Тема 5.2 Средние величины в статистике
1. Понятие средней величины. Степенные средние.
Наиболее распространённой формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, является средняя величина.
Средняя величина– это величина,
Средняя величина даёт обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в целом определяется её финансовым положением. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции могут продаваться по более высокому или заниженному курсу.
Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.
В экономических исследованиях и плановых расчётах применяются две категории средних:
- степенные средние;
- структурные средние.
К категории степенных средних относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая.
К категории структурных средних относятся: мода и медиана (с ними мы познакомимся позже).
Средняя арифметическая
Наиболее распространённым видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.
Средняя арифметическая простая. Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчёт осуществляется по несгруппированным данным. Обозначив индивидуальные значения признака через х 
, х 
, ….х 
, число индивидуальных величин – n, среднюю – х, а сумму - знаком 
, можно записать, что
Х = 
Средняя арифметическая взвешенная.При расчёте средних величин отдельные значения определяемого признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В подобных случаях расчёт средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам.
Если индивидуальные значения признака (варианты) обозначить х , х , ….х ,а числа, показывающие сколько раз повторяется варианта (частоты), - f , f , …., f , то средняя арифметическая взвешенная будет равна
Х = 
Вычисление средней арифметической интервального ряда имеет некоторые особенности. Для того чтобы рассчитать среднюю арифметическую интервального ряда, надо сначала определить среднюю для каждого интервала, а затем – среднюю для всего ряда.
Средняя для каждого интервала определяется как полусумма верхней и нижней границ, т.е. по средней арифметической простой.
Средняя гармоническая
Средняя гармоническая, как и средняя арифметическая получила широкое применение в плановых расчётах. Выбор средней арифметической и средней гармонической определяется характером имеющейся в распоряжении исследователя информации.
Средняя гармоническая простая вычисляется по формуле:
Х= 
Средняя гармоническая взвешенная вычисляется по формуле:
X= 
Средняя квадратическая
В тех случаях, когда осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций, применяется средняя квадратическая. Так, средние диаметры колёс, труб, стволов, средние стороны квадратов и др. определяются при помощи средней квадратической.
Средняя квадратическая простая рассчитывается путём извлечения корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:
X= 
Средняя квадратическая взвешенная рассчитывается по формуле:
X= 
,
где f – удельный вес -го варианта.
ЗАДАЧА 11: пять торговых центров фирмы имеют объём товарооборота за месяц, представленный в таблице 9.
Таблица 9
| Экономический показатель | Торговый центр (i) | ||||
Товарооборот (млн. руб.), х   |
Необходимо определить средний месячный товарооборот в расчёте на один центр.
Для того, чтобы определить средний месячный товарооборот в расчёте на один центр, необходимо воспользоваться формулой средней арифметической простой (невзвешенной):
Х = . С учётом имеющихся данных получим: Х=
Ответ: – средний месячный товарооборот одного центра.
ЗАДАЧА 12: Определить среднюю заработную плату работников за апрель 2011 г.
Таблица 10 - Распределение работников по размеру заработной платы за апрель 2010 г
| Заработная плата, руб. | Число рабочих, чел. |
| До 6800 | |
| 6800-6900 | |
| 6900-7000 | |
| 7000-7100 | |
| 7100-7200 | |
| 7200 и более | |
| Итого |
Для определения средней заработной платы работников найдём середины интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учётом этого середины интервалов будут следующими:
Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим среднюю заработную плату предприятия отрасли:
Х =
Ответ: – средняя заработная плата одного работника в апреле 2011 года.
ЗАДАЧА 13 - определить среднюю урожайность культуры по центрально-черноземному району.
Таблица 11 – Валовой сбор и урожайность подсолнечника по Центрально-Черноземному району (в хозяйствах всех категорий)
| Область | Валовой сбор, тыс.т | Урожайность, ц/га |
| Белгородская | 16,1 | |
| Воронежская | 9,5 | |
| Курская | 0,5 | 4,8 |
| Липецкая | 10,9 | |
| Тамбовская | 7,0 |
Среднюю урожайность мы получим, поделив общий валовый сбор на общую посевную площадь, но посевная площадь нам не дана, её необходимо вычислить как отношение валового сбора подсолнечника к урожайности с га.
Используя среднюю гармоническую взвешенную, определим общий валовый сбор по областям:
Х=
Ответ: посевная площадь подсолнечника по Центрально-Чернозёмному району составляла 389,3 тыс. га, а средняя урожайность – 9,9 ц с одного гектара.
ЗАДАЧА 14 - пусть упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника фирмы, специализирующейся на торговле по почте. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 8 мин., второй – 14 мин. Каковы средние затраты на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?
На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. (8+14)/2=11 мин. Проверим обоснованность такового подхода на примере одного часа работы. За этот час первый работник обрабатывает 7,5 заказов (60:8), второй 4,3 заказа (60:14). В сумме это составляет 11,8 заказа. Если же заменить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится:
Подойдём к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов:
Х= 
мин.
Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то общее количество обработанных за 1 час заказов не изменится:
Ответ: средние затраты времени на 1 заказ равны 10,2 минуты.
Внеаудиторная самостоятельная работа:решить задачу 15.
ЗАДАЧА 15 - определить среднюю прибыль в расчёте на одно предприятие.
Таблица 12 - Распределение предприятий отрасли по объёму годовой прибыли
| Прибыль, млн. руб. | Число предприятий |
| До 30 | |
| 30-40 | |
| 40-50 | |
| 50-60 | |
| 60-70 | |
| 70 и более | |
| Итого |
Решение: