Этапы моделирования на основе тренда. Показатели оценки адекватности уравнения тренда.

Математические функции при моделировании тенденции временного ряда

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

3. линейный тренд: у = а + bt

4. гипербола: y=a+ b/t ,

5. полиномиальная функция: y= a+t+ct (t в квадрате)

6. тренд в форме степенной функции: y=a*t ( t в степени b)

7.тригонометрическая y=sin t, y=cos t и т.д.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t=1,2,..., n, а в качестве зависимой переменной — фактические уровни временного ряда yt .

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики.

Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни уt и уt-1 тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким.

Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда.

Этапы моделирования на основе тренда. Показатели оценки адекватности уравнения тренда.

Этапы построения трендовых моделей:

1. Сбор и обработка исходной информации (минимально 15 наблюдений)

Этот этап может быть дополнен анализом аномальных уравнений ряда

(метод Ирвина). Расчетные значения λt сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина λα, и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение yt уровня ряда считается аномальным.

2. Выбор вида функции , описывающих временной ряд. Выбор производится путем сопоставления коэффициента детерминации R в квадрате, общей и остаточной дисперсией.

3. Расчет параметров функции.

4. Оценка адекватности и достоверности выбранного уравнения тренда (расчет средней ошибки аппроксимации, критерия Фишера ( , - дисперсии первой и второй выборки соответственно) и критерия Стьюдента для каждого постоянного коэффициента).

Выбрав и составив уравнение, проводят оценку его надежности (адекватности) с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическими значениями F_Т, приведенными в специальных таблицах любого справочника по высшей математике. При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле

, (1.58)

где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда; Д_А – дисперсия аналитическая; Д_о – дисперсия остаточная в виде разности фактической Д_Ф и аналитической дисперсий.

В свою очередь, фактическая и аналитическая дисперсии отклонений уровней ряда определяются по формулам

; (1.59)

. (1.60)

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости 0,05 с учетом степеней свободы и . При условии F_р> F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.