится прямой, соответствующей третьей строке исходной задачи, с заменой неравенства на равенство. Прямая пересекает ось Х₁, соответствующую стульям, в точке (45,0). Это означает, что если все трудовые ресурсы пустить на изготовление стульев, то будет сделано 45 стульев. Та же прямая пересекает ось Х₂, соответствующую столам, в точке (0,30). Это означает, что если всех рабочих поставить на изготовление столов, то будет сделано 30 столов. Для всех точек внутри треугольника выполнено неравенство, а не равенство - часть рабочих будет простаивать.

Мы видим, что очевидного решения нет - для изготовления 80 стульев есть материал, но не хватает рабочих рук, а для производства 30 столов есть рабочая сила, но нет материала, Значит, надо изготавливать и то, и другое. Но в каком соотношении?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо "совместить" рис.1 и рис.2, получив область возможных решений, а затем проследить, какие значения принимает целевая функция на этом множестве (рис.3).

Рис.3. Основная идея линейного программирования.

Таким образом, множество возможных значений объемов выпуска стульев и столов (Х₁ , Х₂ ), или, в других терминах, множество А, задающее ограничения на параметр управления в общей оптимизационной задаче, представляет собой пересечение двух треугольников, т.е. выпуклый четырехугольник, показанный на рис.3. Три его вершины очевидны - это (0,0), (45,0) и (0,20). Четвертая - это пересечение двух прямых - границ треугольников на рис.1 и рис.2, т.е. решение системы уравнений

5 Х₁ + 20 Х₂ = 400 ,

10 Х₁ + 15 Х₂ = 450 .

Из первого уравнения: 5 Х₁ = 400 - 20 Х₂ , Х₁ = 80 - 4 Х₂ . Подставляем во второе уравнение:

10 (80 - 4 Х₂) + 15 Х₂ = 800 - 40Х₂ + 15 Х₂ = 800 - 25 Х₂ = 450,

следовательно, 25 Х₂ = 350, Х₂ = 14, откуда Х₁ = 80 - 4 х 14 = 80 -56 =24. Итак, четвертая вершина четырехугольника - это (24, 14).

Надо найти максимум линейной функции на выпуклом многоугольнике. (В общем случае линейного программирования - максимум линейной функции на выпуклом многограннике, лежащем в конечномерном линейном пространстве.) Основная идея линейного программирования состоит в том, что максимум достигается в вершинах многоугольника. В общем случае - в одной вершине, и это - единственная точка максимума. В частном - в двух, и тогда отрезок, их соединяющий, тоже состоит из точек максимума.

Целевая функция 45 Х₁ + 80 Х₂ принимает минимальное значение, равное 0, в вершине (0,0). При увеличении аргументов эта функция увеличивается. В вершине (24,14) она принимает значение 2200. При этом прямая 45 Х₁ + 80 Х₂ = 2200 проходит между прямыми ограничений 5 Х₁ + 20 Х₂ = 400 и 10 Х₁ + 15 Х₂ = 450, пересекающимися в той же точке. Отсюда, как и из непосредственной проверки двух оставшихся вершин, вытекает, что максимум целевой функции, равный 2200, достигается в вершине (24,14).

Таким образом, оптимальный выпуск таков: 24 стула и 14 столов. При этом используется весь материал и все трудовые ресурсы, а прибыль равна 2200 долларам США.

Двойственная задача. Каждой задаче линейного программирования соответствует так называемая двойственная задача. В ней по сравнению с исходной задачей строки переходят в столбцы, неравенства меняют знак, вместо максимума ищется минимум (или, наоборот, вместо минимума - максимум). Задача, двойственная к двойственной - эта сама исходная задача. Сравним исходную задачу (слева) и двойственную к ней (справа):

45 Х₁ + 80 Х₂ → max , 400 W₁ + 450 W₂ → min ,

5 Х₁ + 20 Х₂ ≤ 400 , 5 W₁ + 10 W₂ ≥ 45,

10 Х₁ + 15 Х₂ ≤ 450 , 20 W₁ + 15 W₂ ≥ 80,

Х₁ ≥ 0 , W₁ ≥ 0,

Х₂ ≥ 0 . W₂ ≥ 0.

Почему двойственная задача столь важна? Можно доказать, что оптимальные значения целевых функций в исходной и двойственной задачах совпадают (т.е. максимум в исходной задаче совпадает с минимумом в двойственной). При этом оптимальные значения W₁ и W₂ показывают стоимость материала и труда соответственно, если их оценивать по вкладу в целевую функцию. Чтобы не путать с рыночными ценами этих факторов производства, W₁ и W₂ называют "объективно обусловленными оценками" сырья и рабочей силы.

Линейное программирование как научно-практическая дисциплина.Из всех задач оптимизации задачи линейного программирования выделяются тем, что в них ограничения - системы линейных неравенств или равенств. Ограничения задают выпуклые линейные многогранники в конечном линейном пространстве. Целевые функции также линейны.

Впервые такие задачи решались советским математиком Л.В. Канторовичем (1912-1986) в 1930-х годах как задачи производственного менеджмента с целью оптимизации организации производства и производственных процессов, например, процессов загрузки станков и раскройки листов материалов. После второй мировой войны аналогичными задачами занялись в США. В 1975 г. Т. Купманс (1910-1985, родился в Нидерландах, работал в основном в США) и академик АН СССР Л.В. Канторович были награждены Нобелевскими премиями по экономике.

Рассмотрим несколько типовых задач линейного программирования (см. также [1,2]).

Задача о диете (упрощенный вариант).Предположим для определенности, что необходимо составить самый дешевый рацион питания цыплят, содержащий необходимое количество определенных питательных веществ (для простоты, тиамина Т и ниацина Н).

Таблица 1.

Исходные данные в задаче об оптимизации смеси.

	Содержание в 1 унции К	Содержание в 1 унции С	Потребность
Вещество Т	0,10 мг	0,25 мг	1,00 мг
Вещество Н	1,00 мг	0,25 мг	5,00 мг
Калории	110,00	120,00	400,00
Стоимость 1 унции, в центах	3,8	4,2

Пищевая ценность рациона (в калориях) должна быть не менее заданной. Пусть для простоты смесь для цыплят изготавливается из двух продуктов - К и С. Известно содержание тиамина и ниацина в этих продуктах, а. также питательная ценность К и С (в калориях). Сколько К и С надо взять для одной порции куриного корма, чтобы цыплята получили необходимую им дозу веществ Н и Т и калорий (или больше), а стоимость порции была минимальна? Исходные данные для расчетов приведены в табл.1.

Задача линейного программирования имеет вид:

3,8 К + 4,2 С → min ,

0,10 К + 0,25 С ≥ 1,00 ,

1,00 К + 0,25 С ≥ 5,00 ,

110,00 К + 120,00 С ≥ 400,00 ,

К ≥ 0 ,

С ≥ 0 .

Ее графическое решение представлено на рис.4. Ради облегчения восприятия четыре прямые обозначены номерами (1) - (4). Прямая (1) - это прямая 1,00 К + 0,25 С = 5,00 (ограничение по веществу Н). Она проходит, как и показано на рисунке, через точки (5,0) на оси абсцисс и (0,20) на оси ординат. Обратите внимание, что допустимые значения параметров (К, С) лежат выше прямой (1) или на ней, в отличие от ранее рассмотренных случаев в предыдущей производственной задаче линейного программирования.

Рис.4. Графическое решение задачи об оптимизации смеси.

Прямая (2) - это прямая 110,00 К + 120,00 С = 400,00 (ограничение по калориям). Обратим внимание, что в области неотрицательных С она расположена всюду ниже прямой (1). Действительно, это верно при К = 0, прямая (1) проходит через точку (0,20), а прямая (2) - через расположенную ниже точку (0, 400/120). Точка пересечения двух прямых находится при решении системы уравнений

1,00 К + 0,25 С = 5,00 ,

110,00 К + 120,00 С = 400,00 .

