II. Пример построения модели межотраслевого баланса.
Практическая работа № 1.
Экономико-математическая модель
межотраслевого баланса (модель «затраты-выпуск»).
Цель:приобрести практические навыки по построению моделей межотраслевого баланса, с применением табличного процессора Microsoft Office Excel.
План:
I. Теоретические основы.
II. Пример построения модели межотраслевого баланса.
III. Самостоятельная работа.
Время: 2 часа.
ХОД РАБОТЫ
I. Теоретические основы.
Эффективное функционирование экономики предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями используют таблицы определенного вида, которые называют таблицами межотраслевого баланса. Впервые таблица межотраслевого баланса была опубликована в 1926 г. в России. Однако вполне развитая математическая модель межотраслевого баланса (МОБ), допускающая широкие возможности анализа и прогноза, появилась позже (1936) в трудах американского экономиста В. Леонтьева.
Рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевого баланса (модель Леонтьева, или модель «затраты-выпуск»).
1. Алгебраическая теория анализа «затраты-выпуск» сводится к системе линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции.
Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбит на /? чистых отраслей. Чистая отрасль (это условное понятие) - некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.п.).
Пусть
а) хij - количество продукции i отрасли, расходуемое в j отрасли;
б) Xi - объем производства i отрасли за данный промежуток времени, так называемый валовой выпуск продукции i;
в) уi - объем потребления продукции i отрасли в непроизводственной сфере, объем конечного потребления;
г) Zj - условно чистая продукция, которая включает оплату труда, чистый доход и амортизацию.
Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевые балансы.
Рассмотрим стоимостный баланс.
В таблице ниже отражена принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном выражении.
Производящие отрасти | Потребляющие отрасли | Конечный продукт | Валовой продукт | |||
… | п | |||||
… n | X11 X21 … Xn1 | X12 X22 … Xn2 | … | X1n X2n … Xnn | y1 y2 … yn | X1 X2 … Xn |
Условно чистая продукция | Z1 | Z2 | … | Zn | ||
Валовой продукт | X1 | X2 | … | Xn |
Рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения:
(1)
Это соотношение охватывает систему из п уравнений, отражающих стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы.
Рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:
(2)
Эта формула описывает систему из п уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.
Балансовый характер таблицы выражается в том, что
Основу экономико-математической модели МОБ составляет матрица коэффициентов прямых затрат А = (аij).
Коэффициент прямых материальных затрат аij показывает, какое количество продукции i отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j отрасли
аij = xij / Xj, i, j = l, 2, ..., n.
Для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева сделаем два важных предположения.
Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производства считаем неизменной. Таким образом, матрица А = (аij) постоянна.
Второе состоит в постулировании свойства линейности существующих технологий, то есть для выпуска j отраслью любого объема продукции Xi, необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве аijХj, то есть материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции:
хij = аijХj.
Подставляя эту формулу в балансовое соотношение (2), получаем
или в матричной форме
X = AX + Y. (3)
С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов.
• Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Yi):
Y = (E - A)· X.
• Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):
X = (E-A)-1·Y. (4)
• Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных - объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.
Где Е обозначает единичную матрицу п-го порядка, а (E-A)-1обозначает матрицу, обратную матрице (E-A). Если определитель матрицы (Е-А) не равен нулю, то есть эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через В = (E-A)-1, тогда систему уравнений в матричной форме (4) можно записать в виде
X = BY.
Элементы матрицы В называются коэффициентами полных материальных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j отрасли.
Плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять, если выполняется условие продуктивности.
Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор X ≥ 0, что
Х > А∙Х.
Это условие означает существование положительного вектора конечной продукции Y > 0 для модели межотраслевого баланса (3).
Для того, чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:
1. Матрица (Е - А) неотрицательно обратима, то есть существует обратная матрица (E-A)-1≥ 0;
2. Матричный ряд
сходится, причем его сумма равна обратной матрице (E-A)-1;
3. Все главные миноры матрицы (Е-А), то есть определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы порядка от 1 до п, положительны.
Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, то есть на величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; данное условие является только достаточным, и матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.
II. Пример построения модели межотраслевого баланса.
Задача 1.Даны коэффициенты прямых затрат аij и конечный продукт Yi, для трехотраслевой экономической системы:
Требуется определить:
1. Коэффициенты полных затрат.
2. Вектор валового выпуска.
3. Межотраслевые поставки продукции.
4. Проверить продуктивность матрицы А.
5. Заполнить схему межотраслевого баланса.
Для решения задачи воспользуемся функциями табличного процессора Microsoft Office Excel.
В табл. 1.4.2 приведены результаты решения задачи по первым трем пунктам.
1) В ячейки B6:D8запишем элементы матрицы Е-А. Массив Е-А задан как диапазон ячеек. Выделим диапазон B10:D12для размещения обратной матрицы В=(E-A)-1и вычислим её. Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна (ответ на п.1 и 4).
2) В ячейки G10:G12запишем элементы вектора конечного продукта Y. Выделим диапазон В15:В17для размещения вектора валового выпуска X, вычисляемого по формуле X = (E-A) -1∙Y.
3) Межотраслевые поставки Хij вычисляем по формуле хij = аijХj.
4) Заполняем схему МОБ.