Сложные системы и декомпозиция

ВВЕДЕНИЕ

Математическое моделирование – это методология научной и практической деятельности людей, основанная на построении, исследовании и использовании математических моделей объектов и процессов. Центральным понятием математического моделирования является математическая модель (ММ) – совокупность математических объектов и отношений, отображающих объекты и отношения некоторой области реального мира (предметной области).

Математическая модель — приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики.

Математи́ческая моде́ль — это математическое представление реальности.

Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.

По учебнику Советова и Яковлева: «модель (лат. modulus — мера) — это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.» «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием.» «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи».

Выделяют три этапа математического моделирования: построение ММ (формализация задачи), исследование ММ (анализ модели) и использование ММ (синтез решения). Этап формализации тесно связан с научно-инженерной дисциплиной, именуемой системным анализом. На этом этапе решаются так называемые "прямые" задачи: по заданным значениям входов системы определяются ее выходы. Для этапа синтеза, наоборот, характерны "обратные" задачи: определение входов системы по желаемым значениям ее выходов.

Использование ММ возможно для различных целей: прогнозирования, исследования, проектирования, управления.

Настоящая лекция посвящена истории развития математических моделей и их роли в системах управления.

Основные понятия и определения

Базовым понятием математического моделирования является понятие системы. Система в широком смысле – эквивалент понятия математической модели и задается парой множеств U, Y (U - множество входов, Y -множество выходов) и отношением[1] на U×Y, формализующим связь (зависимость) между входами и выходами.

Соединение систем также является системой и задается отношением. Например, последовательное соединение систем , есть отношение такое, что , если существуют , , удовлетворяющие условиям , , , где – отношение, определяющее связь между[2] у₁ и u₂. Таким образом, можно определять сколь угодно сложные системы, исходя из простых.

Приведенное определение отражает в абстрактном виде атрибуты (свойства), присущие нашему интуитивному представлению о системе: целостность и структурированность.

Целостность (единство) означает, что система отделена от внешней среды, а среда может оказывать на нее действие (акцию) через входы и воспринимать отклик (реакцию) на эти действия через выходы.

Структурированность означает, что система разделена внутри на несколько подсистем, связанных и взаимодействующих между собой так же, как целая система взаимодействует с внешней средой.

Третье свойство, присущее системе, - целенаправленность - требует задания некоторой цели, достижение которой говорит о правильной работе системы.

Приведем для сравнения другие, менее формальные определения системы.

Система – объективное единство закономерно связанных друг с другом предметов, явлений, а также знаний о природе и обществе (БСЭ. Т. 39. С. 158).

Система – совокупность взаимосвязанных элементов (объектов, отношений), представляющих единое целое. Свойства системы могут отсутствовать у составляющих ее элементов.

а)

б)

в)

Рис. 1. Условное обозначение системы, задачи и операции

Приведенное выше формальное определение весьма обще, под него подпадают практически все виды математических моделей систем: дифференциальные и разностные уравнения, регрессионные модели, системы массового обслуживания, конечные и стохастические автоматы, дедуктивные системы (исчисления) и т.д. Можно трактовать как систему любой преобразователь входных данных в выходные («черный ящик»). Например, системой можно назвать процесс решения любой задачи. При этом входами будут являться исходные данные, выходами - результаты, а целью - правильное решение. Такой подход к системе подчеркивает ее целенаправленность и ведет свое происхождение от исследования операций – научной дисциплины, занимающейся разработкой количественных методов обоснования решений. Основное понятие здесь – операция: действие, которое подвергается исследованию (проектирование, конструирование, управление, экономическая деятельность и т.д.). Операция соответствует некоторой системе. Входами этой системы являются элементы принимаемого решения о проводимой операции, выходами – результаты проведения операции (показатели ее эффективности). Для развития навыков системного подхода полезно искать, примеры систем в окружающем мире. Некоторые примеры представлены в таблице 1.

Таблица 1

Примеры систем

Система	Вход	Выход	Цель
Радиоприемник	Радиоволны	Звуковые волны	Неискаженный звук
Водопроводный кран	Поворот ручки (угол ср)	Струя воды	Заданный расход
Робот	Команды	Движения	Точное исполнение команд
Электромотор	Электрический ток	Вращение ротора	Вращение с заданной частотой
Костер	Дрова	Тепло, свет	Заданное количество тепла и света
Торговля	Продукты, вещи	Деньги	Получение прибыли

Подчеркнем, что функционирование системы – это процесс, который разворачивается во времени, т.е. множества возможных входов и выходов U, Y -это множества функций времени со значениями соответственно во множествах U, Y:

, ,

где Т - множество моментов времени, на котором рассматривается система.

