Определение 4. Переменная величина, которая произвольно задается, называется независимой переменной или аргументом.

Курс, 1 семестр

1. Дать определение эконометрики.

2. Назвать основные ступени выделения эконометрики в особую науку.

3. Когда возникли эконометрическое общество и журнал «Эконометрика?»

4. С какими науками связана эконометрика?

5. Основные этапы эконометрического моделирования.

6. Понятие функциональной зависимости.

7. Понятие статистической зависимости.

8. Понятие корреляционной зависимости.

9. Понятие регрессионной зависимости

10. Что такое поле корреляции?

11. Записать общий вид уравнения линейной регрессии.

12. Записать систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии.

13. Записать формулу для коэффициента корреляции линейной регрессии.

14. Привести не менее трех примеров функций, которые применяются при построении уравнения нелинейно регрессии.

15. Записать формулы коэффициентов эластичности для нелинейных функций (не менее трех).

16. Записать общий вид уравнения множественной регрессии.

17. Основная цель множественной регрессии.

18. Основные два требования, которым должны отвечать факторы, включаемые во множественную регрессию.

19. Понятие мультиколлинеарности факторов.

20. Основные подходы преодоления сильной межфакторной корреляции.

21. Записать уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе.

22. Определение временного ряда.

23. Записать аддитивную модель временного ряда.

24. Записать мультипликативную модель временного ряда.

25. Понятие автокорреляции уровней ряда.

26. Понятие лага.

27. Понятие автокорреляционной функции временного ряда.

28. Понятие коррелограммы.

Ответы к зачету

1. Дать определение эконометрики.

Эконометрика — это раздел экономики, занимающийся разработкой и применением статистических методов для измерений взаимосвязей между экономическими переменными (С. Фишер и др.).

Основная задача эконометрики — наполнить эмпирическим содержанием априорные экономические рассуждения (Л. Клейн).

Цель эконометрики — эмпирический вывод экономических законов (Э. Маленво). Эконометрика является не более чем набором инструментов, хотя и очень полезных… Эконометрика является одновременно нашим телескопом и нашим микроскопом для изучения окружающего экономического мира (Ц. Грилихес).

Р. Фриш указывает на то, что эконометрика есть единство трех составляющих — статистики, экономической теории и математики

2. Назвать основные ступени выделения эконометрики в особую науку.

1-я) ступень развития эконом-ки-17в.(«политическая арифметика»). Здесь был сформул-н закон Кинга, в котором на основе соотношения м/у урожаем зерновых и ценами на зерно была выявлена закономер-ть спроса.

2)Развитие статист-ой теории в трудах Гальтена и Пирсона. Они изучали связь м/у формами бедности и помощи бедным.

3)Анализ макроэк-их проблем на основе временных рядов.

4) Итальян. ученый Бенини применяет метод множественной регрессии для оценки ф-ции спроса.

5) Метод Леоньтьева «Затраты-Выпуск».

6) Эконометр-ие построения исп-тся на базе гормонического анализа, в основе которого лежит теорема Фурье.

7)Когда наука стала наз-ться Эконометрикой и её применение коренным образом изменилось в 70-е гг., когда появились первые компы.

3. Когда возникли эконометрическое общество и журнал «Эконометрика?»

29 декабря 1930 г. по инициативе И. Фишера (1867—1947), Р. Фриша, Я. Тинбергена (1903-1995). И. Шумпетера, О. Андер-сона (1887-1960) и других ученых на заседании Американской ассоциации развития науки (США, Кливленд, штат Огайо) было создано эконометрическое общество, на котором норвежский ученый Р. Фриш дал новой науке название — «эконометрика».[12]

С самого начала эконометрическое общество было интернациональным. Уже в 1950 г. общество насчитывало почти 1000 членов. С 1933 г. под редакцией Р. Фриша стал издаваться журнал «Эконометрика» («Econometrica»), который и сейчас играет важную роль в развитии эконометрической науки. В 30—40-е гг. развитию эконометрики способствовала деятельность Департамента прикладной экономики под руководством Р. Стоуна (Великобритания). В 1941 г. появился первый учебник по эконометрике, который был создан Я. Тинбергеном (1913-1994).

В эти годы вплоть до 70-х гг. XX в. эконометрика понималась как эмпирическая оценка моделей, разработанных экономической теорией. Р. Фриш определял соотношение между теорией и данными наблюдений следующим образом: теория, абстрактно формулирующая количественные соотношения, должна быть проверена множеством наблюдений.

4. С какими науками связана эконометрика?

