Тема: Средние величины в статистике

Вопросы:

1. Понятие о средних величинах

2. Средняя арифметическая величина

3.Расчет средней арифметической в рядах распределения

4. Основные свойства средней арифметической

5. Расчет показателей способом моментов

6.Средняя гармоническая

7.Правило мажорантности степенных средних в статистике

8. Средняя геометрическая

1. Наряду с абсолютными и относительными величинами в статистике большое применение находят средние величины. В повседневной жизни употребляются термины «в среднем», «средняя». Например, средняя цена, средняя заработная плата, средний размер сбережений и т.д.

В экономическом анализе часто приходится оперировать средними величинами в целях лучшего изучения общей картины, когда нужно из многих признаков получить величину, в которой отражались бы свойства всех признаков, входящих в состав совокупности.

Средняя величина – обобщающая количественная характеристика однородных явлений по какому- либо варьирующему признаку.

Применение средних величин позволяет охарактеризовать определенный признак совокупности одним числом, несмотря на количественные различия единиц по данному признаку внутри совокупности.

В статистике средние величины подразделяются на два больших класса:

o степенные средние (средняя арифметическая, средняя гармоническая и т.д.);

o структурные средние (мода и медиана).

2.Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней.

§ Средняя арифметическая простая равна сумме всех значений данного признака поделенной на число единиц, обладающих этим признаком.

ар=

где х1,х2 …хn –индивидуальные значения варьирующего признака (варианты);

n – число единиц совокупности.

Например, требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд индивидуальных значений признака, шт.: 21 ,20 ,20 ,19 ,21 ,19 ,18 ,22 ,19 ,20 ,21 ,20 ,18 ,19 ,20.

= (21+20+20+19+21+19+18+22+19+20+21+20+18+19+20)/15= 20

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или , как говорят, имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в различных группах совокупности ( в группу объединяют одинаковые варианты).

§ Средняя арифметическая взвешенная – это частное от деления суммы произведений вариантов и соответствующих им частот на сумму всех частот.

ар=

где х – варианты;

f- частота.

Частоты (f) принято называть весами, вследствие чего средняя арифметическая, вычисленная с учетом весов, и получила название взвешенной.

Например, технику вычисления данной средней проиллюстрируем на рассмотренном выше примере. Для этого сгруппируем исходные данные и поместим в таблицу:

Распределение рабочих по выработке деталей

Выработка деталей за смену одним рабочим, шт.(х)	Число рабочих (веса) (f)	Х * f
Итого

= (36+76+ 100+63+22) /15=20

Однако в ряде случаев абсолютные частоты отсутствуют, а известны относительные частоты, или, как принято их называть, частости, которые показывают долю или удельный вес частот во всей совокупности.

Расчет производится тем же способом, однако, так как средняя величина увеличена в 100 раз, полученный результат следует разделить на 100.

В нашем примере сначала определяют удельный вес числа рабочих :

Выработка деталей за смену одним рабочим, шт (х)		19	20	21	22
Удельный вес числа рабочих в общей численности (f), %	13,4	26,6	33,4		6,6

Тогда, = (18*13,4+19*26,6+20*33,4+21*20+22*6,6)/100= 20.

Следовательно, теперь получится та же величина средней, однако вместо частот будут использованы удельные веса (частости).

3. Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов («от – до»), т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимаются середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.

Например,

Распределение рабочих АО по уровню оплаты труда

Исходные данные	Расчетные данные
Группы рабочих по оплате труда, руб.	Число рабочих, чел., (f)	Середина интервала, руб . (х)	Х * f
До 1000 1000 – 1200 1200 – 1400 1400 – 1600 1600 – 1800 1800 и более
Итого		-

Однако первый и последний интервал даны открытыми: в первом отсутствует нижняя граница, а в последнем - верхняя.

Исчисление средних по данным интервальных рядов с закрытыми интервалами производится по формуле средней арифметической простой, т.е. для второго интервала х 2= (1000+1200)/ 2 =1100 руб.

Для АО в группе рабочих до 1000 руб. условно считаем , что этот интервал равен последующему, т.е.200 руб. ( 1200-1000), затем от 1000 руб. вычитаем 200 руб. и находим нижнюю границу первого интервала, которая будет равна 800 руб. (1000- 200). Затеи расчет ведется так же, как и для второй группы, т.е. по формуле средней арифметической простой.

=145800/100= 1458

Средний уровень оплаты труда рабочих АО составляет 1458 руб. в месяц.

4.Основные свойства средней арифметической:

§ Если все варианты уменьшить или увеличить на одно и то же постоянное число, то средняя арифметическая из этих вариант уменьшится или увеличится на то же самое число.

Пример. Пусть з/ пл каждого работника фирмы «Весна» увеличилась за некоторый период на 150 руб. Тогда средняя з/пл всех работников фирмы увеличилась также на 150 руб.

§ Если все варианты одинаково увеличить или уменьшить в одно и тоже число раз, то средняя арифметическая увеличится ( или уменьшится) во столько же раз.

Пример. Так, если бы заработная плата каждого работника фирмы «Весна» увеличилась на 10 %, то и средняя заработная плата всех работников фирмы увеличилась бы на 10%.

§ Если же все веса средней одинаково увеличить (или уменьшить) в несколько раз, средняя арифметическая не изменится.

Увеличение всех весов в несколько раз приводит к тому, что во столько же одновременно увеличится и числитель, и знаменатель дроби (средней арифметической), поэтому значение дроби не изменится.

5.В качестве весов средней вместо абсолютных показателей можно использовать удельные веса в общем итоге (доли или проценты). Тем самым достигается упрощение расчетов средней.

Для упрощения расчетов средней идут по пути уменьшения значений вариантов и частот. Наибольшее упрощение достигается когда в качестве А выбирается значение одного из центральных вариантов обладающего наибольшей частотой в качестве i- величина интервала (для рядов с одинаковыми интервалами). Величина А называется началом отсчета поэтому такой метод вычисления средней называется «способом отсчета от условного нуля» или «способом моментов».

Допустим что все варианты х сначала уменьшены на одно и то же число А, а затем уменьшены в i раз. Получим новый вариационный ряд распределения новых вариантов ( ).

Тогда новые варианты будут выражаться : = , а их новая средняя арифметическая m1- момент первого порядка- формулой m1= и будет равна средней из первоначальных вариантов, уменьшенной сначала на А, а затем в I раз, т.е. m1= .

Для получения действительной средней надо момент первого порядка m1 умножить на I и прибавить А :

ар=m1*i+А =

Данный способ вычисления средней арифметической из вариационного ряда называют «способом моментов». Применяется этот способ в рядах с равными интервалами.

Например: имеются следующие данные: