Моделі залежності від дотичного портфеля

Іншим чинником, що часто використовується в лінійних регресійних моделях, є прибутковість деякого виділеного портфеля цінних паперів, який називається дотичним. Це поняття було введене Г. Марковичем в 1952 р. Опишемо це поняття.

Таблиця 1

Рік	Квартал	Доходність WM	Доходність індексу
		-13,38	2,52
	16,79	5,45
	-1,67	0,76
	-3,46	2,36
		10,22	8,56
	7,13	8,67
	6,71	10,8
	7,84	3,33
		2,15	-5,07
	7,95	7,1
	-8,05	-11,57
	7,68	4,65
		4,75	14,59
	7,55	2,66
	-2,36	3,81
	4,98	7,99

Нехай на фінансовому ринку обертається n цінних паперів і капітал, рівний одиниці, інвестується в ці папери так, що x_i - капітал, що інвестується в i-й папір. Набір чисел р = x_i,...,x_n, що задовольняє умові x₁+x₂+... + x_n = l, назвемо портфелем цінних паперів. Зрозуміло, деякі числа {x_i} можуть бути нульовими. (Насправді деякі х можуть бути і від'ємними: відповідна ситуація називається продажем цінного паперу без покриття).

Кожному портфелю р відповідає випадкова величина r_р - прибутковість, яка визначається аналогічно прибутковості одного цінного паперу. Очевидно, . Розглянемо координатну площину, на якій по осі ординат відкладається математичне сподівання прибутковості (очікувана прибутковість ), a по осі абсцис - стандартне відхилення прибутковості - . Величина називається ризиком портфеля. Тоді кожному портфелю може бути поставлена у відповідність точка на такій координатній площині, а уся множина допустимих портфелів відображається в деяку двовимірну фігуру, що називається допустимою множиною (рис. 1).

Між множиною усіх портфелів і допустимою множиною, зрозуміло, немає взаємно-однозначної відповідності. Звичайно, два різні портфелі можуть мати рівні значення та .

Природно припустити, що інвестор вважає за краще отримати велику прибутковість із найменшим ризиком, тобто з двох портфелів з однаковим значенням він вибере той, значення якого менше. Це означає, що найбільш прийнятному портфелю відповідає точка на границі АВ (див. рис.1). Лінія АВ називається ефективною множиною.

Проблема вибору точки ефективної множини вирішується кожним інвестором індивідуально і, здавалося б, залежить від його схильності до ризику (чи, навпаки - до уникнення ризику). Виявляється, проте, що ефективній множині належить точка, яка є виділеною для усіх інвесторів.

Припустимо, що окрім придбання цінних паперів інвестор має мож- ливість безризикового надання і отримання позик. Таке припущення

Рис. 1 Рис. 2

цілком відповідає дійсності, якщо інвестор має можливість купувати державні облігації і брати кредит. Ми зробимо ще одне припущення (вже зовсім не таке беззаперечне), що безризикове надання і отримання позик відбувається з однією і тією ж процентною ставкою r_f, яка називається безризиковою ставкою.

Розглянемо пряму l, що перетинає вісь ординат в точці r_f і дотичну до ефективної множини (рис. 2). Рівняння прямої l має вигляд . Розглянемо портфель p = (х_f, x_M), де х_f - безризикові вкладення (позитивні у разі придбання облігацій і від'ємні при позиці засобів) з фіксованою ставкою r_f, x_M - вкладення в портфель, що відповідає точці М. Тоді

, звідки , тобто точка ( , )належить прямій l. Очевидно також, що будь-яка точка напівпрямої l, що лежить в першій чверті, досяжна за допомогою комбінації (х_f, x_M). Таким чином, за наявності можливості безризикового надання і

отримання позик допустима множина розширюється, а ефективною мно-

жиною стає пряма l.

Портфель, що відповідає точці дотику М (рис. 2), називається дотичним портфелем.

Таким чином, оптимальною для будь-якого інвестора стратегією виявляється інвестування частини коштів в дотичний портфель, а частини - у безризикові облігації. Або навпаки: отримання позики для додаткового інвестування в дотичний портфель.

На практиці точне знаходження дотичного портфеля неможливе. Але для багатьох практичних цілей виявляється корисною модель, у якій в якості чинника вибрана прибутковість дотичного портфеля, а точніше - різниця між r_M і безризиковою ставкою r_f. Таким чином, F = r_M - r_f і модель має вигляд: r_i = α_i + β_i (r_M – r_f) + ε_i, де і — номер цінного паперу.