Стоимость основных фондов и выпуск продукции по группе предприятий

Название предприятий	Стоимость основных фондов, млн. руб. (х)	Выпуск продукции, млн. руб. (у)	ху
А
1 ООО «Слава»		2,4	14,4		2,692
2 ООО «Лидер»		4,0	32,0		3,537
3 ООО «Олимп»		3,6	32,4		3,958
4 ООО «СОМ»		4,0	40,0		4,380
5 ООО «Сюзи»		4,5	45,0		4,380
6 ООО «Престиж»		4,6	50,6		4,802
7 ООО «Тандем»		5,6	67,2		5,224
8 ООО «Рубин»		6,5	84,5		5,646
9 ООО «Злата»		7,0	98,0		6,068
10 ООО «Вернисаж»		5,0	75,0		6,490
Итого		47,2	539,1		47,177

Чтобы установить, насколько повышается в среднем выпуск продукции при увеличении основных фондов на 1 млн. руб., прежде всего, определим форму связи.

Допустим, что между стоимостью основных фондов и выпуском продукции существует прямолинейная связь, которая выражается уравнением прямой . Параметры уравнения определим при помощи системы двух нормальных уравнений, отвечающих требованию способа наименьших квадратов.

Решим систему нормальных уравнений, для чего каждый член обоих уравнений поделим на коэффициенты при и из второго уравнения вычтем первое:

Определим параметр : = 0,27 / 0,64 = 0,422.

Подставим значение в первое уравнение и найдём параметр : 4,72 = + 10,8 ∙ 0,422, откуда = 4,72 – 4,56 = 0,16.

Линейное уравнение корреляционной связи будет иметь следующий вид: . Параметр показывает, что с увеличением стоимости основных фондов в среднем на 1 млн. руб. выпуск продукции увеличивается в среднем на 0,422 млн. руб. Параметр - свободный член уравнения, = 0,16, когда х = 0.

Подставляем значения параметров и в уравнение прямой и находим теоретические, выровненные значения

,

и т.д. (см. табл. 3.4 графа 5).

Графически зависимость выпуска продукции от стоимости основных фондов показана на рис. 3.3

Рис. 3.3 Зависимость выпуска продукции от стоимости основных фондов по 10 предприятиям

Если в результате качественного анализа установлена криволинейная зависимость, принимающая форму кривой второго порядка, то связь выражается уравнением кривой . Задача сводится к нахождению параметров , и . Для этого необходимо решить систему нормальных уравнений:

Пример. Имеются данные о возрасте и выработке по группе рабочих предприятия «А».

Возраст, лет (х)	18-22	23-27	28-32	33-37	38-42	43-47	48-52	53-50
Выработка деталей на 1-го рабочего, шт.

Для решения системы нормальных уравнений составим расчётную таблицу (табл. 3.5).

Таблица 3.5

Определение зависимости выработки рабочих предприятия «А» от возраста

х	у	ху
							5,690
							6,600
							7,225
							7,565
							7,620
							7,390
							6,875
							6,075
Итого 300							55,04

Подставим данные таблицы в систему нормальных уравнений:

Поделим каждый член уравнения на коэффициенты при и получим следующее уравнение:

Вычтем из второго уравнения первое, из третьего – второе и поделим каждый член уравнений на коэффициент при :

Вычтем теперь из второго уравнения первое и получим:

- 0,017

, откуда

Подставим в уравнение значение:

откуда = 0,4275 + 0,011 = 0,4385.

Методом подстановки получаем значение :

;

откуда = - 0,8.

Теперь можно записать уравнение параболы:

Отрицательное значение показывает, что после определённого возраста (в данном случае 43 – 47 лент) выработка рабочих начинает снижаться.

Определим теоретические (выровненные) значения для чего в уравнение кривой подставим значения х:

и т.д. (см табл. 3.5 графа 8).

Графически зависимость выработки деталей от возраста рабочих представлена на рис. 3.4.

Рис. 3.4 Зависимость выработки деталей от возраста рабочих предприятия «А»

Другая важнейшая задача - измерение тесноты зависимости - для всех форм связи может быть решена при помощи вычисления эмпирического корреляционного отношения :

, (3.91)

где - дисперсия в ряду выровненных значений результативного показателя ;

- дисперсия в ряду фактических значений у.

Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции r, для расчёта которого можно использовать следующие формулы:

, (3.92)

, (3.93)

, (3.94)

, (3.95)

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения в пределах от -1 до + 1 или по модулю от 0 до 1. Чем ближе он по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Знак указывает направление связи: «+» - прямая зависимость, «-» имеет место при обратной зависимости.

Пример. Рассмотрим вычисление коэффициента корреляции по стоимости основных фондов и выпуску продукции по 10 предприятиям (табл. 3.6).

Таблица 3.6