Оптимальное сочетание отраслей

Задача 1

Изготовление продукции из двух видов требует использование сырья четырех видов. Запасы сырья ограничены. Количество сырья, необходимое для изготовления единицы каждого из видов продукции, заданы таблицей.

Вид сырья	Вид продукции	Запасы сырья





Стоимость единицы продукции

Требуется составить такой план выпуска продукции, чтобы доход предприятия от реализации всех видов продукции был максимальным.

Решение:

Х₁ -1 продукция

Х₂ -2 продукция

Ограничения:

2 Х₁+3 Х₂≤19

2 Х₁+ Х₂≤13

3 Х₂≤15

3 Х₁≤18

F(x)=7 Х₁+5 Х₂→max

Графический метод:

1 прямая 2 Х₁+3 Х₂=19

Х₁ =0 Х₂ =19/3 (0; 19/3)

Х₂ =0 Х₁ =19/2 (19/2; 0)

2 прямая 2 Х₁+ Х₂=13

Х₁ =0 Х₂ =13 (0;13)

Х₂ =0 Х₁ =13/2 (13/2;0)

3 прямая 3Х₂ =15

Х₂ =5

4 прямая 3 Х₁ =18

Х₁ =6

(.) max определяется наиболее удаленным от начала вектора перпендикуляром.

2 принадлежит 3х = мах.

2 Х₁ + Х₂ =13

Х₁ =5

Х₂ =3

F(x) = 7x5+5x3=50

Максимальный доход от реализации всех видов продукции составит 50 денежных единиц, при этом изготовлено 5 ед. 1ого продукта и 3 ед. –второго продукта

Оптимальное сочетание отраслей - student2.ru

Симплекс метод

Система уравнений

2х₁ + Зх₂ + у_г = 19
2х₁ + х₂+у₂ = 13
Зx₂ + Уз = 15
Зх₁ + у₄ = 18
F— 7х₁ — 5х₂ = 0

Базис	Свободный член	Х₁	Х₂	У₁	У₂	У3	У₄	Оценка
У₁								9,5
У₂								6,5
У₃								-
У₄
F			-5

У₁		-2/3	7/3
У₂		-2/3
У₃
Х₁		1/3	-
F	-5	7/3	-

Базис	Свободный член	Х₁	Х₂	У₁	У₂	У₃	У₄	Оценка
У₁					-3		4/3
Х₂							-2/3	-
У₃					-3
Х₁							1/3
F							-1	-

Базис	Свободный член	Х₁	Х₂	У₁	У₂	У₃	У₄	Оценка
У₄				3/4	-9/4
Х₂				1/2	-1/2
У₃				3/2	3/2
Х₁				-0/25	3/4
F				3/4	11/4

Ответ: максимальный доход от реализации всех видов продукции составил 50 денежных единиц , при этом было выпущено и реализовано 5 ед первого вида продукции и 3 ед второго вида продукции.

	xl	х2

f(x)			—>	max

1 -ый вид сырья			<=
2-ой вид сырья			<=
3-ий вид сырья			<=
4-ый вид сырья			<=

Задача 2

Человек должен употреблять в сутки некоторое количество жиров, белков, углеводов, витаминов и воды. Содержание этих веществ в единицах каждого из видов пищи таковы:

Питательные вещества	Норма	Вид пищи

Жиры
Белки
Углеводы
Вода
Витамины
Стоимость единицы пищи

Требуется так организовать питание, чтобы при удовлетворении потребностей организма во всех питательных веществах общая стоимость пищи была минимальной.

Переменные:

Х₁ – количество 1 пищи

Х₂ – количество 2 пищи

Х₃ – количество 3 пищи

Х₄ – количество 4 пищи

Х₅ – количество 5 пищи

Целевая функция:

F(x)=2x₁+3x₂→min

Ограничения:

По жирам

х₁+5х₂≥10

По белкам

3х₁+2х₂≥12

По углеводам

2х₁+4х₂≥16

По воде

2х₁+2х₂≥10

По витаминам

х₁≥1

Условия неотрицательности:

х₁≥0

х₂≥0

Решение:

Графический метод

1 прямая х₁+5х₂≥10

L₁: х₁+5х₂=10

Х₁=0 х₂=0

Х₂=2 х₁=10

(0;2) (10;0)

2 прямая 3х₁+2х₂≥12

L₂: 3х₁+2х₂=12

Х₁=0 х₂=0

Х₂=6 х₁=4

(0;6) (4;0)

3 прямая 2х₁+4х₂≥16

L₃: 2х₁+4х₂=16

Х₁=0 х₂=0

Х₂=4 х₁=8

(0;4) (8;0)

4 прямая 2х₁+2х₂≥10

L₄: 2х₁+2х₂=10

Х₁=0 х₂=0

Х₂=5 х₁=5

(0;5) (5;0)

5 прямая х₁≥1

L₅: х₁=1

Х₁=1

L₁:1∙0+5∙0≥10- неверно

L₂:3∙0+2∙0≥12- неверно

L₃:2∙0+4∙0≥16- неверно

L₄:2∙0+2∙0≥10- неверно

L₅:х₁≥1

Строим вектор градиент

Проходит через т.(0;0) и (2;3)

Если min, то ближе к 0

Min=l₂ l₃ l₄

Найдем координаты т.min

2х₁+4х=16

2х₁+2х=10

2х₂=6

Х₂=3

2х₁+2∙3=10

2х₁=10-6

2х₁=4

Х₁₌2

F(x)=2∙2+3∙3=13

Ответ:

Минимальная стоимость питания 13 денежных единиц, при этом 1 пищи приобретают 2 шт, 2 пищи-3 шт.

	xl	х2

f(x)			—>	min

жиры			>=
Белки			>=
Углеводы			>=
вода			>=
Витамины			>=

Задача 3

Из имеющихся в хозяйстве кормов составить кормовой рацион коровы живой массой 500 кг, суточным удоем - 25 кг, жирностью молока-4%.
Рацион должен соответствовать всем зоотехническим требованиям и иметь максимальную себестоимость.

Корма	СВ, кг	К.ед./кг	ПП,г	Са, г	Р,г	Каротин, мг	Себестои мость, руб.
Сено люцерновое	0,7	0,52	93,3	7,45	1,88	45,2	2,4
Силос разнотравный	0,18	0,16	18,2	1,9	0,69	16,5	4,5
Брюква	0,1	0,13	7,4	0,32	0,5		7,5
Шрот подсолнечный	0,9	1,02		3,85	4,05	-	5,4
Отруби пшеничные	0,85	0,75	154,7	1,19	5,11

Зоотехнические требования:

-S сухого вещества - не менее 17 кг, не более 22 кг
-S кормовых единиц - не менее 16 к.е, не более 22 к.е.
-S переваримого протеина - не менее 2300 г, не более 2700 г
-S Са - не менее 76,5 г
S Р - не менее 87,2 г
-S каротина - не менее 76,5 мг

По составу рациона:
-S сена - не менее 5 кг, не более 11 кг
-S силоса - не менее 15 кг, не более 40 кг
-S корнеплодов - не менее 13 кг, не более 40 кг
-S концентратов - не менее 5 кг, не более 8 кг

Модель задачи

Переменные:

х₁- количество сена люцернового;
х₂- количество силоса разнотравного;
х₃ -количество брюквы;

х₄ - количество шрота подсолнечного;
х₅- количество отрубей пшеничных.

Целевая функция: /(*) = 2,4*_х + 4,5*₂ + 7,5*₃ + 5,4*₄ + 4*₅ min

Ограничения:

по сухому веществу:

0,7 х₁+ 0,18 х₂+ 0,1 х₃ + 0,9х₄ + 0,85 х₅≥ 17
0,7 х₁+ 0,18х₂ + 0,1 х₃ + 0,9 х₄+ 0,85х₅ ≤ 22
по кормовым единицам:

0,52 х₁ + 0,16х₂ + 0,13 х₃ + 1,02 х₄+ 0,75х₅ ≥ 16
0,52 х₁ + 0,16 х₂+ 0,13 х₃ + 1,02 х₄ + 0,75 х₅ ≤ 22
по переваримому протеину:

93,3 х₁ + 18,2 х₂+ 7,4 х₃+ 380 х₄+ 154,7х₅ ≥ 2300
93,3 х₁ + 18,2х₂ + 7,4 х₃ + 380 х₄+ 154,7х₅ ≤ 2700

по кальцию: 7,45 х₁ - 1,9х₂ + 0,32х₃ + 3,85х₄ + 1,19х₅ ≥ 76,5

по фосфору: l,88 х₁ + 0,69х₂ + 0,5х₃ + 4,05х₄ + 5,11х₅ ≥ 87,2

по каротину: 45,2х₁ - 16,5х₂ + 10х₃ + 4х₅ ≥ 76,5

по сену: х₁≥ 5; х₁≤11;

по силосу: х₂ ≥ 15; х₂ ≤ 40;

по корнеплодам: х₃ ≥ 13; х₃ ≤40;

по концентратам: х₄ + х₅ ≥ 5; х₄ + х₅ ≤ 8.

Задача 4

Оптимальное сочетание отраслей

Хозяйство имеет 1060 га пашни, 350 га сенокоса, продуктивность 10 цн. к.е. га; 500 га естественных пастбищ продуктивность 15 цн к.е. га; 160 га долголетних культурных пастбищ продуктивность 19 цн. к.е. га.

В хозяйстве работает 800 человек, при среднегодовой обработке 270 дней (216000 человеко - дней) напряженный период 40 дней (вторая половина августа - сентябрь) В хозяйстве можно выращивать слудующие культуры: пшеницу озимую, рожь озимую, ячмень, овощи., картофель, кормовых корнеплоды, многолетние травы на сено, многолетние травы на зеленый корм и силосные.

Животноводство представлено: КРС молочного направления, продуктивность одной коровы 40 цн молока, цена 1 цн 650 рублей. Выход органического удобрения 9т в год. Хозяйство закупает комбикорм в количестве не более 9000ц (0.09 цн. к.е.) На корм скоту используется в виде отходов 10% валового сбора овощных, 15% картофель, 8% зерновых, кроме этого используется 70% соломы, 1цн соломы - 0.2 цн к.е.. Уражайность соломы и зерна 1:1. На одну голову коровы расходуется в год 63 цн. к.е.. В годовом рационе должно быть концентратов 15-20% грубых 20-35%. Необходимо сдать продукции не менее: зерна пшеницы 3000цн., ржы 2000 цн., ячменя 2000 цн., картофеля 20000цн., овощных 6000цн., молока 35000 цн..

Необходимо учесть, что норма высева семян по зерновым 2цн., по картофелю 30 цн. Площадь многолетних трав не мене 20% от общей площади посевов.

Требуется определить на каких площадях требуется выращивать кормовые культуру и какое поголовье необходимо данному хозяйству.

Показатель	Озимая пшеница	Озимая рожь	ячмень	картофель	овощи	Корне плоды	Мног Тр на сено	Мног Тр на зел. корм	Силос культуры	КРС
Затраты труда, чел/дней	4,9	4,3	4,1				12,5	8,7	12,7
В т.ч. в напряженный период	1,5	1,4	1,3	10,2		12,1	2,1	1,6	3,8	4,3
Затраты орг. Удобрений, т.										Х
Уражайность, цн/га										Х
Содержание, к.е. в 1цн корма	1,2	1,1	1,12	0,3	0,15	0,1	0,5	0,2	0,15	Х
Средняя реализац. Цена, руб за цн						-	-	-	-	-

Модель задачи

Переменные:

Х₁плошадь посева озимой пшеницы, га;

Х₂-плошадь посева ржи, га;

Хз-площадь посева ячменя, га;

Х₄-площадь посадки картофеля, га;

Х₅-плошадь посадки овощей, га;

Х₆-площадь посадки корнеплодов, га;

Х₇-площадь посева многолетних трав на сено, га;

Х₈-площадь посева многолетних трав на зеленый корм, га;

Х₉-площадь посева силосных культур, га;

Х-₁₀поголовье кр. рог. ск., гол.;

Х₁₁-площадь сенокосов, га;

Х₁₂-площадь пастбищ, га;

Х₁₃-плошадь многолетних культурных пастбищ, га;
Х₁₄-привлеченная рабочая сила;

Х₁₅-количество покупных кормов;

Х₁₆-колнчество покупных органических удобрений.

