В)Решить эту же систему методом Гаусса

Метод Гаусса состоит в приведении расширенной матрицы системы

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru к виду в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru ,

используя арифметические вычисления.

При решении поставленной задачи работа в EXCEL должна выглядеть так:

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

После введения в таблицу EXCEL расширенной матрицы системы в качестве разрешающего элемента выбираем первый коэффициент первого уравнения (Если в системе первый коэффициент равен нулю, то необходимо переставить уравнения местами). Получаем новые значения для первого уравнения копированием формулы в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Для вычисления нового значения в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru в его ячейку вводим формулу в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru , т.е. = старое значение в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru -новое значение в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru с закреплением номера строки * старое значение в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru с закреплением наименования столбца.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Копируем формулу на все второе уравнение и на третье, четвертое уравнения.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Затем алгоритм повторяется. Выбираем второй разрешающий элемент в ячейке В8. Выделим блок ячеек для новой матрицы и в ячейке В13 для нового значения элемента в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru вводим формулу.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Копируем эту формулу в ячейки А13 и С13:Е13. В ячейку В14 вводим формулу =В9-В$13*$B9. Копируем формулу в ячейки третьего и четвертого уравнения.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Заданную формулу из ячейки В14 «протащить мышкой» в диапазон первого уравнения нельзя, так как будет выдано сообщение о циклической ошибке – ссылке формулы на саму себя. Поэтому сначала командами «Копировать» и «Вставить» формулу ячейки В14 копируем в ячейку А12, а затем методом «протаскивания» заполняем всю первую строку.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Появившееся в ячейках второй строки выделение убираем с помощью контекстного меню.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Далее выбираем третий разрешающий элемент и вводим для него формулу в блоке ячеек для новой матрицы, копируем формулу в ячейки третьей строки.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Для вычисления значений элементов четвертой строки в ячейку С20 (элемент в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru ) вводим формулу C15-C$19*$C15 и копируем её во все ячейки строки.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Далее не «протягиванием», а копированием и вставкой вводим формулу для элемента в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru и «протягиваем её на ячейки первого и второго уравнений.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Осталось последнее уравнение. Введем формулу для в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru и заполним ячейки четвертого уравнения

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Для определения значений оставшихся коэффициентов введем в ячейку D24 формулу вычисления элемента в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru и скопируем её на все оставшиеся ячейки.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Полученный в ячейках Е22:Е25 результат является решением системы.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Решение задач линейного программирования.

Задачи линейного программирования решаются в надстройке EXCEL «Поиск решения»

Задание 1.

Решить транспортную задачу.

На складах в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru хранится в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru единиц одного и того же груза соответственно. Требуется доставить его трем потребителям соответственно в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru , заказы которых составляют в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru единиц груза соответственно. Стоимости перевозки в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru единицы груза с i-го склада j-му потребителю указаны в левых верхних углах клеток транспортной таблицы:

  b1=190 b2=120 b3=60
a1=100
a2=200
a3=120

Если модель является открытой, то есть в данной задаче суммарные запасы груза 420, а суммарные потребности 370, необходимо ввести фиктивного потребителя с потребностями 50 единиц груза при нулевых стоимостях перевозок. Добавим столбец для в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

  b1=190 b2=120 b3=60 b4=50
a1=100
a2=200
a3=120

Составим план перевозок, обеспечивающий минимальную стоимость перевозок и определим минимальную стоимость перевозок.

Решение.

Задача решается с помощью надстройки «Поиск решения». Вводим матрицу стоимостей перевозок в диапазон В2:Е4.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Диапазон F2:I4 оставляем для результата вычисления плана перевозок

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

В столбец J и строку 5вводим формулы для вычисления сумм по строкам и столбцам матрицы F2:I4. В ячейку J5 записываем целевую функцию =СУММПРОИЗВ(В2:Е4;F2:I4).

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

В результате таблица вычислений будет иметь вид:

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Открываем диалоговое окно «Поиск решений». Укажем адрес целевой ячейки J5, равное минимальному значению; изменяя ячейки F2:I4; в ограничениях необходимо указать все неравенства для строк и для столбцов.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Результат решения задачи:

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Необходимо перейти к дробному формату:

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Таким образом, стоимость перевозок 1090 руб.

Задание 2.

Определить min функции в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

при следующих ограничениях

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

Решение.

Для переменных в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru оставляются ячейки А2, А3 и А4; в ячейку В2 вводится формула целевой функции Z; в ячейках С2 и С3 – левые части ограничений.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Открываем диалоговое окно «Поиск решений» и в водим данные:

· в качестве целевой ячейки указываем ячейку целевой функции В2;

· для решении задачи указываем ячейки А2:А4 в окне «Изменяемые ячейки».