Зарождение эконометрики является следствием междисциплинарного подхода к изучению экономики. Эта наука возникла в результате взаимодействия и объединения трех компонент: экономической теории, статистических и математических методов. Впоследствии к ним присоединилась вычислительная техника как расчетный инструмент решения эконометрических задач.

Становление и развитие эконометрического метода происходили на основе классических статистических методов – на методах парной и множественной регрессии, парной, частной и множественной корреляции, выделения тренда и других компонент временного ряда.

5. Основные этапы эконометрического моделирования.

Как правило, в эконометрическом моделировании рассматривают шесть

этапов:

1-й этап – постановочный. На этом этапе формируются цель исследования и набор участвующих в модели экономических переменных.

Цели исследования:

- анализ исследуемого экономического объекта (процесса);

- прогноз его экономических показателей;

- имитация развития объекта при различных значениях объясняющих

переменных;

- выработка управленческих решений.

2-й этап – априорный. На этом этапе производится анализ сущности

изучаемого объекта, формирование и формализация априорной информации.

3-й этап – параметризация. На этом этапе осуществляется непосредственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, выявления

входящих в нее связей. В частности проверяется возможность использования наиболее простой линейной модели.

4-й этап – информационный. Осуществляется сбор необходимой

статистической информации по результатам активного или пассивного

экспериментов.

5-й этап – идентификация модели. На этом этапе производится

статистический анализ модели и оценка значимости ее параметров.

6-й этап – верификация модели. На этом этапе производится проверка истинности, адекватности модели. Выясняется, насколько удачно решены

проблемы спецификации, идентификации, какова точность расчетов по

данной модели, то есть, в конечном счете, соответствует ли построенная

модель реальному экономическому объекту или процессу. Проверка

адекватности построенной модели возможна в том случае, когда имеются

статистические данные, соответствующие реальному объекту или процессу в

последующие моменты времени. В противном случае говорят о

непротиворечивости результатов, получаемых с использованием модели,

предполагаемым на основе опыта исследования аналогичных процессов.

6. Понятие функциональной зависимости.

Функциональной зависимостью называется связь между двумя величинами, при которой изменение одной из них вызывает изменение другой.

Определение 2. Величина, участвующая в том или ином процессе и не изменяющаяся во время этого процесса, называется постоянной (constant).

Определение 3. Величина, участвующая в том или ином процессе и изменяющаяся в время этого процесса, называется переменной (variable).

Определение 4. Переменная величина, которая произвольно задается, называется независимой переменной или аргументом.

Определение 5. Переменная величина, которая зависит от аргумента, называется зависимой переменной или функцией.

Определение 6. Величина y называется функцией одного аргумента x, если каждому значению x,соответствует единственное значение y.

Это записывается в виде: y = f (x)или y = F (x).

7. Понятие статистической зависимости.

Статистической называется зависимость, при которой изменение одной величины влечет изменение распределения другой.

Статистическая зависимость

В общем случае, если нет никаких сведений о глобальной связи между случайными величинами, можно посчитать условную функцию распределения величины Y в предположении, что величина X приняла конкретное значение x ∈R. Она выражает условную вероятность P{Y < y|X = x}, обозначается через F(y;x) или Fx(y):

F(y;x) = Fx(y) = P{Y < y|X = x} =

P{Y < y и X = x} P{X = x}

.

Эти обозначения подчеркивают, что здесь x хоть и любое, но фиксированное число, то есть параметр, а y – независимая переменная (аргумент). Итак, статистическая зависимость предполагает, что функция распределения одной случайной величины зависит от конкретного значения другой. Предполагать это можно всегда, но вычислить эти функции и оценить надежность такого вычисления проблематично. Поэтому такой случай является слишком общим.

8. Понятие корреляционной зависимости.

Если изменение одной из переменных сопровождается изменениями условного среднего значения другой переменной величины, то такая зависимость является корреляционной.

Если каждому значению соответствует одно значение условной средней, то условная средняя есть функция от . В этом случае говорят, что случайная величина зависит от корреляционно.

Корреляционной зависимостью от называют функцию .