Целевая функция:

F(x)=850*(23-2)*0,92X₁+790*(21-2)*0,92X₂+680*(22-2)* *0,92X₃+765*(150- 30) *0,85Х₄+970*320*0,9Х₅+650*40Х₁₀→max

F(x)=16422X₁+13809,2X₂+12512Х₃+78030Х₄+279360Х₅+26000Х₁₀→max

Ограничения:

по использованию пашни: х₁+ х₂+ х₃+ х₄+ х₅+ х₇+ х₈+ х₉≥1360

по затратам труда:

4,9х₁+4,Зх₂+4,1х₃+ 45х₄+89х₅+36х₆+12,5х₇+8,7х₈+1 2,7х₉+32х₁₀< 216000

1,5х₁+1,4х₂+1,Зх₃+ 10,2х₄+32х₅+12,1х₆+2,1х₇+1,6х₈+3,8х₉+ 4,Зх₁₀ -х₁₄= =32000

32000=40 дн. * 800 чел.

по балансу органических удобрений:

17x₁+l 7х₂+ 17х₃+ 21 х₄+26х₅+ 29х₆+7х₇+7х₈+ 19х₉-90х₁₀-Х₁₆=0

по питательности:

((23-2)*0,08* 1,2+23*0,7*0,2)Х₁+((21-2)*0,08* 1,1+21*0,7*0,2)

Х₂+((22-

2)*0,08*1,12+22*0,7*0,2) Х₃+(150-30)*0,15*0,3 Х₄+320*0,1*0,15 Х₅+380*0,1 Х₆+28*0,5 Х₇+80*0,2 Х₈+99*0,15 Х₉+350* 10+500* 15+160* 19+0,9 Х₁₅-63 Х₁₀≥0

5,236Х₁+4,612Х₂+4,872Х₃+5,4Х₄+4,8Х₅+38Х₆+14Х₇+16Х₈+14,85Х₉+0,9Х₁₅-63 Х₁₀≥-14040

по покупным кормам: Х₁₅≥9000

по количеству концентратов в рационе:

минимизация: 2,016Х₁+1,672Х₂+1,792Х₃+0,9Х₁₅-0,15*63 Х₁₀≥0 максимизация: 2,016Х₁+1,672X₂+l,792X₃+0,9X₁₅-0,2*63 Х₁₀≤0

по количеству грубых кормов в рационе:

минимизация: 3,22X₁+2,94X₂+3,08X₃+14X₇+10X₁₁0,2*63 X₁₀≥0

максимизация: 3,22Х₁ +2,94Х₂+3,08Х₃+14Х₇+10Х₁₁-0,35 * 63 Х₁₀≤0

по пшенице: (23-2)*0,92Х₁≥3000; 19,32Х₁ ≥3000

по ржи: (21-2)*0,92 Х₂≥2000; 17,48 Х₂≥2000

по ячменю: (22-2)* 0,92 Х₃≥2000; 18,4 Х₃≥2000

по картофелю: (150-30)*0,85 Х₄≥20000; 102Х₄≥20000

по овощам: 320*0,9 Х₅≥6000; 288 Х₅≥6000

по молоку: 40 Х₁₀≥35000

по площади многолетних трав:

Х₇+ Х₈- 0,2Х₁-0,2 Х₂-0,2 Х₃-0,2 Х₄-0,2 Х₅-0,2 Х₆-0,2 Х₇-0,2 Х₈-0,2 Х₉≥0;
-0,2 Х₁-0,2 Х₂-0,2 X₃-0,2 Х₄-0,2 Х₅-0,2 Х₆+0,8 Х₇+0,8Х₈-0,2 Х₉≥0

Задача №5

Условие: Имеются два вида кормов (силос и зерно), содержащих перевариваемый белок, каротин, кальций, фосфор. Содержание питательных веществ в кормах следующее:

Питательные вещества	Силос	Зерно	Норма питательных веществ
Переваримый белок
Каротин
Кальций
Фосфор
Стоимость 1 усл. ед. корма			-