Из первого уравнения К = 5 - 0,25 С. Подставим во второе: 110 (5- 0,25 С) + 120 С = 400, откуда 550 - 27,5 С + 120 С = 400. Следовательно, 150 = - 92,5 С, т.е. решение достигается при отрицательном С. Это и означает, что при всех положительных С прямая (2) лежит ниже прямой (1). Значит, если выполнено ограничения по Н, то обязательно выполнено и ограничение по калориям. Мы столкнулись с новым явлением - некоторые ограничения с математической точки зрения могут оказаться лишними. С точки зрения менеджера они необходимы, отражают существенные черты постановки задачи, но в данном случае внутренняя структура задачи оказалась такова, что ограничение по калориям не участвует в формировании допустимой области параметров и нахождении решения.

Прямая (4) - это прямая 0,1 К + 0,25 С = 1 (ограничение по веществу Т). Она проходит, как и показано на рисунке, через точки (10,0) на оси абсцисс и (0,4) на оси ординат. Обратите внимание, что допустимые значения параметров (К, С) лежат выше прямой (4) или на ней, как и для прямой (1).

Следовательно, область допустимых значений параметров (К, С) является неограниченной сверху. Из всей плоскости она выделяется осями координат (лежит в первом квадранте) и прямыми (1) и (4) (лежит выше этих прямых, а также включает граничные отрезки). Область допустимых значений параметров, т.е. точек (К, С), можно назвать "неограниченным многоугольником". Минимум целевой функции 3,8 К + 4,2 С может достигаться только в вершинах этого "многоугольника". Вершин всего три. Это пересечения с осями абсцисс (10,0) и ординат (0,20) прямых (1) и (4) (в каждом случае из двух пересечений берется то, которое удовлетворяет обоим ограничениям). Третья вершина - это точка А пересечения прямых (1) и (4), координаты которой находятся при решении системы уравнений

0,10 К + 0,25 С = 1,00 ,

1,00 К + 0,25 С = 5,00 .

Из второго уравнения К = 5 - 0,25 С, из первого 0,10 (5 - 0,25 С) + 0,25 С = 0,5 - 0,025 С + 0,25 С = 0,5 + 0,225 С = 1, откуда С = 0,5/0,225 = 20/9 и К = 5 - 5/9 = 40/9. Итак, А = (40/9; 20/9).

Прямая (3) на рис.4 - это прямая, соответствующая целевой функции 3,8 К + 4,2 С . Она проходит между прямыми (1) и (4), задающими ограничения, и минимум достигается в точке А, через которую и проходит прямая (3). Следовательно, минимум равен 3,8х40/9 + 4,2х20/9 = 236/9. Задача об оптимизации смеси полностью решена.

Двойственная задача, построенная по описанным выше правилам, имеет приведенный ниже вид (мы повторяем здесь и исходную задачу об оптимизации смеси, чтобы наглядно продемонстрировать технологию построения двойственной задачи):

3,8 К + 4,2 С → min , W₁ + 5 W₂ + 400 W₃ → max ,

0,10 К + 0,25 С ≥ 1,00 , 0,1 W₁ + 1,10 W₂ + 110 W₃ ≤ 3,8 ,

1,00 К + 0,25 С ≥ 5,00 , 0,25W₁ + 0,25 W₂ + 120 W₃ ≤ 4,2 ,

110,00 К + 120,00 С ≥ 400,00 , W₁ ≥ 0 ,

К ≥ 0 , W₂ ≥ 0 ,

С ≥ 0 . W₃ ≥ 0 .

Минимальное значение в прямой задаче, как и должно быть, равно максимальному значению в двойственной задаче, т.е. оба числа равны 236/9. Интерпретация двойственных переменных: W₁ - "стоимость" единицы вещества Т, а W₂ - "стоимость" единицы вещества Н, измеренные "по их вкладу" в целевую функцию. При этом W₃ = 0, поскольку ограничение на число калорий никак не участвует в формировании оптимального решения. Итак, W₁ , W₂ , W₃ - это т.н. объективно обусловленные оценки (по Л.В. Канторовичу) ресурсов (веществ Т и Н, калорий).

Планирование номенклатуры и объемов выпуска.Вернемся к организации производства. Предприятие может выпускать автоматические кухни (вид кастрюль), кофеварки и самовары [2]. В табл.2 приведены данные о производственных мощностях, имеющихся на предприятии (в штуках изделий).

Таблица 2.

Производственные мощности (в шт.)

	Кухни	Кофеварки	Самовары
Штамповка
Отделка
Сборка
Объем выпуска	Х1	Х2	Х3
Удельная прибыль (на одно изделие)

При этом штамповка и отделка проводятся на одном и том же оборудовании. Оно позволяет штамповать за заданное время или 20000 кухонь, либо 30000 кофеварок, либо и то, и другое, не в меньшем количестве. А вот сборка проводится на отдельных участках.

Задача линейного программирования имеет вид:

Х₁ ≥ 0 , Х₂ ≥ 0 , Х₃ ≥ 0 , (0)

Х₁ / 200 + Х₂ / 300 + Х₃ / 120 ≤ 100 , (1)

Х₁ / 300 + Х₂ / 100 + Х₃ / 100 ≤ 100 , (2)

Х₁ / 200 ≤ 100 , (3)

Х₂ / 120 ≤ 100 , (4)

Х₃ / 80 ≤ 100 , (5)

F = 15 Х₁ + 12 Х₂ + 14 Х₃ → max .

Здесь:
(0) - обычное в экономике условие неотрицательности переменных,
(1) - ограничение по возможностям штамповки (выраженное для облегчения восприятия в процентах),
(2) - ограничение по возможностям отделки,
(3) - ограничение по сборке для кухонь,
(4) - то же для кофемолок,
(5) - то же для самоваров (как уже говорилось, все три вида изделий собираются на отдельных линиях).

Наконец, целевая функция F - общая прибыль предприятия.

Заметим, что неравенство (3) вытекает из неравенства (1), а неравенство (4) - из (2). Поэтому неравенства (3) и (4) можно из формулировки задачи линейного программирования исключить.

Отметим сразу любопытный факт. Как будет установлено, в оптимальном плане Х₃ = 0, т.е. самовары выпускать невыгодно.

Методы решения задач линейного программирования.Методы решения задач линейного программирования относятся к вычислительной математике, а не к экономике и менеджменту. Однако инженеру, менеджеру и экономисту полезно знать о свойствах интеллектуального инструмента, которым он пользуется.

С ростом мощности компьютеров необходимость применения изощренных математических методов снижается, поскольку во многих случаях время счета перестает быть лимитирующим фактором, оно весьма мало (доли секунд). Поэтому разберем лишь три метода.

Простой перебор. Возьмем некоторый многомерный параллелепипед, в котором лежит многогранник, задаваемый ограничениями. Как его построить? Например, если имеется ограничение типа 2Х₁ + 5Х₂ ≤ 10, то, очевидно, 0 ≤ Х₁ ≤ 10/2 = 5 и 0 ≤ Х₂ ≤ 10/5 = 2. Аналогичным образом от линейных ограничений общего вида можно перейти к ограничениям на отдельные переменные. Остается взять максимальные границы по каждой переменной. Если многогранник, задаваемый ограничениями, неограничен, как было в задаче о диете, можно похожим, но несколько более сложным образом выделить его "обращенную" к началу координат часть, содержащую решение, и заключить ее в многомерный параллелепипед.

Проведем перебор точек параллелепипеда с шагом 1/10ⁿ последовательно при n=2,3,…, вычисляя значения целевой функции и проверяя выполнение ограничений. Из всех точек, удовлетворяющих ограничениям, возьмем ту, в которой целевая функция максимальна. Решение найдено! (Более строго выражаясь, найдено с точностью до 1/10ⁿ.)