Корреляционная зависимость предполагает, что математическое ожидание одной случайной величины зависит от конкретного значения другой. Иначе говоря, вычисляется или оценивается по выборке условное математическое ожидание M(Y|X = x), то есть математическое ожидание случайной величины с функцией распределения Fx(y) = P{Y < y|X = x}. Для простоты оно обозначается через Mx(Y ). Не путать! Здесь x – число (x ∈ R), любое, но фиксированное, поэтому пишем x маленькое, а Y – случайная величина (т.е. числовая функция на пространстве элементарных событий), поэтому пишем Y большое. Результат Mx(Y ) (математическое ожидание) – это число, но зависящее от числового параметра x. Но «число, зависящее от числа» – это самая обычная числовая функция от числового аргумента! Итак, корреляционная зависимость предполагает, что имеет место функциональная зависимость математического ожидания Y от значения x случайной величины X. Как правило, при этом можно вычислить и функциональную зависимость математического ожидания X от значения y случайной величины Y . Получаем такие функции

Mx(Y ) = ϕ(x), My(X) = ψ(y).

Их графики называются кривыми регрессии соответственно Y наX и X наY .

9. Понятие регрессионной зависимости

Регрессия или регрессионная зависимость - это функция, описывающая отношения (зависимость) между случайными переменными величинами.
Различают общую регрессионную зависимость и частные регрессионные зависимости (регрессионные зависимости определенных порядков k = 1; 2; 3; 4).
Для двух случайных переменных X и Y общая регрессионная зависимость - это зависимость центрального момента (любого порядка - k ) переменной Y при фиксированном значении x переменной X от x :

μ_kX = M { (Y | M (Y | x) )^k | x} (1).

Переменные X и Y называют регрессионными переменными или регрессорами.
Частные регрессионные зависимости разных порядков ( k = 1; 2; 3; 4) имеют собственные названия. Регрессионную зависимость порядка k = 1 называют просто регрессией, или регрессионной зависимостью. Регрессионную зависимость порядка k = 2 называют скедастической зависимостью. Регрессионную зависимость порядка k = 3 называют клитической зависимостью. Регрессионную зависимость порядка k = 4 называют куртической зависимостью.
В психофизиологии широко использовались регрессионные зависимости порядка k = 1. С недавнего времени, с использованием вероятностной методологии для исследования прогнозирования в живых системах, стала использоваться (Трифонов Е.В., 1969, ..., 2001) скедастическая зависимость.
Регрессионная зависимость порядка k = 1, или просто регрессионная зависимость представляет собой аналитическую математическую (не вероятностную, регулярную) зависимость среднего значения величины Y от некоторой другой величины X при фиксированном её значении, равном x . Рассмотрим это подробнее.

10. Что такое поле корреляции?

11. Записать общий вид уравнения линейной регрессии.

12. Записать систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии.

Естественным обобщением линейной регрессии с двумя переменными является многомерная регрессионная модель (multiple regression model) или модель множественной регрессии:

где у_i – значение признака-результата (зависимой переменной) для i-го наблюдения;

х_ji – значение j-го фактора (независимей или объясняющей переменной) (j = 1;т) для i-го наблюдения;

и_г – случайная составляющая результативного признака для i-го наблюдения;

b_о – свободный член, который формально показывает среднее значение у при х₁ = х₂ = ... = х_т = 0;

b_j – коэффициент «чистой» регрессии при j-m факторе (j=1,m). Он характеризует среднее изменение признака-результата у с изменением соответствующего фактора х_j. на единицу, при условии, что прочие факторы модели не изменяются и фиксированы на средних уровнях.

Обычно для многомерной регрессионной модели делаются следующие предпосылки.

1. – детерминированные (нестохастические) переменные.

2. , (i = 1, n) – математическое ожидание случайной составляющей равно 0 в любом наблюдении.

3. , (i = 1, n) – теоретическая дисперсия случайной составляющей; постоянна для всех наблюдений.

4. – отсутствие систематической связи между значениями случайной составляющей в любых двух наблюдениях.

5. Часто добавляется условие: , т. е. – нормально распределенная случайная величина.

Модель линейной множественной регрессии, для которой выполняются данные предпосылки, называется нормальной линейной регрессионной (Classical Normal Regression model).

В матричной форме нормальная (классическая) регрессионная, модель имеет вид:

,

где Y – случайный вектор-столбец размерности (n´1) наблюдаемых значений результативного признака;

X – матрица размерности (n´(m+1)) наблюдаемых значений факторных признаков. Добавление 1 к общему числу факторов т учитывает свободный член b₀ в уравнении регрессии. Значения фактора х₀ для свободного члена принято считать равным единице;

b – вектор-столбец размерности ((т+1)´1) неизвестных, подлежащих оценке параметров модели (коэффициентов регрессии);

и – случайный вектор-столбец размерности (n´1) ошибок наблюдений.

13. Записать формулу для коэффициента корреляции линейной регрессии.

