Эффективная учетная ставка
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: Математическая экономика
вариант: 19
выполнил студент группы: ПИз1401 Стегняков Сергей Владимирович
Проверил: старший преподаватель. Затонская Ирина Викторовна
Защищена_____________________ Оценка______________________
(дата)
Краснодар, 2017
1.Эффективная ставка.
Эффективная учетная ставка.
Эффективная ставка.
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m.
Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:
(1+iэ)=(1+j/m)mn
где iэ — эффективная ставка, а j — номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением
iэ=(1+j/m)m-1
Обратная зависимость имеет вид
j=m[(1+iэ)1/m-1]
Пример 13.
Банк начисляет сложные проценты на вклад, исходя из годовой номинальной ставки 0,12. Вычислить эффективную годовую процентную ставку при ежмесячной и ежеквартальной капитализации процентов.
Решение.
По формуле получаем:
iэ = (1 + j/m)m - 1 = (1 + 0,12/12)12 - 1 = 1,192 - 1 = 0,192.
iэ = (1 +j/m)m - 1 = (1 + 0,12/4)4 - 1 = 1,1255 - 1 = 0,1255.
Пример 14.
Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12 % годовых.
Решение.
Использование формулы дает:
j = m [ ( l + iэ)t/m-1] = 4[(l + 0,12)1/4 -1]= 0,115.
Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов
Как и в случае простых процентов, рассмотрим два вида учета — математический и банковский.
Математический учет. В этом случае решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения:
S=P(1+i)n,
из нее найдем Р:
P=S/(1 + i)n = Svn
Где
Vn=1/(1+i)n=(1+i)-n
— учетный, или дисконтный, множитель.
Если проценты начисляются m раз в году, то
P=S/(l+j/m)mn=SVmn
где
Vmn = 1/(1 +j/m)mn = (1 +j/m)-mn
— дисконтный множитель.
Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Дисконтный множитель показывает, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращенной.
Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле
Р = S(1-dсл)n
где dсл — сложная годовая учетная ставка.
Дисконт определяется как
D=S-P=S-S(1-dсл)n=S[1-(1-dсл)n]
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.
Эффективная учетная ставка
Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе m дисконтирований в году.
В соответствии с определением эффективной учетной ставки, найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей:
(1-f/m)mn=(1-dсл)n
из которого следует, что
dсл=1-(1-f/m)m
Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.
Наращение является обратной задачей для расчета учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить из формул дисконтирования получаем:
S=P/(1-dсл)n
S=P/(l-f/m)N
Пример 15.
Рассчитать, какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 200 000 ден. ед., срок погашения 2 года. Сумма векселя рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10 %.
Решение.
По формуле получаем:
S = 200 000/(1 – 0,1)2 = 246 913,58 ден. ед.
Пример 16.
Решить предыдущую задачу при условии, что наращение по сложной учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в год.
Решение.
Подстановка в формулу значений m = 4 и N = 4 • 2 дает:
S= 200 000/(1 – 0,1/4)8 = 244 902,42 ден. ед.
Непрерывные проценты
Наращение и дисконтирование
Наращенная сумма при дискретных процентах, как было показано, определяется по формуле
S=P 
,
где j — номинальная ставка процентов, т — число периодов начисления процентов в году.
Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m 
имеем
S = 
= P 
.
Используя второй замечательный предел, получаем:
= 
Где e = 
.
Используя этот предел в выражении , получаем, что формула наращенной суммы в случае непрерывного начисления процентов по ставке j имеет вид
S=P 
.
Для того чтобы отличать ставку непрерывных процентов о ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначаю δ:
S=P 
.
Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при
m 
∞
Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле
P=S 
.
Рыночный портфель.
Фундаментальной основой теории рыночного портфеля является системный подход к сочетанию (диверсификации) различных финансовых инструментов, способных при общей рыночной неопределенности и риске приносить доход инвестору.
Само определение рыночного портфеля (от английского portfolio – пакет, собрание каких-либо бумаг, документов) как некоторой совокупности ценных бумаг, акций и других биржевых активов с различной степенью доходности, ликвидности и риска, сформированной для извлечения дохода на определенном временном интервале с предполагаемой (желательной) нормой прибыли, дает лишь общую картину этого экономического понятия. Для полного раскрытия самой сути такого эффективного инвестиционного инструмента, как рыночный портфель, необходимо обратиться непосредственно к самой практике его формирования, структуре и способам управления.