Аксиомы теории вероятностей

Лекция 4. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

План лекции:

Введение

Основные понятия

Алгебра событий

Определение вероятности

Формулы комбинаторики

Аксиомы теории вероятностей

Геометрическая вероятность

Введение

До появления теории вероятностей как действительно общепризнанной теории в науке господствовал детерминизм, согласно которому осуществление определённых условий однозначно определяет результат. Классическим примером является механика: если известны начальное положение, скорость материальной точки и действующие силы, то можно определить её дальнейшее движение. Развитие этого подхода привело знаменитого французского математика и механика П. Лапласа к своеобразной механистической модели мироздания.

Однако практика показала, что этот подход далеко не всегда применим. Во многих случаях предсказать наступление данного явления при реализации соответствующих условий невозможно, оно может произойти, а может и не произойти. Например, в механике мы никогда абсолютно точно не знаем начальных данных, действующих сил, следовательно, и в дальнейшем движении есть некоторая неопределённость. Дальнейшее развитие науки, в особенности физики, ещё более поставило под вопрос единственность детерминистического подхода к изучению многих явлений. Более того, многие выдающиеся естествоиспытатели и философы современности склонны даже считать, что все без исключения законы природы на самом деле имеют вероятностный характер. Ещё больше сомнений в справедливости детерминизма дало развитие естествознания (генетика, медицина и др.) и общественных наук (экономика, в частности страховое дело, демография и многие другие).

Приведём более простые примеры: при бросании монеты она может упасть кверху гербом или цифрой, продолжительность жизни определённого человека заранее неизвестна. Число таких примеров из различных областей науки и техники можно неограниченно продолжить.

Индивидуальные результаты таких опытов непредсказуемы, однако их многократное повторение приводит к интересным закономерностям. Если бросить одну монету, никто не сможет предсказать, какой стороной она упадёт кверху, но если бросить две тонны монет, то каждый скажет, что примерно одна тонна упадёт кверху гербом.

Изучение закономерностей, возникающих при массовых, однородных опытах, и является предметом теории вероятностей. Однако существует и в последнее время находит всё большее признание другой взгляд, согласно которому методы и результаты теории вероятностей применимы не только к массовым, но и к единичным, даже уникальным явлениям и сооружениям. Действительно, во-первых, даже уникальное сооружение, как правило, состоит из массовых элементов, во-вторых, вероятность есть некоторая объективная мера возможности наступления события. Эта мера сохраняет свой смысл независимо от того, является это событие многократно воспроизводимым или единичным. Покупая единственный телевизор, мы, естественно, выбираем более надёжную марку; возникновение жизни на Земле - уникальное явление, но астрономы говорят о вероятности этого в нашей и других галактиках.

Зарождение теории вероятностей относится к середине XVII века и связано с работами Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса в области теории азартных игр. Дальнейшее быстрое развитие теории вероятностей связано с именами Я. Бернулли, П. Лапласа, К. Гаусса и других учёных. Значительный вклад в её развитие внесли русские математики П. Чебышев,А.Ляпунов, А. Марков, С. Берштейн, А. Колмогоров и многие другие.

Статистикой называется наука о сборе, классификации, обработке и анализе всевозможных качественных и количественных данных, о получении из фактов обобщающих выводов.

Одна из задач статистики – сделать имеющуюся информацию наглядной. Здесь помощь оказывают как математические приемы, так и диаграммы, таблицы, графики.

В статистике применяют два основных подхода: метод сплошных наблюдений (описательная статистика) и выборочный метод.

Метод сплошных наблюденийпредполагает изучение всех элементов совокупности. Он применяется, если надо изучить успеваемость в группе или на факультете, работу предприятия и его филиалов и т.д., когда количество изучаемых объектов не слишком велико.

Когда количество объектов велико или сплошное обследование невозможно в силу того, что обследование может привести к уничтожению объекта (например, чтобы узнать качество консервов, банку надо вскрыть), то есть когда не хотят проводить полное обследование объекта, пользуются выборочным методом, при котором из совокупности выбирают ограниченное число объектов и их подвергают изучению. Тогда возникает вопрос, насколько результаты такого обследования будут справедливы для всей совокупности. В этом вопросе хорошим помощником исследователя является математическая статистика. Математическая статистика –раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

Математическая статистика возникла в XVII веке и создавалась параллельно с теорией вероятностей. В России методы математической статистики применялись к демографии и страховому делу В.Я. Буняковским еще в середине прошлого века. В СССР значительные результаты в области математической статистики получены В.И. Романовским, А.Н. Колмогоровым, Е.Е. Слуцким, Н.В. Смирновым, Ю.В. Линником. Большой вклад внесли в математическую статистику английские (Стьюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон), а также и американские (Ю. Нейман, А. Вальд) ученые. Все они обогатили аналитический аппарат новыми методами. Решающее значение для развития математической статистики имели работы русской классической школы теории вероятностей 2-й половины XIX – начала ХХ веков (П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, С.Н. Бернштейн) и работы немецких и английских математиков (К.Ф.Гаусс, К. Пирсон, Ф. Гальтон). Нельзя не отметить вклад советских математиков в составление таблиц функций (Е.Е. Слуцкий, Н.В. Смирнов, Л.Н. Большев). Математическая статистика для решения своих задач активно привлекает теорию вероятностей. Но, в отличие от теории вероятностей, которая занимается исчислением вероятностей, когда из каких-то соображений распределение вероятностей известно, статистика решает обратную задачу: отыскивание вероятностных характеристик случайных величин по наблюдаемым реализациям и частотам их появления. Ответ на поставленный выше вопрос о том, насколько результаты выборочного обследования будут справедливы для всей совокупности, математическая статистика формулирует в вероятностных терминах, вводя понятие “уровень доверия” – вероятность, с которой мы не ошибемся, если поверим выводам, сделанным на основе анализа выборки.

Основные понятия

Исходными понятиями теории вероятностей являются понятия стохастического эксперимента, случайного события и вероятности случайного события.

Стохастическим назовём эксперимент, результат которого заранее (до его проведения) предугадать нельзя. Часто вместо стохастического эксперимента говорят об испытании, опыте.

Случайным событием назовем явление, которое может произойти или не произойти в результате стохастического эксперимента.

Пример.Рассмотрим опыт с бросанием игральной кости (кубик, каждая грань которого имеет метки - очки, соответствующие цифрам 1, 2, 3, 4, 5, 6). Результатом этого стохастического эксперимента/опыта может быть появление одного из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, равного числу выпавших очков. Можно рассматривать и другие события, заключающиеся, например, в том, что сумма выпавших чисел равна пяти, чётная, делится на три и так далее.

Для обозначения случайных событий будем использовать большие буквы A, B, C, снабжая их при необходимости индексами.

Предположим теперь, что среди всех возможных событий, которые в данном опыте могут произойти или не произойти, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий, которые обладают следующими свойствами:

взаимно исключают друг друга, и в результате опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий,

каково бы ни было случайное событие A, по наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло событие A.

Элементарные события будем обозначать греческой буквой w, снабжённой при необходимости индексом, а их совокупность W будем называть пространством элементарных событий.

Вернёмся к примеру. В этом случае элементарными событиями w_iможно считать появление любого числа от 1 до 6. Очевидно, что всего имеется 6 элементарных событий. Выбор элементарных событий определяется неоднозначно, чем можно пользоваться при решении задач.

Алгебра событий

Пусть W - пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Для каждого возможного в этом опыте события A выделим совокупность всех элементарных событий, наступление которых необходимо влечёт наступление A. Будем говорить, что эти элементарные события благоприятствуют появлению A. Множество этих элементарных событий обозначим тем же символом A, что и соответствующее событие.

Таким образом, событие A состоит в том, что произошло одно из элементарных событий, входящих в указанное множество A. Другими словами, мы отождествляем событие A и соответствующее ему множество A элементарных событий.

Введём теперь ряд понятий и определений.

Назовём событиедостоверным, если оно наступает в результате появления любого элементарного события. Но тогда ему благоприятствует любое wÎW и в силу заключённого договора будем обозначать достоверное событие тем же символом W.

Невозможнымназовёмсобытие, не наступающее ни при каком элементарном событии, но тогда ему соответствует пустое множество, и поэтому невозможное событие будем обозначать символом Æ.

Пример.В опыте с кубиком достоверным является событие, что выпадет число, меньшее 7. Невозможным – выпадет отрицательное число.

Суммой (или объединением) двух событий A и B назовём событие A + B (или AÈB), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или A, или B. Сумме событий А и В соответствует объединение множеств А и В.

Отметим очевидные соотношения: A+Æ=A, A+W=W, A+A=A.

Пример. Событие “выпало четное” является суммой событий: выпало 2, выпало 4, выпало 6.

Произведением (или пересечением) двух событийA и B назовём событие AB (или AÇB), которое происходит тогда и только тогда,когда происходит и A, и B. Произведению событий А и В соответствует пересечение множеств A и B.

Отметим очевидные соотношения: AÆ = Æ, AW = A, AA = A.

Пример. “Выпало 5” является пересечением событий: выпало нечетное и выпало больше 3-х.

Два события назовём несовместными, если их совместное появление в одном и том же опыте невозможно. Следовательно, если A и B несовместны, то их произведение - невозможное событие: AB = Æ.

Введённые ранее элементарные события, очевидно, попарно несовместны - w_iw_j= Æ при i ¹ j.

Пример. Выпало четное число и выпало нечетное число – события несовместные.

Событие назовём противоположным к , если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит.

Отметим очевидные соотношения: .

Пример. Выпало четное число и выпало нечетное число – события противоположные.

Разностью событий A и B назовём событие A\B, происходящее тогда и только тогда, когда происходит A, но не происходит B.

Отметим очевидные соотношения: .

Поскольку разность событий можно выразить с помощью операций отрицания и произведения, пользоваться разностью событий в дальнейшем не будем.

Таким образом, операциям над событиями соответствуют аналогичные операции над множествами.

Введённые выше операции сложения и умножения обладают следующими свойствами:

.

Пример.Производится два выстрела по цели. Пусть событие A - попадание в цель при первом выстреле и B - при втором, тогда и - промах, соответственно, при первом и втором выстрелах. Обозначим поражение цели событием C и примем, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Требуется выразить C через A и B.

Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и промах при втором; промах при первом и попадание при втором; попадание при первом и втором выстрелах. Используя введённые выше операции, перечисленные варианты можно, соответственно, записать: и . Интересующее нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного), то есть

.

С другой стороны, событие , противоположное С, есть промах при двух выстрелах, то есть , отсюда искомое событие С можно записать в виде .

Возможность различного выражения искомого события часто оказывается полезной при решении задач.

Для понимания введённых понятий полезна геометрическая интерпретация: представим пространство элементарных событий W в виде квадрата, каждой точке которого соответствует элементарное событие. Тогда случайные события будут изображаться в виде некоторых фигур, лежащих в этом квадрате.

На рис. 1.1. заштрихованные фигуры представляют:

Рис. 1.1.

Рассмотрим пространство элементарных событий W, соответствующее некоторому стохастическому эксперименту, и пусть F - некоторая система случайных событий. Систему событий F назовём алгеброй событий, если выполняются условия: WÎF; из того, что AÎF, следует, что ÎF; из того, что A и BÎF,следует, что AB и A + B ÎF. Отсюда следует, что, применяя любые из введённых выше операций к произвольной системе событий из F, получим событие, также принадлежащее F.

Определение вероятности

Рассмотрим стохастический эксперимент и случайное событие A, наблюдаемое в этом эксперименте. Повторим этот эксперимент n раз и пусть m(A) - число экспериментов, в которых событие A произошло.Относительной частотой события A в проведенной серии экспериментов назовём отношение

. (1.1)

Легко убедиться в справедливости свойств: если A и B несовместны (АВ = Æ), то .

Относительная частота определяется только после проведения серии экспериментов и, вообще говоря, может меняться от серии к серии. Однако опыт показывает, что во многих случаях при увеличении числа опытов относительная частота приближается к некоторому числу. Этот факт устойчивости относительной частоты неоднократно проверялся и может считаться экспериментально установленным. Мы уже говорили, что если бросить две тонны монет, то примерно одна тонна упадет кверху гербом, то есть относительная частота выпадения герба примерно равна 0,5.

Если при увеличении числа опытов относительная частота события n(A) стремится к некоторому фиксированному числу, то говорят, что событие A стохастически устойчиво, а это число, обозначаемое р(A), называют вероятностью события A. Это определение называют статистическим определением вероятности.

Рассмотрим некий стохастический эксперимент, и пусть пространство его элементарных событий состоит из конечного или бесконечного (но счётного) множества элементарных событий w₁, w₂, ... ,w_i,... . Предположим, что каждому элементарному событию w_iприписан некоторый ¢¢вес¢¢ - p_i, удовлетворяющий следующим свойствам:

pi ³ 0, . (1.2)

В этом случае p_iназовём вероятностью элементарного события w_i.

Пусть теперь A - случайное событие, наблюдаемое в этом опыте, и ему соответствует некоторое множество АÍW.

Назовём вероятностью события A сумму вероятностей элементарных событий, благоприятствующих A (входящих в соответствующее множество A):

(1.3)

Введённая таким образом вероятность обладает теми же свойствами, что и относительная частота: ; если AB = Æ, p(A + B) = p(A) + p(B).

Действительно, согласно (1.3)

,

.

В последнем соотношении мы воспользовались тем, что ни одно элементарное событие не может благоприятствовать одновременно двум несовместным событиям.

Особо отметим, что теория вероятностей не указывает способов определения pi, их надо искать из соображений практического характера или получать из соответствующего статистического эксперимента.

В качестве примера рассмотрим классическую схему теории вероятностей. Для этого рассмотрим стохастический эксперимент, пространство элементарных событий которого состоит из конечного (n) числа элементов. Предположим дополнительно, что все эти элементарные события равновозможны, то есть вероятности элементарных событий равны p(w_i) = p_i= p. Отсюда следует, что

или .

Пример.При бросании симметричной монеты выпадение герба и решки равновозможны, их вероятности равны 0,5.

Пример.При бросании симметричного кубика все грани равновозможны, их вероятности равны 1/6.

Пусть теперь событию A благоприятствует m элементарных событий, их обычно называют благоприятными исходами. Тогда

Þ . (1.4)

Таким образом, в классической схеме вероятность случайного события A равна отношению числа исходов, благоприятствующих A, к общему числу равно возможных исходов.

Пример. В урне лежит m белых шаров и n черных. Чему равна вероятность вытащить белый шар?

Решение. Всего элементарных событий m+n. Они все равновероятны. Благоприятных из них m. Следовательно, P = m/(m+n).

При подсчёте числа исходов часто используются некоторые правила и формулы комбинаторики, которые и приведём ниже.

Правило произведения. Если из некоторого множества A элемент a_iможно выбрать k_Aспособами, а элемент b_jиз множества В - k_Bспособами, то совокупность (a_i, b_j) можно образовать k_A×k_Bспособами. Правило верно и для совокупностей, состоящих из большего, чем 2, числа элементов.

Пример. Бросают два кубика – белый и красный. Элементарное событие - на белом выпало число a, на красном - b. Всего элементарных событий (a,b) 36 = 6×6 штук.