Направленный перебор.Начнем с точки, удовлетворяющей ограничениям (ее можно найти простым перебором). Будем последовательно (или случайно – с помощью т.н. метода случайного поиска) менять ее координаты на определенную величину ∆, каждый раз в точку с более высоким значением целевой функции. Если выйдем на плоскость ограничения, будем двигаться по ней (находя одну из координат по уравнению ограничения). Затем движение по ребру (когда два ограничения-неравенства переходят в равенства)… Остановка - в вершине линейного многогранника. Решение найдено! (Более строго выражаясь, найдено с точностью до ∆. Если необходимо, в окрестности найденного решения проводим направленный перебор с шагом ∆/2 , ∆/4 и т.д.)

Симплекс-метод.Этот один из первых специализированных методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования, в то время как методы простого и направленного перебора могут быть применены для решения практически любой задачи оптимизации. Симплекс-метод был предложен американцем Г. Данцигом в 1951 г. Основная его идея состоит в продвижении по выпуклому многограннику ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех пор, пока не будет достигнут оптимум. Разберем пример на основе данных табл.2.

Рассмотрим задачу линейного программирования, сформулированную выше при рассмотрении оптимизации номенклатуры и объемов выпуска:

F = 15 Х₁ + 12 Х₂ + 14 Х₃ → max .

Х₁ / 200 + Х₂ / 300 + Х₃ / 120 ≤ 100 ,

Х₁ / 300 + Х₂ / 100 + Х₃ / 100 ≤ 100 ,

Х₃ / 80 ≤ 100 .

Неотрицательность переменных не будем специально указывать, поскольку в задачах линейного программирования это предположение всегда принимается.

В соответствии с симплекс-методом введем т.н. "свободные переменные" Х₄, Х₅, Х₆, соответствующие недоиспользованным мощностям, т.е. от системы неравенств перейдем к системе уравнений:

Х₁ / 200 + Х₂ / 300 + Х₃ / 120 + Х₄ = 100 ,

Х₁ / 300 + Х₂ / 100 + Х₃ / 100 + Х₅ = 100 ,

Х₃ / 80 + Х₆ = 100 ,

15 Х₁ + 12 Х₂ + 14 Х₃ = F .

У этой системы имеется очевидное решение, соответствующее одной из вершин многогранника допустимых значений переменных:

Х₁ = Х₂ = Х₃ = 0, Х₄ = Х₅ = Х₆ = 100, F = 0.

В терминах исходной задачи это означает, что ничего не надо выпускать. Такое решение приемлемо только на период летних отпусков.

В соответствии с симплекс-методом выбираем переменную, которая входит в целевую функцию F с самым большим положительным коэффициентом. Это Х₁.

Сравниваем частные от деления свободных членов в первых трех уравнениях на коэффициенты при только что выбранной переменной Х₁:

100 / (1/200) = 20000, 100 / (1/300) =30000, 100/0 = + ∞ .

Выбираем строку из системы уравнений, которой соответствует минимальное из всех положительных отношений. В рассматриваемом примере - это первая строка, которой соответствует отношение 20000.

Умножим первую строку на 200, чтобы получить Х₁ с единичным коэффициентом:

Х₁ + 2/3 Х₂ + 2/1,2 Х₃ + 200 Х₄ = 20000 .

Затем умножим вновь полученную строку на (-1/300) и сложим со второй строкой, чтобы исключить член с Х₁, получим

7/900 Х₂ + 4/900 Х₃ - 2/3 Х₄ + Х₅ = 100/3.

Ту же преобразованную первую строку умножим на (-15) и сложим со строкой, в правой части которой стоит F, получим:

2 Х₂ - 11 Х₃ - 3000 Х₄ = F - 300000.

В результате система уравнений преобразуется к виду, в котором переменная Х₁ входит только в первое уравнение:

Х₁ + 2/3 Х₂ + 2/1,2 Х₃ + 200 Х₄ = 20000 ,

7/900 Х₂ + 4/900 Х₃ - 2/3 Х₄ + Х₅ = 100/3,

Х₃ / 80 + Х₆ = 100 ,

2 Х₂ - 11 Х₃ - 3000 Х₄ = F - 300000.

Очевидно, у новой системы имеется улучшенное по сравнению с исходным решение, соответствующее другой вершине выпуклого многогранника в шестимерном пространстве:

Х₁ = 20000, Х₂ = Х₃ = Х₄ = 0, Х₅ = 100/3, Х₆ = 100, F = 300000.

В терминах исходной задачи это решение означает, что надо выпускать только кухни. Такое решение приемлемо, если допустимо выпускать только один вид продукции.

Повторим описанную выше операцию. В строке с F имеется еще один положительный коэффициент - при Х₂ (если бы положительных коэффициентов было несколько - мы взяли бы максимальный из них). На основе коэффициентов при Х₂ (а не при Х₁, как в первый раз) образуем частные от деления соответствующих свободных членов на эти коэффициенты:

20000 / (2/3) = 30000, (100/3) / (7/900) = 30000/7, 100/0 = + ∞.

Таким образом, нужно выбрать вторую строку, для которой имеем наименьшее положительное отношение 30000/7. Вторую строку умножим на 900/7 (чтобы коэффициент при Х₂ равнялся 1). Затем добавим обновленную строку ко всем строкам, содержащим Х₂, предварительно умножив их на подходящие числа, т.е. такие, чтобы все коэффициенты при Х₂ стали бы после сложения равны 0, за исключением коэффициента второй строки, который уже стал равняться 1. Получим систему уравнений:

Х₁ + 9/7 Х₃ + 1800/7 Х₄ - 600/7 Х₅ = 120000/7 ,

Х₂ + 4/7 Х₃ - 600/7 Х₄ + 900/7 Х₅ = 30000/7,

Х₃ / 80 + Х₆ = 100 ,

- 85/7 Х₃ - 19800/7 Х₄ - 1800/7 Х₅ = F - 308571.

Поскольку все переменные неотрицательны, то из последнего уравнения следует, что прибыль F достигает своего максимального значения, равного 308571, при Х₃ = Х₄ = Х₅ = 0. Из остальных уравнений следует, что при этом Х₁ = 120000/7 = 17143, Х₂ = 30000/7 = 4286, Х₆ = 100. Поскольку в строке с F не осталось ни одного положительного коэффициента при переменных, то алгоритм симплекс-метода закончил свою работу, оптимальное решение найдено.

Практические рекомендации таковы: надо выпустить 17143 кухни, вчетверо меньше, т.е. 4286, кофемолок, самоваров не выпускать вообще. При этом прибыль будет максимальной и равной 308571. Все производственное оборудование будет полностью загружено, за исключением линии по сборке самоваров.

Транспортная задача.Различные технико-экономические и экономические задачи менеджмента, от оптимальной загрузки станка и раскройки стального листа или полотна ткани до анализа межотраслевого баланса и оценки темпов роста экономики страны в целом, приводят к необходимости решения тех или иных задач линейного программирования. В книге [1] приведен обширный перечень публикаций, посвященный многочисленным применениям линейного программирования в металлургии, угольной, химической, нефтяной, бумажной и прочих отраслях промышленности, в проблемах транспорта и связи, планирования производства, конструирования и хранения продукции, сельском хозяйстве, в научных исследованиях, в том числе экономических, и даже при регулировании уличного движения.

В качестве очередного примера рассмотрим т.н. транспортную задачу. Имеются склады, запасы на которых известны. Известны потребители и объемы их потребностей. Необходимо доставить товар со складов потребителям. Можно по-разному организовать "прикрепление" потребителей к складам, т.е. установить, с какого склада какому потребителю и сколько вести. Кроме того, известна стоимость доставки единицы товара с определенного склада определенному потребителю. Требуется минимизировать издержки по перевозке.