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

· в окне «Ограничения» вводятся данные из системы ограничений, для этого используем клавишу «Добавить». Автоматически появляется знак $.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

В окне «Добавление ограничений» вводим

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Клавиша «Добавить» вводит заданное выражение и предлагает ввести следующее.

В результате окно заполненное «Поиск решения» имеет вид:

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

После нажатия клавиши «Выполнить»

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Осталось нажать клавишу «ОК», закрывающую окно «Результаты поиска решения».

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Ответ: (2, 0, 0), min z=2.

Аппроксимация функции.

4.1. линейная интерполяция ФУНКЦИИ

Пример 4.1.1.

Найти приближенное значение таблично заданной функции:

X -1,5 -1
Y 4.5

в точке в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru = - 0,25

Уравнение прямой, проходящей через три точки, имеет вид:

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Запишем формулу для искомого значения в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Выделим отрезок в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru , содержащий x. В данном случае x= - 0,25, x Î [-1,0].

Следовательно в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Подставим в формулу, получим: в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru отсюда y = 5,125.

Расчеты в программе EXCEL:

           
X -1,5 -1  
Y 4,5  
Х0 -0,25        
У0 5,125 =(B5-C2)/(D2-C2)*(D3-C3)+C3
в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru          
           
           
           
           
           
           
           

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

4.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ.

Пример 4.2.1.

Дана таблица экспериментальных данных:

X 1,5 2,3 3,1 3,9 4,7 5,5 6,3
Y 6,5 8,1 9,7 11,3 12,9 14,5 16,1

Показать, что зависимость линейная, определить параметры этой зависимости.

Решение:

а) Построим график по заданным точкам.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

б) Докажем аналитически, что данная зависимость является линейной.

Если разделенные разности P1 первого порядка для каждой i-той пары точек имеют близкие между собой значения, то данная зависимость является линейной,

X Y P1
1,5 6,5
2,3 8,1
3,1 9,7
3,9 11,3
4,7 12,9
5,5 14,5
6,3 16,1  

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

Следовательно, данная зависимость имеет вид: в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

в) Для определения параметров а и b данной зависимости методом наименьших квадратов необходимо решить систему уравнений

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

В данном случае получим в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

В расчетной таблице это выглядит так:

X Y Х*Х Х*У
1,5 6,5 2,25 9,75
2,3 8,1 5,29 18,63
3,1 9,7 9,61 30,07
3,9 11,3 15,21 44,07
4,7 12,9 22,09 60,63
5,5 14,5 30,25 79,75
6,3 16,1 39,69 101,43
27,3 79,1 124,39 344,33

Последняя строка таблицы содержит значения сумм по каждому столбцу. Система уравнений решается через определение обратной матрицы.

Матрица коэффициентов   Св. чл.  
124,39 27,3   344,33  
27,3   79,1  
Обратная матрица:   Решение  
0,055804 -0,21763   a=
-0,21763 0,991629   b= 3,5

Для проверки найденного решения в формуле при вычислении F(x) необходимо закреплять адреса ячеек, где находятся значения a и b.

X Y F(X)
1,5 6,5 6,5
2,3 8,1 8,1
3,1 9,7 9,7
3,9 11,3 11,3
4,7 12,9 12,9
5,5 14,5 14,5
6,3 16,1 16,1

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Для определения параметров линейной зависимости в EXCEL используется функция ЛИНЕЙН(известные значения у; известные значения х; 1; 0). Работа в EXCEL оформляется следующим образом.

Вводятся заданные значения х и у.

Для вычисления значений параметров а и b выделяются две ячейки. Вызывается функция ЛИНЕЙН, для первого параметра выделяются значения столбца у, для второго параметра – столбца х, третий и четвертый параметры остаются пустыми. Вводится функция тремя клавишами в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru + в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru + в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

Для проверки надо вычислить значения у для каждого значения х при полученных а и b.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ КВАДРАТИЧНОЙ ЗАВИСИМОСТИ.

Пример 4.1.

Дана таблица экспериментальных данных:

x 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5
y

Определить вид и параметры зависимости y=F(x).

Решение:

а) Построим график зависимости У от Х по заданным точкам.

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

б) Докажем аналитически, что данная зависимость не линейная. Для этого вычислим в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru , если они не имеют близкие между собой значения, проверим значения в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Если значения в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru близки между собой значения, то данная зависимость квадратичная, т.е. в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

Расчетная таблица выглядит следующим образом:

n x y p1 p2
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5  
   

Перейдем к линейной зависимости в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru . Для этого вычтем из уравнения, записанного для i – й пары точки, в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru уравнение, записанное для первой пары точки в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru . Получим в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru , гдеi не равно 1.

Обозначим в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru и в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

В таблицах EXCEL это будет выглядеть так:

n x y p1 p2    
0,5 t Z
1,5
1,5
2,5
2,5
3,5
3,5
4,5
4,5  
    5,5

Для определения параметров зависимости методом наименьших квадратов следует добавить в таблицу два столбца и вычислить суммы

n x y p1 p2        
0,5 t z t^2 t*Z
1,5 2,25
1,5
2,5 6,25
2,5
3,5 12,25
3,5
4,5 20,25
4,5  
    5,5 30,25
    Суммы 31,5 125,25
Матрица коэффициентов   Св.чл.  
125,25 31,5    
31,5    
  Обратная матрица   Решение
0,0667 -0,2333 а=  
-0,2333 0,92778 b= -1  

Из уравнения в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru можно определить в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Проверка

x y F(x)
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5

Ответ: в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ вида эмпирической зависимости.

Пример 4.

Дана таблица экспериментальных данных:

x
y

Установить вид зависимости и параметры этой зависимости.

Решение:

Будем выбирать вид зависимости из числа следующих:

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Для определения вида зависимости вычислим средние величины:

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

а) в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru ; в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru ;

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru ; в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru ;

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru ; в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

b) Найдем значение, соответствующее. Так как значение в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru имеется в таблице, то определяется из таблицы как значение соответствующего у, т.е. в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

Далее найдем значение в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru соответствующее в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru . Этого значения нет в таблице, воспользуемся формулой линейной интерполяции в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru ; так же находим в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru соответствующее в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru - в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

c) Найдем погрешности по следующим формулам:

e1 =çy1* - yаp ê= ç9 - 10 ê = 1;

e2 =çy1* - yгеом ê= ç9 - 8,66 ç= 0,34;

e3 =çy1* - yгарм ê= ç9 - 7,47 ç= 1,5;

e4 =çy2* - yаp ê= ç7,47 - 10 ç= 2,528;

e5 =çy2* - yгеом ê= ç7,47 - 8,66 ç= 0,1,189;

e6 =çy3* - yар ê= ç6,33 - 10 ç= 3,67;

e7 =çy3* - yгаpм ê=ç6,33 - 7,5 ç= 1,167.

d) Найдем номер минимальной погрешности.

Самая малая погрешность e2 = 0,5. В списке зависимостей под номером 2 стоит зависимость у = abx. По данному методу зависимость, описывающая указанные экспериментальные данные (эмпирическая зависимость), будет иметь вид: у = abx.

e) При решении в EXCEL работа оформляется следующим образом:

Определить вид и параметры зависимости
x       e1
y       e2 0,3397
                  e3 1,5
x y   Средние х у   y*   e4 2,5279
  арифм     e5 1,1881
  геом 2,236068 8,660254   7,472136   e6 3,6667
  гармон 1,666667 7,5   6,333333   e7 1,1667
              min 0,3397
 
в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru Для перехода к линейной зависимости в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru
   
   
   
   
   
  При переходе к t и z построим график зависимости z=A*t+В, если график – прямая линия, то вид зависимости y=f(x) определен верно.

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ эмпирическОЙ ЗАВИСИМОСТИ

Используя данные задачи 4, найти методом наименьших квадратов параметры эмпирической зависимости.

Решение:

Итак, в результате решения задачи 4 определили, что зависимость имеет вид в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

Необходимо найти значения параметров а и b в этой формуле. Для этого удобно воспользоваться формулами метода наименьших квадратов для определения параметров A и B линейной зависимости в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

Логарифмируя левую и правую части уравнения в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru , получим в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru , т. о. Z = ln(у), T = х, А = ln(b), В = ln(a). Для обратного перехода к а и b малым необходимо вычислить в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Полученные формулы называют формулами выравнивания. Теперь, используя метод наименьших квадратов можно определить А и В. затем найдем искомые значения а и b из формул выравнивания, в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Пересчитаем табличные данные согласно формул выравнивания:

T=x
Z=ln(y) Ln(5)=1,6 Ln(7)=1,9 Ln(9)=2,1 Ln(12)=2,3 Ln(15)=2,5

Для определения А и В методом наименьших квадратов

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru ; в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru ;

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru ; в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru ; в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru .

Система для определения А и В записывается следующим образом: в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

После решения А = 0,27 и В =1,37, а из формул выравнивания в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Таким образом, по данному методу зависимость, описывающая данные эксперимента, запишется в виде

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

x y T Z T^2 T*Z   Матрица коэффициентов Св. чл.
1,609438   1,609438     35,57281
1,94591 3,89182     10,94553
2,197225 6,591674   Обратная матрица Решение
2,484907 9,939627   0,1 -0,3 А= 0,273622
2,70805 13,54025   -0,3 1,1 В= 1,36824
    10,94553 35,57281          
              а 3,928429    
x y   проверка       в 1,314718    
  5,2              
  6,8              
  8,9              
  11,7              
  15,4              

в)Решить эту же систему методом Гаусса - student2.ru

Наши рекомендации