Система называется функциональной (определенной), если каждой входной функции u(t) соответствует единственная выходная функция y(t). В противном случае система называется неопределенной. Неопределенность обычно возникает из-за неполноты информации о внешних условиях работы системы. Важным свойством, присущим реальным системам, является причинность. Она означает, что если входные функции u₁(s) и u₂(s) совпадают при s ≤ t, т.е. u₁(s)=u₂(s), при s ≤ t, то соответствующие выходные функции удовлетворяют условию y₁(t) = y₂(t), т.е. «настоящее не зависит от будущего при заданном прошлом»

Числовые величины, связанные с системой, делятся на переменные и параметры. Параметры - это величины, которые можно считать постоянными на промежутке времени рассмотрения системы. Остальные числовые величины являются переменными. Значения переменных и параметров определяют количественную информацию о системе. Оставшаяся информация, т.е. качественная, определяет структуру системы. Различие между переменными и параметрами, а также между параметрами и структурой может быть условным, однако оно полезно в методическом отношении. Так, типовым приемом построения ММ системы является параметризация – выбор в качестве ММ семейства функций, зависящих от конечного (обычно небольшого) количества чисел – параметров.

Этапы системного анализа

Системный анализ в широком смысле – это методология (совокупность методических приемов) постановки и решения задач построения и исследования систем, тесно связанная с математическим моделированием. В более узком смысле системный анализ – методология формализации сложных (трудно формализуемых, плохо структурированных) задач. Системный анализ возник как обобщение приемов, накопленных в задачах исследования операций и управления в технике, экономике, военном деле. Соответствующие модели и методы заимствовались из математической статистики, математического программирования, теории игр, теории массового обслуживания, теории автоматического управления. Фундаментом перечисленных дисциплин является теория систем.

Остановимся на различии в употреблении терминов «системный анализ» и «системный подход». Системный анализ - это целенаправленная творческая деятельность человека, на основе которой обеспечивается представление исследуемого объекта в виде системы. Системный анализ характеризуется упорядоченным составом методических приемов исследования. Что касается термина «системный подход», то традиция его применения связывает его с исследованиями, проводимыми многоаспектно, комплексно, с разных сторон изучая предмет или явление. Этот подход предполагает, что все частные задачи, решаемые на уровне подсистем, должны быть увязаны между собой и решаться с позиции целого (принцип системности). Системный анализ - более конструктивное направление, содержащее методику разделения процессов на этапы и подэтапы, систем на подсистемы, целей на подцели и т.д.

В системном анализе выработана определенная последовательность действий (этапов) при постановке и решении задач, которую будем называть алгоритмом (методикой) системного анализа. Эта методика помогает более осмысленно и грамотно ставить и решать прикладные задачи. Если на каком-то этапе возникают затруднения, то нужно вернуться на один из предыдущих этапов и изменить (модифицировать) его. Если и это не помогает, то это значит, что задача оказалась слишком сложной и ее нужно разбить на несколько более простых подзадач, т.е. провести декомпозицию. Каждую из полученных подзадач решают по той же методике. Для иллюстрации применения методики системного анализа приведем пример.

Пример. Рассмотрим автомобиль перед гаражом на некотором расстоянии от него. Требуется поставить автомобиль в гараж и сделать это, по возможности, наилучшим образом. При решении попытаемся руководствоваться алгоритмом системного анализа.

Этап 1. Система: автомобиль и гараж (автомобиль, приближающийся к гаражу).

Этап 2. Вход: сила тяги двигателя. Выход: пройденный путь.

Этап 3. Цель: автомобиль должен проехать заданный путь и затормозить.

Этап 4. Построение ММ начинается с обозначения всех величин (переменных и постоянных), существенных для задачи. Введем следующие обозначения:

u(t) - сила тяги в момент времени t (вход);

y(t) - путь, пройденный к моменту t (выход);

у^* - расстояние от автомобиля до гаража (параметр).