Коэффициент корреляции — это показатель взаимного вероятностного влияния двух случайных величин. Коэффициент корреляции R может принимать значения от -1 до +1. Если абсолютное значение находится ближе к 1, то это свидетельство сильной связи между величинами, а если ближе к 0 — то, это говорит о слабой связи или ее отсутствии. Если абсолютное значение R равно единице, то можно говорить о функциональной связи между величинами, то есть одну величину можно выразить через другую посредством математической функции.

Вычислить коэффициент корреляции можно по следующим формулам:

Rx,y

=

cov( X,Y )   σxσy

( 1.1 ), где:

cov( X,Y ) - ковариация случайных величин Х и Y

σx2

=

n

n Σ k = 1

(xk-Mx)2 ,

σy2

=

n

n Σ k = 1

(yk-My)2 ( 1.2 ), - оценки дисперсий случайных величин X и Y соответственно.

Mx

=

n

n Σ k = 1

xk ,

My

=

n

n Σ k = 1

yk ( 1.3 ), - оценки математического ожидания случайных величин X и Y соответственно.

или по формуле

Rx,y

=

Mxy - MxMy   SxSy

( 1.4 ), где:

Mx

=

n

n Σ k = 1

xk ,

My

=

n

n Σ k = 1

yk ,

Mxy

=

n

n Σ k = 1

xkyk ( 1.5 )

Sx2

=

n

n Σ k = 1

xk2 - Mx2 ,

Sy2

=

n

n Σ k = 1

yk2 - My2

14. Привести не менее трех примеров функций, которые применяются при построении уравнения нелинейной регрессии.

Многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути и их моделирование линейными регрессиями не дает положительного результата. Так для описания зависимости спроса на некоторый товар от его цены наиболее целесообразно использовать логарифмическую модель. При анализе зависимостей издержек от объема выпуска наиболее обоснованной является полиномиальная модель. Широко используемая функция Кобба-Дугласа, является степенной функцией

У – объем выпуска.

К-затраты капитала.

L- затраты труда.

А, α, β – параметры.

В современной экономике применяются также достаточно часто обратные и экспоненциальные модели. Различают регрессии нелинейные по переменным и нелинейные по параметрам.

1.

К регрессиям, нелинейным по переменным относят полиномы различных степеней.:

(1)

, (2)

равносторонняя гипербола , (3)

функции вида (4)

Нелинейность по переменным устраняется путем замены переменной. Так в регрессии (1) сделаем замену х=х₁, х²=х₂и получим двухфакторную линейную регрессию.

15. Записать формулы коэффициентов эластичности для нелинейных функций (не менее трех).

Для линейной зависимости средний коэффициент эластичности определяется следующим образом:

.

Для параболы средний коэффициент эластичности определяется по формуле:

.

Для гиперболы средний коэффициент эластичности равен:

.

16. Записать общий вид уравнения множественной регрессии.

Уравнение множественной регрессии выражается функцией у = f(х₁ , х₂ ...х_с)+E. В данной ситуации у выступает зависимой переменной, а х – объясняющей. Переменная Е - стохастическая, она включает влияние других факторов в уравнении.

17. Основная цель множественной регрессии.

Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Линейная модель множественной регрессии имеет общий вид:

y1= в0+ в1 хi1+ в2 хi2+…+ вm хim+ е

18. Основные два требования, которым должны отвечать факторы, включаемые во множественную регрессию.

Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано, прежде всего, с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

· Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов; в модели стоимости объектов недвижимости районам присваиваются ранги);

· Факторы не должны быть взаимно коррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи. Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель, и параметры уравнения регрессии оказываются не- интерпретируемыми.

19. Понятие мультиколлинеарности факторов.

Мультиколлинеарность – это коррелированность двух или нескольких переменных в уравнении регрессии. При наличии мультиколлинеарности МНК-оценки формально существуют, но обладают рядом недостатков:

1) небольшое изменение исходных данных приводит к существенному изменению оценок регрессии;

2) оценки имеют большие стандартные ошибки, малую значимость, в то время как модель в целом является значимой (индекс детерминации имеет высокое значение).

Главной причиной возникновения мультиколлинеарности является наличие в изучаемом объекте процессов, которые одновременно влияют на некоторые входные переменные, но не учтены в модели. Это может быть результатом некачественного исследования предметной области или сложности взаимосвязей параметров изучаемого объекта.

Различают два вида мультиколлинеарности: полную и частичную.

Например, если в модели объясняющие переменные связаны линейным соотношением , то исходное уравнение сводится к уравнению простой линейной зависимости .

Последнее уравнение не позволяет разделить вклады и в объяснение поведения переменной .