Например, может идти речь о перевозке песка - сырья для производства кирпичей. В Москву песок обычно доставляется самым дешевым транспортом - водным. Поэтому в качестве складов можно рассматривать порты, а в качестве запасов - их суточную пропускную способность. Потребителями являются кирпичные заводы, а их потребности определяются суточным производством (в соответствии с имеющимися заказами). Для доставки необходимо загрузить автотранспорт, проехать по определенному маршруту и разгрузить его. Стоимость этих операций рассчитывается по известным правилам, на которых не имеет смысла останавливаться. Поэтому затраты на доставку товара с определенного склада тому или иному потребителю можно считать известными.

Рассмотрим пример транспортной задачи, исходные данные к которой представлены в табл. 3. В ней, кроме объемов потребностей и величин запасов, приведены стоимости доставки единицы товара со склада i, i = 1,2,3, потребителю j, j = 1,2,3,4. Например, самая дешевая доставка - со склада 2 потребителям 1 и 3, а также со склада 3 потребителю 2. Однако на складе 2 имеется 80 единиц товара, а потребителям 1 и 3 требуется 50+70 =120 единиц, поэтому к ним придется вести товар и с других складов. Обратите внимание, что в табл.3 запасы на складах равны суммарным потребностям. Для примера с доставкой песка кирпичным заводам это вполне естественное ограничение - при невыполнении такого ограничения либо порты будут засыпаны горами песка, либо кирпичные заводы не выполнят заказы.

Таблица 3.

Исходные данные к транспортной задаче.

	Потреби-тель 1	Потреби-тель 2	Потреби-тель 3	Потреби-тель 4	Запасы на складах
Склад 1
Склад 2
Склад 3
Потреб-ности

Надо спланировать перевозки, т.е. выбрать объемы Х_ij поставок товара со склада i потребителю j , где i = 1,2,3; j = 1,2,3,4. Таким образом, всего в задаче имеется 12 переменных. Они удовлетворяют двум группам ограничений. Во-первых, заданы запасы на складах:

X₁₁ + Х₁₂ + Х₁₃ + Х₁₄ = 60 ,

X₂₁ + Х₂₂ + Х₂₃ + Х₂₄ = 80 ,

X₃₁ + Х₃₂ + Х₃₃ + Х₃₄ = 60 .

Во-вторых, известны потребности клиентов:

X₁₁ + Х₂₁ + Х₃₁ = 50 ,

X₁₂ + Х₂₂ + Х₃₂ = 40 ,

X₁₃ + Х₂₃ + Х₃₃ = 70 ,

X₁₄ + Х₂₄ + Х₃₄ = 40 .

Итак, всего 7 ограничений типа равенств. Кроме того, все переменные неотрицательны - еще 12 ограничений.

Целевая функция - издержки по перевозке, которые необходимо минимизировать:

F = 2 X₁₁ + 5 Х₁₂ + 4 Х₁₃ + 5 Х₁₄ + X₂₁ + 2 Х₂₂ + Х₂₃ + 4 Х₂₄ +

+ +3 X₃₁ + Х₃₂ + 5 Х₃₃ + 2 Х₃₄ → min .

Кроме обсуждаемой, рассматриваются также различные иные варианты транспортной задачи. Например, если доставка производится вагонами, то объемы поставок должны быть кратны вместимости вагона.

Количество переменных и ограничений в транспортной задаче таково, что для ее решения не обойтись без компьютера и соответствующего программного продукта.

Линейное программирование имеет дело с числовыми переменными. Если вспомнить общую постановку оптимизационной задачи, приведенную в начале главы, то Х – вектор в конечномерном линейном пространстве, А – многогранник в таком пространстве. Рассмотрим несколько задач оптимизации, в которых Х и А имеют иную математическую природу.