Затем выписываются все уравнения и соотношения, существующие между введенными величинами. Если возможных уравнений несколько, выбирают простейшее. В нашей задаче – это уравнение динамики (2-й закон Ньютона):

(1-а)

где m - масса автомобиля, а также начальные условия

(1-б)

Этап 5. Модель (1) достаточно хорошо изучена и в детальном анализе не нуждается. Укажем лишь, что она адекватна, если можно пренебречь размерами автомобиля, ограничением на его мощность, силами трения и сопротивления и другими второстепенными факторами.

Этап 6. Простейший вариант формализации цели

(2)

где - момент остановки — оказывается неудовлетворительным, поскольку в (2) не формализовано само требование остановки и, значит, неясно, как система будет вести себя при . Правильнее задать цель соотношением

при (3)

из которого следует, в частности, что при .

На первый взгляд, задача поставлена и можно переходить к ее решению, т.е. к этапу 8. Но, оказывается, однозначного решения задача не имеет: здравый смысл говорит о том, что существует бесконечно много способов достичь цели (3). Значит, нужно дополнить цель правилом отбора способов, позволяющим отвечать на вопрос: какой способ лучше. Зададимся следующим разумным правилом: тот способ считается лучшим, который быстрее приводит к цели. Формально новую цель можно записать так:

, (4)

Но теперь физические соображения показывают, что решение поставленной задачи тривиально: искомый минимум в (4) равен нулю. Действительно, выбрав достаточно большую силу тяги, можно придать автомобилю как математическому объекту, описываемому ММ (1), сколь угодно большое ускорение и сколь угодно быстро переместить его на любое заданное расстояние. Видимо, требуется ввести какие-то ограничения, исключающие бессмысленные решения. Можно было бы усложнить ММ системы: учесть ограниченную мощность дви­гателя, его инерционность, силы трения и т.д. Однако разумнее попытаться ос­таться в рамках ММ (1), (4), введя дополнительно лишь ограничения на силу тяги:

-a < u(t) < b. (5)

Таким образом, чтобы придать задаче смысл, нам пришлось возвратиться на этап 7.

Этап 8. Для решения задачи можно было бы применить мощный и хорошо разработанный аппарат теории оптимального управления (вариационное исчисление, принцип максимума Понтрягина и др.). Однако сначала надо попытаться решить задачу элементарными средствами. Для этого часто бывает полезно перейти к геометрической интерпретации задачи, чтобы привлечь нашу геометрическую интуицию. Естественная интерпретация не дает ключа к решению, так как не позволяет в удобной форме представить ограничения на допустимые траектории движения автомобиля. Дело меняется коренным образом, если перейти к другой ММ. Введем новую переменную: (скорость). Тогда вместо (1.1) возникает уравнение

, (6)

цель (4) запишется в виде

, (7)

а ограничения (5) превратятся в ограничения на скорость изменения новой переменной:

(8)

Итак, мы изменили выход системы, из-за чего пришлось заново пройти этапы 2-7.

Еще более сложные задачи (например, при введении ограничений на расход топлива в виде

(9)

не имеют простого аналитического решения и практически решаются лишь численно, с привлечением математического аппарата приближенной минимизации функционалов. Однако и для них решение упрощенной задачи не теряет важности, поскольку оно позволяет получить начальное приближение к решению сложной задачи, установить качественные свойства решения сложной задачи, выявить факторы, наиболее сильно влияющие на решение сложной задачи, и, главное, соотнести результаты математического исследования со здравым смыслом.

Резюмируя сказанное, можно дать совет изучающему математическое моделирование: «не решай сложную задачу, не решив сначала более простую».

Сложные системы и декомпозиция

Как известно, системный анализ родился как метод исследования и проектирования сложных систем. Что же такое сложная система? Понятие это неформальное, и обычно, говоря о сложных системах, перечисляют их основные особенности:

· наличие большого числа разнородных элементов (подсистем);

· сложный характер, неоднородность связей между подсистемами;

· сложность функций, выполняемых системой;

· наличие неопределенности в описании системы;

· сложность определения (организации) требуемого управляющего воздействия на систему и т.д.

Однако понятно, что каждая из этих особенностей может оказаться существенной или несущественной, все зависит от конкретной ситуации и целей исследования. Поэтому более универсальный способ выделения класса сложных систем связан со сложностью самого процесса исследования системы.