Формулы комбинаторики

Пример.Сколькими способами можно набрать семизначный номер телефона, если все его цифры различны. Очевидно, первую цифру можно набрать 10 способами, вторую - 9, так как одна цифра уже использована,..., седьмую - 4. Согласно правилу произведения общее число возможных номеров равно 10×9×8×7×6×5×4 = 604800.

Решение.Пусть из некоторого множества, состоящего из n различимых элементов, отбирается в определённом порядке m. Для подсчёта числа возможных вариантов заметим, что первый элемент можно выбрать n способами, второй - (n - 1), ..., m -й - (n - m + 1) способами. Согласно правилу произведения общее число вариантов будет равно n×(n - 1)×...×(n - m + 1). Такие комбинации называют размещениями, а число вариантов обозначают

При n = m говорят о перестановках из n элементов, их число равно

=1·2·....·(n-1)·n (n – факториал).

В частности, P₀=0!=1, P₁=1!=1, P₂=2!=1·2=2, P₃=1·2·3=6.

Если порядок отбираемых m элементов из n не играет роли, то говорят о числе сочетаний из n элементов по m. Поскольку

.

В частности,

Пример.Сколькими способами можно из 20 присяжных заседателей отобрать трёх для участия в судебном процессе.

Решение. Поскольку несущественно, в каком порядке отобраны кандидатуры, число вариантов равно

.

Пример.Сколькими способами из 20 членов правления фирмы можно отобрать трёх для замещения вакансий вице-президентов, отвечающих, соответственно, за производство, финансы, реализацию продукции?

Решение. Поскольку порядок при таком выборе играет существенную роль, число вариантов равно

Замечание. При большом n подсчёт числа вариантов по этим формулам требует громоздких вычислений n!. В этом случае пользуются асимптотической формулой Стирлинга

.

Пример.Среди K поставленных единиц данного товара L единиц не удовлетворяют предъявляемым условиям. Найти вероятность того, что среди k £ K отобранных для выборочного контроля качества единиц ровно l £ L не будут удовлетворять этим требованиям (этот опыт называется “контролем качества”).

Решение. Опыт заключается в случайном отборе k образцов. Следовательно, исходы этого испытания равновозможны и их общее число равно . Событие A состоит в том, что из k отобранных ровно l не будут удовлетворять этим требованиям. Число исходов, благоприятствующих A, согласно правилу произведения равно , здесь первый множитель даёт число вариантов отбора хороших, а второй - плохих образцов. Отсюда искомая вероятность .

--

Аксиомы теории вероятностей

Предложенное выше определение вероятности наряду с очевидными достоинствами, прежде всего простотой и интуитивной наглядностью, имеет и ряд существенных недостатков: предусматривает только конечное или счётное множество элементарных событий и обязательно знания их вероятностей. Всё это далеко не всегда имеет место, и поэтому введённое определение не является достаточно общим. В настоящее время стало общепринятым аксиоматическое построение теории вероятностей.

Сформулируем теперь аксиомы теории вероятностей. Пусть W - пространство элементарных событий некоторого стохастического эксперимента, и в W выделена система F событий, являющаяся алгеброй событий. Это означает, что:

WÎF;

если A Î F Þ Î F;

если A и B Î F Þ A + B и AB Î F.

Предположим, что каждому событию A Î F поставлено в соответствие число p(A) - вероятность случайного события A и верны свойства:

1: p(A) ³ 0 для любого A Î F;

2: p(W) = 1;

3: если A и B несовместны (AB = Æ), то p(A + B) = p(A) + p(B).

В таком виде аксиоматика теории вероятностей была предложена А.Н. Колмогоровым и оказалась исключительно плодотворной для её развития. Введённая таким образом тройка (W, F, p) называется вероятностным пространством. Этот подход позволяет, не обсуждая трудного вопроса о том, откуда известны первоначальные вероятности, по известным вероятностям одних событий вычислять вероятности других, достаточно сложных событий, пользуясь только перечисленными аксиомами.