Метод экспоненциального сглаживания
Данный метод позволяет получить оценку тренда, характеризующего не средний уровень анализируемого процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Данный метод применим при кратко- и среднесрочном планировании и не требует значительной информационной базы.
Каждое сглаженное значение временного ряда определяется сочетанием предыдущего сглаженного значения и текущего значения временного ряда. Текущее значение временного ряда взвешивается с учетом сглаживающей константы (коэффициент сглаживания).
Расчет осуществляется по формуле
yiсгл= yi w + (1-w)y(i-1)сгл, (3)
где w– коэффициент сглаживания.
При использовании данного метода возникает задача выбора значения коэффициента сглаживания. Чем это значение меньше, тем меньше сглаженное значение чувствительно к изменениям тренда временного ряда и результирующие значения получаются более сглаженными. При увеличении значения коэффициента сглаживания получаемый тренд более сильно зависит от значений фактических данных.
В условиях данной практической работы коэффициент сглаживания принимается равным 0,25.
Главной проблемой при выделении тренда является проблема выбора оптимального вида функции, описывающей временной ряд. Такой выбор можно осуществить несколькими способами:
- визуально, сопоставляя вид кривой и качественную характеристику тенденции рассматриваемого экономического явления (процесса);
- на основе использования метода наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов
Задача выбора функции заключается в подборе по фактическим данным формы зависимости (4) так, чтобы разница между исходными (yi) и расчетными (yнк) данными, образующими линию тренда, была минимальной (рис.1), т.е.
. (4)
Соответственно рассчитываются параметры тренда, минимизирующие отклонения расчетных значений от фактических.
Тренд может быть выражен любой функцией, например:
- линейной, вида y = a + bt;
- гиперболической, вида y = a + b/t;
- параболической, вида y = a + bt + ct2.
Рис. 1 Метод наименьших квадратов
В данной работе вид тренда принимается линейным. Для определения коэффициентов (a, b) линейного уравнения необходимо решить следующую систему уравнений:
12 12
12а+bSti=Syi ,
1 1
12 12 12
аSti +bSt2=Syiti .
1 1 1
Для получения прогноза на следующий временной интервал следует подставить в полученное уравнение тренда соответствующее значение t.
Пример
Исходные данные представлены в табл. 1. Расчеты по вышеприведенным формулам представлены в табл. 2 и 3.
Таблица 1 – Выпуск продукции в 2009 году
| Месяц | Выпуск yi, шт. |
| Январь | |
| Февраль | |
| Март | |
| Апрель | |
| Май | |
| Июнь | |
| Июль | |
| Август | |
| Сентябрь | |
| Октябрь | |
| Ноябрь | |
| Декабрь |
Таблица 2 – Расчет значений
| Месяц | yiсгл(3), формула (1) | yiсгл(5), формула ( 2) | yiw | (1-w) y(i-1)сгл | yiсгл, формула (3) |
| 597874,00 | |||||
| 630622,67 | 155556,25 | 448405,50 | 603961,75 | ||
| 689621,00 | 706875,80 | 167942,25 | 452971,31 | 620913,56 | |
| 771426,67 | 767044,80 | 193717,25 | 465685,17 | 659402,42 | |
| 847076,67 | 824392,00 | 216910,50 | 494551,82 | 711462,32 | |
| 891774,00 | 877479,20 | 224679,75 | 533596,74 | 758276,49 | |
| 914961,67 | 907712,00 | 227240,25 | 568707,37 | 795947,62 | |
| 924066,33 | 910249,40 | 234301,25 | 596960,71 | 831261,96 | |
| 914522,33 | 894673,20 | 231508,25 | 623446,47 | 854954,72 | |
| 875733,33 | 863070,40 | 220082,25 | 641216,04 | 861298,29 | |
| 817371,33 | 205209,50 | 645973,72 | 851183,22 | ||
| 187736,75 | 638387,41 | 826124,16 |
Рис. 2 Результаты сглаживания методом скользящей средней (построение выполнено в программе MS Excel)
Рис. 3 Результаты сглаживания, полученные методом экспоненциального сглаживания (построение выполнено в программе MS Excel)
Таблица 3 – Вычисление тренда методом наименьших квадратов
| Месяцы, t | yi | t2 | yiti | yi(наим.кв.)* |
| 691207,49 | ||||
| 711857,81 | ||||
| 732508,13 | ||||
| 753158,45 | ||||
| 773808,77 | ||||
| 794459,09 | ||||
| 815109,41 | ||||
| 835759,73 | ||||
| 856410,05 | ||||
| 877060,37 | ||||
| 897710,69 | ||||
| 918361,01 | ||||
| ∑ 78 |
*В результате решения системы уравнений были получены следующие результаты:
a=670557,17,
b=20650,32,
y i(наим.кв.)=670557,17+20650,32t.
Прогноз на январь 2010 г. (t=13)
y13(наим.кв.)=670557,17+20650,32*13 = 939011,33 (шт.).
Рис. 4 Получение тренда методом наименьших квадратов (построение выполнено в программе MS Excel)
C помощью программы MS Excel необходимо построить нелинейные виды трендов: логарифмический, полиномиальный второй степени, степенной, экспоненциальный. Для этого для каждого из трендов необходимо выполнить следующие действия:
- построить диаграмму с исходными данными о выпуске продукции за год;
- щелкнуть правой клавишей мыши по анализируемому временному ряду;
- в открывшемся окне выбрать строку «Добавить линию тренда»;
- в открывшемся окне отметить соответствующий вид линии тренда;
- на вкладке «Параметры» поставить галочку напротив строки «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R^2».
Рис. 5 Логарифмический тренд, построенный в MS Excel
Рис. 6 Степенной тренд, построенный в MS Excel
Рис. 7 Экспоненциальный тренд, построенный в MS Excel
Рис. 8 Полиномиальный тренд, построенный в MS Excel
Индивидуальное задание по теме 1:
- сгладить временной ряд методом скользящей средней и методом экспоненциального сглаживания, построить соответствующие графики;
- выделить линейный тренд методом наименьших квадратов, построить график;
- построить в MS Excel нелинейные тренды с указанием степени аппроксимации.
Таблица 4 – Варианты заданий
| Месяц | Варианты | ||||||||
| Январь | |||||||||
| Февраль | |||||||||
| Март | |||||||||
| Апрель | |||||||||
| Май | |||||||||
| Июнь | |||||||||
| Июль | |||||||||
| Август | |||||||||
| Сентябрь | |||||||||
| Октябрь | |||||||||
| Ноябрь | |||||||||
| Декабрь |
Продолжение табл.4.
| Месяц | Варианты | ||||||||
| Январь | |||||||||
| Февраль | |||||||||
| Март | |||||||||
| Апрель | |||||||||
| Май | |||||||||
| Июнь | |||||||||
| Июль | |||||||||
| Август | |||||||||
| Сентябрь | |||||||||
| Октябрь | |||||||||
| Ноябрь | |||||||||
| Декабрь |
Продолжение табл.4.