Предположим, что имеет место линейная зависимость т. е.

. (1)

Найдем оценки коэффициентов a и b по фактическим данным об уровнях ряда (t_i; y_i) (i=1,…,n) так, чтобы сумма квадратов отклонений теоретической кривой от реальных данных была минимальной

(2)

или

. (2а)

Возьмем частные производные Q по параметрам a и b и приравняем их нулю

, (3)

.

Первое уравнение системы (3) можно преобразовать к виду

или

.

Второе уравнение можно преобразовать к виду

.

Таким образом, мы имеем систему уравнений

,

. (4)

Ее решение позволяет найти оценки параметров a и b.

Для упрощения расчетов (при нечетном количестве точек ряда – 2к+1) будем считать, что ряд образуется для моментов времени –к, -к+1, … 0, 1, 2, ….. к .

Тогда

и система уравнений имеет решение

,

. (5)

Полученная модель используется для прогноза экономического показателя на момент времени t_L

(6)

Пример. Опишем динамику добычи угля в Англии за ряд лет (табл.) линейной зависимостью.

Таблица

ti	yi	ti2	yiti	ei
				-6,3
				-2,7
				2,9
				10,5
				10,0
				-1,4
				-4,8
				-7,2
				-5,6
				4,0
				1,6
				5,2
				-25,2
				19,4
Итого 105

Система уравнений (4) имеет вид

,

откуда =225,1 ; = - 4,41, т. е. линейная модель имеет вид

.

При прогнозировании на 5 лет (t_L=19) прогноз добычи угля по модели составит

.

Задание 3

Выберите из таблицы временной ряд в соответствии с номером Вашего варианта (по последней цифре шифра зачетной книжки)

Номер	Временной ряд
варианта
	26,7	110,1	276,8	683,9	1005,2
	85,4	87,2	93,4	97,1	97,2
	212,3	216,2	219,8	223,2	226,4
	145,0	152,9	164,6	168,8	181,3
	59,1	56,1	58,9	58,4	57,5
	78,5	81,1	87,3	91,7	96,4
	292,3	327,6	369,3	412,4	458,9

1. Рассчитать показатели динамики – абсолютный прирост, коэффициент роста, коэффициент прироста (цепные и базисные).

2. Найти средний абсолютный прирост и средний коэффициент роста.

3. Подобрать линейную зависимость вида . Найти оценки коэффициентов и по методу наименьших квадратов.

4. Сделать прогноз показателя по математической модели тренда на 3 года вперед.

ОШИБКИ ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИК ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ ПО ВЫБОРКЕ

Часто по выборке определяется среднее значение какого-либо признака − (выборочное среднее) или выборочная доля элементов, обладающих каким-либо качественным признаком (w).

Разница между этими показателями в выборке и генеральной совокупности называется ошибкой оценки характеристик генеральной совокупности по выборке.

Выборочное среднее и выборочная доля являются случайными величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие элементы совокупности попали в выборку.

Следовательно, ошибки оценки этих характеристик генеральной совокупности по выборке также являются случайными величинами.