Распределение автомобилей по величине суточного пробега

Суточный пробег (х)	90-130	130-160	160-190	190-230	230-270
Число автомобилей (f)
Накопленные частоты (F)

Модальным является интервал [130–160], среднее значение которого 145 км; М_о = 145 км.

Место медианы член. По накопленным частотам определяем медианный интервал [160–190] [М_е = 175 км].

Для определения моды в рядах с равными интервалами распределения модальный интервал определяется по наибольшей частоте, а в рядах с неравными интервалами – по наибольшей плотности распределения.

Для определения моды в рядах с равными интервалами используют формулу:

,

где – нижняя граница модального интервала;

– величина интервала;

– частоты предмодального, модального и послемодального интервала.

Моду можно определить графически по гистограмме. Для этого в самом высоком столбце гистограммы от границ 2-х смежных столбцов проводят линии, затем из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс и будет соответствовать моде.

Для расчета медианы в интервальном ряду воспользуемся следующими формулами:

,

или ,

где – нижняя граница медианного интервала;

i – величина интервала медианного;

– порядковый номер медианы;

– частота, накопленная до медианного интервала;

– частота медианного интервала.

– верхняя граница медианного интервала;

– накопленная частота медианного интервала.

Медиану можно определить графически. Для этого строится кумулята. Для определения М_е высоту наибольшей ординаты делят пополам. Через полученную точку проводятся прямую, параллельную оси абсцисс до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и является М_е.

Пример.

Определить модальную и медианную стоимость основного капитала.

Стоимость основного капитала, млн. руб.	до 200	200–400	400–600	600–800	800–1000	Свыше 1000
Число заводов, ед.
Накопленные частоты

млн. руб.

млн. руб.

или млн. руб.

Наряду с медианой для более полной характеристики совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относят квартили и децили.

Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили на 10 равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей – девять.

Расчет этих показателей вариационном ряду аналогичен расчету медианы. Он начинается с нахождения порядкового номера соответствующего варианта и определения по накопленным частотам того интервала, в котором этот вариант находится. Формулы для квартилей в интервальном вариационном ряду имеют следующий вид:

нижний (или первый квартиль): ;

верхний(или третий квартиль): ,

где – нижние границы соответствующих квартильных интервалов;

– величина соответствующего интервала;

– сумма частот ряда;

– накопленные частоты интервалов, предшествующие соответствующим квартильным;

– частоты соответствующих квартильным интервалов.

Вторым квартилем является медиана.

По соотношению между средней арифметической, модой и медианой можно судить о характере распределения. В симметричных распределениях все три показателя совпадают. Чем больше расхождение между модой и средней арифметической, тем больше асимметричен ряд.

Эмпирически установлено, что для умеренно асимметричных рядов разность между модой и средней арифметической примерно в 3 раза превышает разность между медианой и средней . Это соотношение можно использовать в отдельных случаях для определения третьего показателя по двум известным.

Контрольные вопросы к теме №5

1. Что называется средней величиной в статистике?

2. Способы определения средней арифметической величины.

3. Основные свойства средней арифметической.

4. Что такое мода и способы ее расчета.

5. Что такое медиана и способы ее расчета.