Теперь решим задачу методом Монте-Карло.

Напомним, что при использовании данного метода возможны два подхода: либо непосредственно проводят эксперименты, либо имитируют их другими экспериментами, имеющими с исходными одинаковую вероятностную структуру. В условиях данной задачи «натуральный» эксперимент – наблюдение за работой системы в течение времени Т. Многократное повторение этого эксперимента может оказаться трудноосуществимым или просто невозможным. Заменим этот эксперимент другим.

Для определения того, выйдет или не выйдет из строя за время Т отдельный прибор, будем подбрасывать игральную кость. Если выпадет одно очко, то будем считать, что прибор вышел из строя; если два, три, четыре, пять, шесть очков, то будем считать, что прибор работал безотказно. Вероятность того, что выпадет одно очко, так же как и вероятность выхода прибора из строя, равна 1/6, а вероятность того, что выпадет любое другое число очков, как и вероятность безотказной работы прибора, равна 5/6.

Чтобы определить, откажет или нет вся система за время Т, будем подбрасывать три игральные кости. Если хотя бы на одной из трех костей выпадет одно очко, то это будет означать, что система отказала.

Повторим испытание, состоящее в подбрасывании трех игральных костей, много раз подряд и найдем отношение числа M – отказов системы к общему числу N – проведенных испытаний. Вероятность отказа будет равна:[16]

. (360)

Постановка задачи

Для проверки формулы, которая основана на методе Монте-Карло, я решил написать программу в среде программирования Турбо Паскаль. Дело в том, что если бы вероятность безотказной работы приборов была не , а например , имитировать другими экспериментами, имеющими с исходными одинаковую вероятностную структуру, без использования ЭВМ было бы затруднительно.

Данная программа рассчитана на любые подобные задачи. В конце расчетов программа выдает два ответа. Первый – полученный методом Монте-Карло. Второй – полученный аналитическим методом по формуле.

В программе нужно ввести: B – количество приборов; вероятность в виде дроби; N – количество проведенных опытов.

Исходник программы

VAR

B, {количество приборов}

S, D: byte; {вероятность P(A)=S/D}

N, {количество опытов}

i, j, {для циклов}

summa: word; {суммарное число отказов}

P_M, P_A: real; {полученная вероятность}

{функция возвращает количество отказов за одно испытание}

FUNCTION otkaz: word;

VAR

o:word;

R:byte;

BEGIN

o:=0;

for i:=1 to B do

begin

R:=random(D+1)+1; {случайное число >=1 и <=D}

if R<=D-S then inc(o); {выпал "отказ"}

end;

otkaz:=o;

END;

BEGIN

write('Введите количество приборов: ');

readln(B);

writeln('Введите вероятность безотказной работы (в виде дроби):');

write(' числитель – ');

readln(S);

write(' знаменатель – ');

readln(D); {т.е. P=S/D}

write('Введите количество опытов: ');

readln(N);

{расчет методом Монте-Карло}

summa:=0;

for j:=1 to N do summa:=summa+otkaz;

P_M:=summa/N;

{расчет аналитическим методом}

P_A:=S/D;

for i:=1 to B-1 do P_A:=P_A*S/D; {возведение в степень}

P_A:=1-P_A;

writeln;

writeln('* * * Ответ * * *');

writeln('Методом Монте-Карло: ', P_M:1:6);

writeln('Аналитическим методом: ', P_A:1:6);

writeln;

writeln('(С)

END.

Итак, проверив формулу с помощью своей программы со значениями: количество приборов – 3; вероятность безотказной работы ; количество опытов – 50000, я получил два ответа. Решение задачи методом Монте-Карло – 0.429420. Решение задачи аналитическим методом – 0.421296. Отсюда вывод – вероятность, полученная разными методами сходна.[17]

Генерация случайных чисел

В строго детерминированном мире процессорных кодов внесение в программу элемента случайности – не такая простая задача, как может показаться на первый взгляд. В этом я убедился, получив значение числа Пи из своей программы. Наиболее часто встречающиеся приложения, в которых необходимо использование случайных чисел – это численное моделирование методом Монте-Карло и создание компьютерных игр.

Получение случайных чисел – важная стадия компьютерного эксперимента, которой не всегда уделяется должное внимание. Используемые на практике численные алгоритмы приводят к получению псевдослучайных чисел, особенностями которых являются ограниченность и воспроизводимость последовательности.

Итак, дадим определение этих чисел. Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределенную равномерно в интервале (0, 1).

Случайными числами называют возможные значения r_j непрерывной случайной величины R, распределенной равномерно в интервале (0, 1).

В действительности пользуются не равномерно распределенной случайной величиной R, возможные значения которой имеют бесконечное число десятичных знаков, а квазиравномерной случайной величиной R’, возможные значения которой имеют конечное число знаков. В результате замены R на R’ разыгрываемая величина имеет не точно, а приближенно заданное распределение.

Случайная величина R’ обладает свойством: вероятность попадания ее в любой интервал, принадлежащий интервалу (0; 1) равна длине этого интервала.

Получение случайных чисел – важная стадия компьютерного эксперимента, которой не всегда уделяется должное внимание. Используемые на практике численные алгоритмы приводят к получению псевдослучайных чисел, особенностями которых являются ограниченность и воспроизводимость последовательности.

Исчерпание этой последовательности при большом числе циклов Монте-Карло или размере системы снижает ее фактический размер до:

где (361)

N – размер системы (количество частиц);

P– период последовательности псевдослучайных чисел;

k – количество случайных чисел, используемых для определения состояния одной частицы;

n – суммарное количество циклов Монте-Карло, необходимое для стабилизации (термализации) системы и расчета ее характеристик.

Например, при моделировании системы Изинга, состоящей из 2000 частиц требуется, как правило, не менее 500 циклов МК, т.е. необходимо не менее 10⁵ случайных чисел. Если используемый генератор является 16-тиразрядным и не может произвести последовательность, состоящую из более чем 2¹⁶ (65536) псевдослучайных чисел, то фактический размер системы будет порядка 1000 частиц.

С играми ситуация еще более трагическая: например, колода из 52 карт может быть упорядочена 52! способами. Это примерно 8e67 или 2²²⁶. Значит для того, чтобы в процессе игры мог возникнуть любой расклад, создателю полноценной карточной игры типа «21» необходим 256 разрядный генератор случайных чисел. Если колода состоит из 36 карт, то соответствующие числа равны 4e41 и 2¹³⁸, т.е. без суперкомпьютера опять не обойдешься. В карточной игре «преферанс» количество вариантов раздач равно 32!/10! или 2⁹⁶, что тоже не мало. Несмотря на несравнимость этих чисел с реальными возможностями 32-х разрядного процессора, необходимо, конечно, использовать его возможности максимально, ведь только так можно приблизиться к разнообразию реальности.

Тестовая база