Полная (совершенная) мультиколлинеарность имеет место, когда между переменными имеется линейная функциональная связь.

Частичная (несовершенная) коллинеарность возникает в случае достаточно тесных линейных статистических связей между объясняющими переменными.

20. Основные подходы преодоления сильной межфакторной корреляции.

Подходы преодоления сильной межфакторной корреляции:

1) Самый простой путь устранения мультиколлинеарности состоит в исключении из модели одного или нескольких факторов.

2) Использование априорной информации: пусть имеется модель зависимости потребления Y от дохода X1. Решено ввести еще один фактор - благосостояние X2. Очевидно, что между Х1 и Х2 существует прямая связь. Предположим априори, что b2=b1*0,1, т.е. изменение потребления относительно благосостояния есть 0,1 изменения потребления относительно дохода. Тогда получаем: Y’=a+b1*X3, где X3’=X1+0,1*X2. Априорная информация может быть получена по результатам предшествующих эмпирических исследований или концепций экономической теории.

3) Увеличение числа наблюдений.

4) Преобразование исходной информации: взять отклонения переменных от их средних значений: Yi-Ycp; X1i-X1cp; ..... (используется в задачах динамики).

5) Переход к совмещенным уравнениям регрессии, т.е. к уравнениям, которые отражают не только влияние факторов, но и их взаимодействие. Так, если y=f(x1,x2,x3,ε), то возможно построение следующего совмещенного уравнения:

Y’=a+b1*X1+b2*X2+b3*X3+b₁₂*X1*X2+b₁₃*X1*X3+b₂₃*X2*X3.

21. Записать уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе.

уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

,

где , - стандартизованные переменные;

- стандартизованные коэффициенты регрессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК. Стандартизованные коэффициенты регрессии (β-коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:

22. Определение временного ряда.

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

· факторы, формирующие тенденцию ряда;

· факторы, формирующие циклические колебания ряда;

· случайные факторы.

При различных сочетаниях в изучаемом процессе или явлении этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы. Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую долговременное совокупное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное влияние на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию

23. Записать аддитивную модель временного ряда.

Аддитивной моделью временного ряда называется модель, в которой каждый уровень ряда представлен суммой тренда, сезонной и случайной компоненты:

. (1)

24. Записать мультипликативную модель временного ряда.

Мультипликативная модель – это модель, в которой каждый уровень ряда представляет собой произведение перечисленных компонент:

. (2)

25. Понятие автокорреляции уровней ряда.

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют – автокорреляцией временного ряда.

Коэффициент автокорреляции первого порядка – это линейный коэффициент корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями того же ряда, сдвинутыми на один момент времени. Его расчёт производится по стандартным формулам расчёта линейного коэффициента корреляции, измеряет зависимость между соседними уровнями ряда y_t и y_t-1, то есть при лаге 1, причём общее число пар наблюдений, по которым производится расчёт, равно (n-1). Он рассчитывается по формуле:

26. Понятие лага.

Под лагом некоторой переменной понимают ее значение в предыдущие периоды времени. Например, для переменной Yt лагом в τ периодов будет Y t– τ . В векторном виде лаг переменной Y принято записывать как Y – τ . В терминологии имеется некоторая неоднозначность. Часто лагом называют величину t – τ . Кроме того, лагом называют структуру, т.е. форму, в которой входят в модель лаги некоторой переменной. Другой способ обозначения лага — с помощью лагового оператора. Его обозначают буквой L (иногда B). Лаговый оператор — это линейный оператор. С ним можно обращаться как с переменной, но он должен стоять перед той переменной, к которой применяется. L X обозначает X–1 , L τ X = X – τ . Если применить многочлен от лага f (L) = anL n+ ... + a1L + a 0 к переменной X, то получится

f (L)X = (∑ i=0 n aiLi) X = ∑ i=0 n ai (LiX) = ∑ i=0 n ai X–i. Другой постоянно используемый оператор — оператор разности или абсолютного прироста ∆, который определяется как 1 – L, так что ∆ X = X – X–1. Вторая разность — дважды взятый оператор ∆: ∆2 = (1 – L)2 = 1 – 2 L + L2 и т. д.

27. Понятие автокорреляционной функции временного ряда.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго, третьего и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией. Значения автокорреляционной функции могут колебаться от -1 до +1, но из стационарности следует, что = - . График автокорреляционной функции называется корреллограммой.

28. Понятие коррелограммы.

Коррелограмма

временного ряда x₁,... , x_T - совокупность сериальных (выборочных) коэффициентов корреляции