Если методика системного анализа непосредственно приводит к успеху, то нет оснований называть систему «сложной». Введение этого термина оправдано, если решить задачу в исходном виде не удается. В этом случае она разбивается на несколько вспомогательных подзадач, решаемых по отдельности. Такой прием называется декомпозицией и является основным методом исследования сложных систем.

При декомпозиции исходная система делится на подсистемы, а цель – на подцели. Далее для решения каждой подзадачи пользуются той же методикой, что и для всей системы. Если в ходе решения (а возможно, и до того) какие-то из подзадач окажутся слишком сложными, то снова проводится декомпозиция: возникают подзадачи следующего уровня и т.д. Результатом этого процесса является структуризация: исходная схема приобретает иерархическую (много уровневую) структуру. Соответствующая структура возникает и во множестве подцелей, она называется деревом целей, поскольку представляет собой граф типа дерева (без циклов).

Вообще теория графов является естественным математическим аппаратом описания сложных систем. Действительно, каждой сложной системе ставится в соответствие граф (структурный), вершинами которого являются подсистемы, а дугами – имеющиеся между ними связи. Если связи направленные, т.е. наличие связи S_i → S_j означает, что воздействие S_i, на S_j не вызывает обратного воздействия или им можно пренебречь, то граф системы является ориентированным (направленным). К этому классу относятся, например, структурные схемы (граф-схемы) систем автоматического управления. У других систем влияние связанных подсистем обоюдно, и они описываются неориентированными графами (например, сложные электрические и электронные схемы).

Приведенное понятие декомпозиции вполне соответствует идее структурного программирования. Создание сложных программных систем - одна из важнейших областей применения системного анализа. Отметим лишь, что раздробление системы на подсистемы обычно проводится по принципу «слабых» связей, т.е. так, чтобы связи между подсистемами были слабее, чем связи между элементами каждой подсистемы.

В сложных системах часто приходится проводить несколко вариантов декомпозиции и, соответственно, строить несколько деревьев целей. Это обычно связано с наличием нескольких критериев функционирования системы. Возникающие при этом задачи многокритериального выбора изучаются в теории принятия решений. Успех декомпозиции часто определяется интуицией и опытом исследователя. Человек, по данным психологов, может мысленным взором охватить структуру декомпозированной системы, если на каждом уровне возникает не более чем 7 подзадач.

Пример: Система подготовки специалиста в ВУЗе.

Пусть перед нами поставлена цель – повысить эффективность подготовки специалистов в вузе. Как ее достичь - сразу неясно, нужно проводить декомпозицию. Но как? Напрашивается разбиение по курсам, на шесть подсистем. Входы и выходы подсистем - показатели (например, показатели успеваемости, контрольных проверок и т.д.) в начале и конце соответствующего года обучения; подцели - обеспечение высоких значений показателей эффективности на выходах. Если оказывается, что принимаемые меры по курсам (в деканатах) малоэффективны, то проводится дальнейшая декомпозиция: по группам и по дисциплинам, выделяются группы и предметы, требующие применения воздействий. Следующий шаг декомпозиции - индивидуальный подход к студенту: возможные меры воздействия - проведение дополнительных занятий и т.д.

Можно проводить декомпозицию и по-другому: сначала по факультетам и кафедрам, а затем по специализациям, дисциплинам и преподавателям. Подцели при этом связаны с повышением квалификации преподавателей и соответственно требуются другие меры воздействия, приводящие к улучшению других показателей функционирования системы.

В перечисленных вариантах способ декомпозиции был определен сложившейся структурой системы (процесса обучения). Но так бывает не всегда. Например, если анализировать ту же систему по критериям подготовки студента, то разбиение на подсистемы оказывается неоднозначным, а показатели функционирования подсистем – не вполне определенными.

Основная литература

1. Царегородцев А.В. Математическое моделирование управляющих систем: Учеб. пособие.— М.: Изд-во РУДН, 2003. — 80 с.

Доцент кафедры Автоматизации

технологических процессов металлургии

и машиностроения

А.В. Манкевич

[1] Отношением R×Y (отношением между X и У) называется подмножество множества Х×У, т.е. некоторая совокупность пар R={(x, у)}, где . Например, функциональная связь (зави­симость) у=х²может быть представлена, как отношение между множествами , , включающее пары (х,у), для которых у=х².

[2] В простейшем случае может быть Y₁=U₂, а R - отношение тождества , если у₁=u₂