Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/га

Год	Фактический уровень урожайности	Скользящая средняя
трехлетняя	пятилетняя
	15,4	_	—
	14,0	15,4+14,0 + 17,6	-
3 = 15.7
	17,6	14,0 + 17,6 + 15,4	14,7
3 =15,7
	15,4	17,6 + 15,4 + 10,9	15,1
3 =14,6
	10,9	14,6	15,2
	17,5	14,5	17,1
	15,0	17,0	16,8
	18,5	15,9	17,6
	14,2	15,9	-
	14,9	-	—
Итого:∑у = 153,4

Сглаженный ряд урожайности по трехлетиям короче фак­тического на один член ряда в начале и в конце, по пятилети­ям — на два члена в начале и конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из-за случайных причин и четче, в виде некоторой плавной линии на графике (рис. 7.4), выражает основную тенденцию роста урожайности за изучае­мый период, связанную с действием долговременно сущест­вующих причин и условий развития.

Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а следователь­но, потеря информации.

Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают воз­можность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Для того чтобы дать количественную модель, выражаю­щую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Основным содержанием метода аналитического выравни­вания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

уt = f(t),

где уt — уровни динамического ряда, вычисленные по соответ­ствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) уровней уt про­изводится на основе так называемой адекватной математиче­ской модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и дол­жен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображе­нии ряда динамики (линейной диаграмме).

Например, простейшими моделями (формулами), выра­жающими тенденцию развития, являются:

линейная функция — прямая уt = а₀ + а1t где а₀, а1- параметры уравнения; t — время;

показательная функция уt = а0 а t, ;

степенная функция — кривая второго порядка (парабола)

уt = ао + а1t + а2t.

В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, модели тренда для прогнозиро­вания), при выборе вида адекватной функции можно использо­вать специальные критерии математической статистики.

Расчет параметров функции обычно производится мето­дом наименьших квадратов, в котором в качестве решения при­нимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпиричесими уровнями:

где уt - выравненные (расчетные) уровни; уi- фактические уровни.

Параметры уравнения а1, удовлетворяющие этому усло­вию, могут быть найдены решением системы нормальных урав­нений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выравненные уровни. Таким образом, уt , наилучшим образом аппрокси­мирующими статистические данные.

Выравнивание по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической про­грессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой: уt = ^ао + ^а1t Параметры а₀, а1согласно методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных

методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования условия (7.17):

(7.18)

где у — фактические (эмпирические) уровни ряда; t— время (порядковый номер периода или момента времени).

Расчет параметров значительно упрощается, если за нача­ло отсчета времени (t=0) принять центральный интервал (момент).

При четном числе уровней (например, 6), значения t — условного обозначения времени будут такими (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):

1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.

-5 -3 -1 +1 +3 +5

При нечетном числе уровней (например, 7) значения ус­танавливаются по-другому:

1989 г. 1990 г. 1991 г 1992 г. 1993 г. 1994 г. 1995 г.

-3. -2 -1 0 +1 +2 +3

В обоих случаях ^ t = 0, так что система нормальных уравнений (7.18) принимает вид:

Из первого уравнения а₀ = — —

Из второго уравнения: